定义设n阶群G的一个子群S具有元素e

1、2.陪集陪集cosetsSbG,b S,a babSSbG,b S,a abSb定義：設n階群G的一個子群S具有元素e, a1, a2, a3, am(mn)，b是G的一個元素，但b不屬於S，當b遍承S的所有元素時，所得到的m個元素be=b, ba2, ba3, bam形成的集合稱為子群S的一個左陪集，並記作 bS，即有同樣可定義S的右陪集為由於陪集不含有單位元素，所以陪集不是子群。若陪集含有單位元素baj，則由baj=e可得b= aj-1，於是必有b S，與原假設不屬於S矛盾Ex11. The distinct (left) cosets of the Z3 in the group of

2、integers Z are: where333210Z, Z, Z, , , Z, , , Z, , , Z1185221074119300333亦成立同理於序列序列得証沒有元素出現兩次個元素且群序列中有矛盾設有元素出現兩次亦然，於序列出現一次且只出現一次的每一個元素必中元素，則在序列的任一若是群階群設重排定理：ni3i2iivuiviuni3i2iiini3i2iin32aa ,aa ,aa, eaGn aaaaaa aa ,aa ,aa, eaGaa ,aa ,aa,eaGa ,a ,a ,a, eGn Proof陪集不相交是相同的集合根據重排定理遍乘用又有共同元素設的陪集都是 ySxS

3、,S,xySxySaaaaxyaxayyaxaZZ ySxS,S ySxS, ,Gy , xnm ,a ,a ,a, eS1 -1 -1 -ij1 -ij1 -ji1 -jim32111123, , , , mSy xe y xay xay xa1111232,3, , , , =, , , mmySy y xey y xay y xay y xaxe xa xaxaxS定理：在有限群G中，子群S的兩個左陪集所含的元素，或者全同，或者不同ProofSkScSbSaSGSGSGkScSbSaSSGkS , cS, bS, aS,GSG的右分解為按子群同理，可定義群可用圖表示的左分解按子群上式稱為

4、群陪集分解成一系列不相交的可將中的子群群根據以上定理SaSbScSkS Lagranges theorem (group theory) 若 s 階群 S 是 g 階群 G 的任一子群，則s都整除g:proof 為子群S全部陪集，子群S為s階，則每個陪集都有s個元素，又G的每個元素必須在子群S或S的 個不相交陪集僅出現一次，故必有 .121, , ,bS b SbS1(1)sssg 稱整數 為G中子群S的指數,還可得到一結論: 一個有限群G的任一元素 的階v都整除G的階g.這是因為G的一個v階元素 ( )可生成G的v階子群：aag svae21,ve a aa例. G為4-群 ,任取G子群S為

5、 , 則S左陪集是 可知4-群的子群 只有一個陪集 ,其左分解為 , , ,e r x y, e r , =, , , , xSx xrx yySy yry xx yxS, S e rxSGSxSBorn January 25, 1736(1736-01-25), Turin, Italy Died April 10, 1813 (aged 77),Paris, FranceResidence Italy, France, Prussia Nationality Italian, French Field Mathematics, Mathematical physics Institutio

6、ns cole Polytechnique Academic advisor Leonhard Euler Notable students Joseph Fourier,Giovanni Plana, Simeon Poisson Known for Analytical mechanics, Celestial mechanics Mathematical analysis Number theory Religion Roman Catholic Note he did not have a doctoral advisor but academic genealogy authorit

7、ies link his intellectual heritage to Leonhard Euler, who played the equivalent role. Joseph Louis, comte de Lagrange Lagrangian mechanics Algebra Number Theory Miscellaneous Astronomy Mcanique analytique Ex12：A set H is a subgroup of a group G iffProof(1)充分性 H 是群G的子群 (2)必要性 H是群G中的非空集合，若 由上式 再由上式 證得

8、H是群G的子群HxyHyx-1,HxyHyHx,y-11HxyHyx1,HeHxxHxyHyx1,HyHeyHeHy11,HxyHyxHyHyx111,(封閉性)(單位元素存在)(逆元素存在)(封閉性)()()(Ex13.設G是個群，集合 是G的一個子群，此群稱為群G的中心 考慮單位元素e, 故 ，C非空集合又若C為G的子群得證Gxxa,axGaCxxeexCeCababx xba bxaxabGx C,ba, CaxaxaxaaaaaxaxaaxGx C,a1-1-1-1-1-1-1-共軛類和不變子群定義：設a和b是群G的兩個元素，如果G中有一個元素x使得則稱b與a共軛，並把這個運算叫做b通

9、過a的相似轉換。bxax-11.共軛共軛a conjugate of a G相似轉換滿足自反性：對稱性：傳遞性： 又xy G，故a與c共軛1-eaea bxxa-1 1111111-xycxyxycyxxycyxaycybx, bxa2.共軛類共軛類a conjugate of H G定義：群G中所以相互共軛的元素組成一個等價類，稱為群G的共軛類，或簡稱為類，用符號來表示與a共軛的元素組成的類 。在一個阿貝爾群中，每個群元素自成一類。所以必有a=b，同理，任意群的單位元也自成一類bxxabxax-1a3.共軛子群共軛子群(conjugacy class)定義：設H是群G的一個子群，g為G的一個

10、固定元素，所有ghg-1的集合 也是G的一個子群，稱為在群G中H的共軛子群或相似子群。Hh ghggHgH-11若證明 之封閉性。此外由前述定理得 成群。-HgxygH xygxyggyggxgH,gygHgxgHH, yx111111H-HgghH hgghghgHghg11111111H4.不變子群不變子群(normal subgroup, invariant )定義：H為群G的子群，而g為G的任意一個元素，若恆有 成立，則稱H為G的不變子群或正規子群或自軛子群，記做H1-gHg若H是群G的不變子群，g為G的任一元素，則g所屬的左陪集與右陪集相同注意上述並不意味g可以和H的每一個元素交換，

11、而僅僅說gH和Hg這兩個集合一樣HggHHgHg-1GH定理4：群G的一個子群H是一個不變子群的充分必要條件 是：若H含有元素h，則H必包含h所屬的共軛類Proof(1)必要性 ：這是不變子群定義的直接結果。(2)充分性 ：假定此條件成立故得証因此有然而另外又HHHHHHHHgggHgGHHHhhG,g1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-gggggggggggggggH)()()(定理5: (接續定理1:同態基本性質part 2)show that if :GG is a group homomorphism, then the following holds(3)(4)(3)(4) Suppose H is normal in G G in normal is ker ker k allfor ,ker xkxexxxexxkxxkxker kG, xG of subgroupa is ker eexx then,e x ifker xyeeeyxxyeyx ,ke