高中数学复习学(教)案(第25讲)三角函数的最值及综合应用

1、题目 第四章三角函数三角函数的最值及综合应用高考要求 1掌握求三角函数最值的常用方法：配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；数形结合法（常用到直线的斜率关系）；换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；基本不等式法等2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响知识点归纳 1y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y= sin（x+）

2、2y=asin2x+bsinx+c型常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：3y=型（1）当时，将分母与乘转化变形为sin（x+）型（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R时，必须这样作）4同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现，求它们的范围，一般是令或或，转化为关于的二次函数来解决5已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：如已知，求的值，一般是将不包括常数项的式子的分母1用代换，然后分子分母同时除以化为关于的表达式6几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式； 1±cos 可用升次公式；1±sin 可化为，再用升次公式；或（其中 ）这一公式应用广泛，熟

3、练掌握7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图9三角函数的奇偶性 函数y = sin (x)是奇函数 函数y = sin (x)是偶函数 函数y =cos (x)是奇函数 函数y = cos (x)是偶函数10正切函数的单调性正切函数f (x) = tan x， ，在每一个区间上都是增函数，

4、但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式但往往代数运算比较繁题型讲解例1 函数y=acosx+b（a、b为常数），若7y1，求bsinx+acosx的最大值分析：函数y=acosx+b的最值与a的符号有关，故需对a分类讨论解：当a0时，a=4，b=3；这时 bsinx+acosx=3sinx+4cosx=5sin（x+）5（tan=）；当a=0时，不合题意；当a0时，a=4，b=3这时bsinx+acosx=3sinx4cosx=5sin（x+）5（tan=）综上述，当a=4，b=3或a=4，b=3时，bs

5、inx+acosx的最大值为5例2 求函数y=cotsinx+cotxsin2x的最值分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题解：y=·sinx+·2sinxcosx=2（cosx+）2+sinx0，cosx±1当cosx=时，y有最小值，无最大值点评：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件例3 求函数y=的最大值和最小值分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）解法一：去分母，原式化为sinx

6、ycosx=22y，即sin（x）=故1，解得yymax=，ymin=解法二：令x1=cosx，y1=sinx，有x12+y12=1它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可由=1，得k=ymax=，ymin=评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此要有足够的重视例4已知函数 （）求实数的值； （）求函数的最大值及取得最大值时x的值（）函数 解： 时，函数f(x)的最大值为12点评结论是历年高考命题的热点之一例5 已知函数的定义域为，值域为 5，1 ，求常数的值解： ， ， ， 当a &

7、gt; 0时，b f ( x ) 3a + b， 解得 当a < 0时，3a + b f ( x ) b 解得 故a、b的值为 或 点评：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响例6设的周期，最大值，（1）求、的值； （2）若是方程的两根，的终边不共线，求的值解：(1) ， ， ， 又 的最大值， ， 且 ，由 、解出 (2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， 点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性例7 已知函数(1)求函数y的最大值，并求此时x的值(2)该函数的图象

8、可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：(1)，；（2）将函数的图象依次进行如下变换： 把函数的图象向左平移，得到函数的图象； 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数+的图象；综上得函数的图象说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式本题（1）还可以解法如下：当cosx=

9、0时，y=1；当cosx0时，y=+1=+1化简得 2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得：yymax=，此时对应自变量x的值集为x|x=k+,kZ例8 已知：定义在上的减函数，使得对一切实数均成立，求实数的范围解：由题意可得 ，即 ，又 ， ， ， ， 或 点评：利用三角函数的值域来求解变量的取值范围，是较为常见的解题思路，在利用单调性列出不等式时，不能忘记函数的定义域小结：1求三角函数最值的常用方法有：配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；数形结合法（常用到直线的斜率

10、关系）；换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；基本不等式法等2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响3注意题中的隐含条件学生练习 1若0，sin+cos=a，sin+cos=b，则Aab1Bab1 Cab1Dab1解析：a=sin（+），b=sin（+），0+，1ab，ab1答案：D2函数f（x）=cos2x+sinx在区间，上的最小值是AB C1D解析：f（x）=1sin2x+sinx=（sinx）2+当x

11、=时，ymin=答案：D3函数y=xsinx在，上的最大值是A1B+1 CD解析：y=xsinx在，上是增函数，x=时，ymax=答案：D4y=的最大值是_，最小值是_解析一：y=1当sinx=1时，得ymin=1，当sinx=1时，得ymax=解析二：原式sinx=（y1）|11yymax=，ymin=1答案： ， 15y=（0x）的最小值是_解析：y可视为点A（sinx，cosx），B（0，2）连线的斜率kAB，而点A的轨迹x（0，）是单位圆在第二、三象限的部分（如右图），易知当A（，）时，ymin=kAB=答案：6函数y=log2（1+sinx）+log2（1sinx），当x，时的值域为

12、A1，0 B（1，0 C0，1）D0，1解析：y=log2（1sin2x）=log2cos2x当x=0时，ymax=log21=0；当x=时，ymin=1值域为1，0答案：A7当y=2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是ABCD4解析：y=sin（x）（其中tan=）y有最大值时，应sin（x）=1x=2k+x=2k+tanx=tan（x）=tan（2k+）=cot=答案：B8函数y=的最大值是_，最小值是_解析：y=3，当sinx=1时，ymax=3=；当sinx=1时，ymin=4答案： 49在ABC中，a=sin（A+B），b=sinA+sinB，则a与b的大小关系为_解析：a

13、=sinAcosB+cosAsinBsinA+sinB=b答案：ab10已知向量=（cos，sin），向量=（，1），则|2|的最大值是_解析：2=（2cos，2sin+1），|2|=4|2|的最大值为4答案：410求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域解：设t=sinx+cosx，则t，由（sinx+cosx）2=t2sinxcosx= y=1+t+=（t+1）2ymax=（+1）2=，ymin=0 值域为0，11已知对任意x，恒有ysin2x+4sin2xcos2x，求y的最小值解：令u=sin2x+4sin2xcos2x，则u=sin2x+sin22x=（1cos2x）+（1cos22x）=cos22xcos2x+=（cos2x+）2+，得umax