导热问题的数值解法

1、4-0 引言引言 求解导热问题的三种基本方法求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；理论分析法；(2) 数数值计算值计算 法；法；(3) 实验法实验法 三种方法的基本求解过程三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；称之为分析解，或叫理论解； (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求

2、解按一场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；点上被求物理量的值；并称之为数值解； (3) 实验法实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程物理量采用实验测定的方法研究对象的传热过程物理量采用实验测定的方法 3 三种方法的特点三种方法的特点 (1) 分析法分析法 a 能获得所研究问题的精确解，能获得所研究问题的精确解，可以为实验可以为实验和数值计算提供比较依据；和数值计算提供比较依据； b

3、 局限性很大，对复杂的问题无法求解；局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种因素的影响清晰可见。分析解具有普遍性，各种因素的影响清晰可见。 NoImage 物物 理理 问问 题题 的的 数数 值值 求求 解解 过过 程程建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场是否4-1 导热问题数值求解的基本思导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立想及内部节点离散方程的建立NoImagexyxyji(i,j)MN 基本概念：网格线、节点、单元、基本概念：网格线、节点、单元、 界

4、面线、步长界面线、步长（1 1）. .划定网格线划定网格线（2 2）. .确定节点确定节点 x x0 0+i+ix, yx, y0+iy (I , j) （3 3）. .每个节点为每个节点为 中心划分单元格中心划分单元格.同同 一单元格内温度均一一单元格内温度均一图图4导热问题数值求解示例导热问题数值求解示例NoImage(4).(4).划分单元网格后，物体内温度由原来连续函数成为划分单元网格后，物体内温度由原来连续函数成为有限个离散数值，温度曲线成为阶梯状变化。有限个离散数值，温度曲线成为阶梯状变化。(5).(5).列代数方程，求解有限个离散温度值。列代数方程，求解有限个离散温度值。温度的离

5、散温度的离散 NoImage4 建立离散方程的常用方法：建立离散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）级数展开法；（泰勒）级数展开法；(2) 多项式拟合法；多项式拟合法；(3) 控制容积积分法；控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法控制容积平衡法(也称为热平衡法也称为热平衡法)。NoImage（1）一阶导数的各种差分形式）一阶导数的各种差分形式温度对坐标的向前差分温度对坐标的向前差分 （以（以x方向为例，下同）方向为例，下同）温度对坐标的中心差分温度对坐标的中心差分温度对坐标的向后差分温度对坐标的向后差分温度对时间的向前差分温度对时间的向前差分温度对时间的中心差分温度对时间的中心差分温

6、度对时间的向后差分温度对时间的向后差分1,()iji ji jtttxx1,1,()2ijiji jtttxx,1,()i jiji jtttxx1,()kki ji ji jttt11,()2kki ji ji jttt1,()kki ji ji jtttNoImagewq4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解边界节点离散方程的建立及代数方程的求解n对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解的

7、离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。 n而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。才能求解。 n为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用界条件合并起来考虑，用 表示边界上的热流密度或热表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用流密度表达式。用表示内热源

8、强度。表示内热源强度。(何为离散方何为离散方程程?) n NoImageqwxyqw(1) 平直边界上的节点平直边界上的节点21,1,1,222(4)02iji ji ji jfi jh xh xxttttt1,1,1,2202iji ji ji ji ji jwi jttttxyxyttxyqyxy ,xy 图边界节点离散图边界节点离散,()wfi jqhtt上式简化为上式简化为(4-4b)第三类边界条件：第三类边界条件：1.边界节点离散方程的建立边界节点离散方程的建立NoImage(2) 外部角点外部角点21,1,22(2)02iji ji jfi jh xh xxtttt1,1,2222

9、022iji jwi ji jwi jttyyqxttxxqyxyxy xyqw图图7外部角点离散外部角点离散,()wfi jqh tt上式简化为上式简化为(4-5b)第三类边界条件第三类边界条件：NoImage(3) 内部角点内部角点1,1,11,2,22223(6)02iji ji jiji jftttth xh xxtt1,1,1,1,2222304iji jiji jwi ji ji ji jwi jttttyyyqxxttttxxxqyyx y xy xyqw图图8内部角点离散内部角点离散第三类边界条件：第三类边界条件：()wfwqh tt上式简化为上式简化为(4-6b)NoImag

10、eqw的情况：的情况： (1) 第二类边界条件：将第二类边界条件：将 ，带入上面各式即可，带入上面各式即可 绝热或对称边界条件？绝热或对称边界条件？ 第三类边界条件：将第三类边界条件：将 ，带入上面各式，带入上面各式 即可即可. constqw,()wfi jqh tt课堂作业：将课堂作业：将 带入外部角点的温度带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式离散方程，并化简到最后的形式,()wfi jqh tt(3) 辐射边界条件：辐射边界条件：44,()wfi jqTTconstqw或其他或其他NoImage设有一矩形平板，如图示。设有一矩形平板，如图示。 a=2b。在边界在边界x=0和和y

11、=0是是 绝热的，在绝热的，在x=a处给出处给出第三第三 类类边界条件，即给定边界条件，即给定h和t f。 而而y=b处，是第一类边界条处，是第一类边界条 件，件，即温度为已知即温度为已知，t=c11，c12， C15 。试写出各节点的离散方程。试写出各节点的离散方程。例题例题:解：采用均匀网格采用均匀网格y =x=b/2，给各未知节点给各未知节点编号编号t1，t2， t10 。 按节点所在位置和题目按节点所在位置和题目所示边界条件，写出各节点的离散方程。所示边界条件，写出各节点的离散方程。0battttttttt1234567810ccccc1111123451t9NoImage2.2.节点

12、方程组的求解节点方程组的求解写出所有内节点和边界节点的温度差分方程写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 n个未知节点温度个未知节点温度t1、t2、t3.t n，n个代数方程个代数方程式：式：代数方程组的求解方法：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭代解法111 112 211221 122 2221 12 221 12 2.n nn niiiin nnnnta ta ta tcta ta ta tcta ta ta tcta ta tnn nna tcNoImage直接解法：直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法矩阵

13、求逆、高斯消元法迭代解法：迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）过程中要相应地不断更

14、新）迭代解法有多种：迭代解法有多种：简单迭代（简单迭代（Jacobi迭代）、高斯迭代）、高斯-赛赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯高斯-赛德尔迭代的特点：赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度每次迭代时总是使用节点温度的最新值的最新值NoImage在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第例如：根据第 k 次迭代的数值次迭代的数值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得节点温度：可以求得节点温度：(1)( )( )( )( )111 112 211.kkkkkn nta ta ta tc(1)

15、(1)( )( )( )221 122 222(1)(1)(1)( )( )331 131)(1)(1)1 122 2332.kkkkkkkkiiin nkkkkkn niitta ta ta tcta ta ta tca ta ta(1)( )( )(1)(1)(1)(1)11( )( )1 12 211. .kkkkkknnnnnnnn nkkkkiii iin ninta ta tta ta tata tccNoImage判断迭代是否收敛的准则：判断迭代是否收敛的准则：)(max)() 1()()() 1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttk及及

16、k+1表示迭代次数；表示迭代次数；第第k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值(k)maxt当有接近于零的当有接近于零的t 时，第三个较好时，第三个较好36 1010 允许的偏差；相对偏差 值一般取NoImage 4.4 非稳态导热的数值非稳态导热的数值计算计算3-1 显式差分格式显式差分格式物体温度沿物体温度沿x x方向变化，方向变化，物体在物体在x方向被方向被分割为分割为n n段，所取步长段，所取步长x x ，其，其中第个节点坐标为中第个节点坐标为 i ix x ，简记为，简记为i i。物体中温度随时间变化，所取物体中温度随时间变化，所取时间间隔时间间隔步长步长 ，其，其中第个节点坐标为中第

17、个节点坐标为kk ，简记为，简记为k k。物体中物体中kk时刻，时刻，iix x位置处温度：位置处温度： kit图图9非稳态导热非稳态导热NoImage物体中物体中i点，点， k时刻时刻 ，对坐标，对坐标 x的中心差分：的中心差分：温度对时间的一阶导数，取向前差分：温度对时间的一阶导数，取向前差分：代入无内热源，常物性，一维非稳态导热方程代入无内热源，常物性，一维非稳态导热方程内节点在计算时刻节点内节点在计算时刻节点 温度的差分方程温度的差分方程211,222()kkkiiii kttttxx1,()kkiii kttt 22ttax11122()(12)kkkkiiiiaattttxx令令F

18、o=aFo=a/ /x x2 2，代入上式得：，代入上式得： 111()(12)kkkkiiiitFo ttFo t11122kkkkkiiiiitttttaxNoImage000001234nttttt、 、 、 、. . . . . . .由初始时刻由初始时刻(=0)的温度的温度算出算出1 1时刻的温度时刻的温度由由1 1的温度的温度,算出算出2时刻的温度时刻的温度111111234nttttt、 、 、 、. . . . . . .222221234nttttt、 、 、 、. . . . . . .依次进行依次进行,就可算出各时刻的温度就可算出各时刻的温度显式差分格式显式差分格式.由由

19、k k时刻的温度时刻的温度, ,算出算出k+1k+1时刻的温度时刻的温度111111234nkkkkkttttt、. . . . . . .NoImage为保证数值计算的稳定性，必须为保证数值计算的稳定性，必须 有有t ki的系数为正的系数为正211120,22aFoFox 即 : 或: 若若12Fo t k i的系数为负的系数为负,不同时刻的温度计算会出不同时刻的温度计算会出现波动现波动,见书上第见书上第87页例题。所以页例题。所以x x、的选择不能任意，必须考虑稳定性。的选择不能任意，必须考虑稳定性。 二维非稳态导热时节点温度显式差分格式二维非稳态导热时节点温度显式差分格式 (均匀网格均匀

20、网格,x=y)解稳定性条件解稳定性条件1,1,1,1,1,()(1 4)kkkkkki jijiji ji ji jtFo ttttFo t2(1 4)0,(1 4)0aFox 或NoImage物体中物体中i点点 k时刻时刻 ，温度对坐标，温度对坐标 x中心差分：中心差分：温度对时间的一阶导数，取向后差分：温度对时间的一阶导数，取向后差分：代入无内热源，常物性，一维非稳态导热方程代入无内热源，常物性，一维非稳态导热方程:内节点在计算时刻节点内节点在计算时刻节点 温度的差分方程温度的差分方程211,222()kkkiiii kttttxx1,()kkiii kttt 22ttax1111122(

21、12)()kkkkiiiiaattttxx上式可以等价地写为上式可以等价地写为11122kkkkkiiiiitttttax11111122kkkkkiiiiitttttax移项，整理，得：移项，整理，得：3-2 隐式差分格式隐式差分格式NoImage 由上式可看出，用（由上式可看出，用（4-154-15）不能根据）不能根据k k时刻的温度算出时刻的温度算出（k+1k+1）时刻的温度，因为等式右边包括待求时刻的温度，因为等式右边包括待求（k+1k+1）时刻的温度时刻的温度t tk+1k+1i-1i-1 和和ttk+1k+1i+1i+1 ，这里只有将，这里只有将（k+1k+1）时刻的时刻的所有节点

22、温度的离散方程所有节点温度的离散方程均均列出，组成列出，组成线性方程组线性方程组来来求解求解。 隐式差分格式是无条件稳定的，隐式差分格式是无条件稳定的，、x可以独立选取。可以独立选取。11111(1 2)()(4 15)kkkkiiiiFo tFo ttt 二维非稳态导热时节点温度隐式差分格式二维非稳态导热时节点温度隐式差分格式 (均匀网格均匀网格,x=y)211111,1,1,1,1,(14)()kkkkkkvi jijiji ji ji jx FoqFo tFo ttttt令令Fo=aFo=a/ /x x2 2，代入上式得：，代入上式得： NoImage 对于第一类边界条件的热传导问题，处

23、理比较简单，因对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。 而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。解。 在节点方程中，按对时间是在节点方程中，按对时间是向前差分向前差分还是还是向后差分，向后差分，边界边界节点方程分为节点方程分为显式格式显式格式和和隐式格式。隐式格式。3-3 边界节点方程的建立边界节点方程的建立NoImage1、一维非稳态导热第三类边界条、一维非稳态导热第三类边界条件节点显式差分格式件节点显式差分格式1212()(122)kkkkiftFo tBi tBiFoFo t112111()2kkkkkkfttttxh ttcx21211111()()2kkkkkkfh xc xtttttt 针对图示的节点针对图示的节点1，列出显式的热平衡方程，列出显式的热平衡方程整