高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学业分层测评含解析北师大版

1、高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学业分层测评含解析北师大版选修11（建议用时：45分钟）学业达标一、选择题1 .椭圆4x2+y2=1的焦点坐标为（）A.（土姆，0）B.±g0C.0,士亭D.（0,±3）22【解析】=+7=1,114，椭圆的焦点在y轴上，并且a2=1,b2=4,工2=4，即焦点坐标为0,±2.【答案】C2.若椭圆x-+y-=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为（）259A.5B.6C.4D.1【解析】由椭圆的定义知a=5,点P到两个焦点的距离之和为2a=10.因为点P到一个焦点的距离为5,所以到另一个焦点的

2、距离为10-5=5,故选A.【答案】A3.若方程三+±=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）aa+6A.a>3B.av2C.a>3或av2D.a>3或6vav2a>a+6,【解析】二椭圆的焦点在x轴上，a+6>0,.a>3或一6vav2.4.已知A（0,1）,B（0,1）两点，ABC勺周长为6,则ABM顶点C的轨迹方程是（）522A.»y3 = 1(xw±2)B.22)+ = 1(yw±2)4322C.1 + y3 = 1(xw0)43D.22+： = 1(yw0)43【解析】2c=|AB =2, c=1

3、,.ICA| + |CEB=6-2 = 4=2a,，a=2.顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(A,B, C不共线).因此，顶点 C的轨迹方程5.两个焦点的坐标分别为(-2,0) , (2,0),并且经过点53 ,，一，一rP, 2的椭圆的标准方程是()22A+yT = 122b- w+?6=122C.9+25= 14 了D.22-9+ 25= 14彳【解析】 由椭圆定义知:5 , . 23 22+2 + - 2210.a=T0.b=1a'-c2=；16,故椭圆的标准方程为291.二、填空题6.椭圆方程 mX+ny2= mn(n>n>0)中，焦距为【解析】 椭圆方程可化为2

4、22+y=1, .-nn>。，椭圆焦点在 n my 轴上.，c= m- n,即焦距为2 m- n.2 m- nx2sina +y2cosa =1表示焦点在y轴上的椭圆，则 a的取值范围是2 x【解析】方程可化为十1sin a2 士=1.cos a.焦点在y轴上,1 > cos 0C1sin asin> >COS a .又 a £兀°，万7t28.已知Fi, F2是椭圆C：= 1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PFLP&若APFFz的面积为9,则【解析】由题意,1 _2|PF| PE| =9,得 | PF| 2+ |

5、PB| 2=2C| PF| +| PE| =2a,解得a2-c2= 9,即b2=9,所以 b=3.三、解答题9.在椭圆9x2+25y2 = 225上求点P,使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的22【解】原方程可化为三十 y- = 1.其中a=5, b=3,则c=4.25 94倍. Fi(4,0) , F2(4,0).设P(x, y)是椭圆上任一点,由椭圆的定义|PF|+| PE| =2a=10.又| PF =4| PF| ,解得 | PF| =2, | PF =8,Vx+ 4即xj x- 4+ y2=2,;一.解得+ y =8,154 'y=3V7，15x=-,4或故P点坐标为154

6、v7 或 一争-4V7.10.已知动圆M过定点A( 3,0),并且在定圆 B:(x3)2+ y2= 64的内部与其相内切,求动圆圆心M的轨迹方程.如图，设动圆M和定圆B内切于点C,由|MA=|MC得|MA+|MB=IMC+IMB=| BC = 8,即动圆圆心M到两定点A(3,0),B(3,0)的距离之和等于定圆的半径,为焦点的椭圆,，动圆圆心M的轨迹是以A,B.7且2a=8,2c=6,b=,a2c2=22.M的轨迹方程是套十1.能力提升X221 .已知ABC勺顶点B,C在椭圆4+y=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC勺周长是（）A.2B.4C.8D.16【解

7、析】设A为椭圆左焦点，而BC过右焦点F,如图.可知|BA+|BF=2a,|CA+ICF=2a,两式相加，得|AB+1BF+|CA+ICF=IAB+IAC+IBC=4a.而2椭圆标准方程为+y2=1,因此a=2,故4a=8,故选C.4【答案】C222.已知椭圆条+、=1（a>b>0）,M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF的中点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.线段D.直线1_1_【解析】由题意知IPO=2|MF|,|PF|=2IMFI,又IMF|+1MF|=2a,所以|PO+|PF|=a>|FiO=c,故由椭圆的定义知P点的轨迹是椭圆.223.椭圆£+

8、9;=1上的点M到焦点Fi的距离为2,N是MF的中点，则|ONO为坐标原点）的值为【解析】如图所示, IMF|+|MF|=2a=10,|MF|=2,.|MF=8. N,O分别是MF,F1F2中点.一1.,1. .|ON=万|MF|=2X8=4.224. （2014 重庆高考改编）如图2-1-3,设椭圆,+看=1（2>13>0）的左、右焦点分别为F1, F2,点D在椭圆上,DF，F1F2,黑?=2®DFF2的面积为H2.求该椭圆的标准方程.|Df1|Y2图 2-1-3【解】设F(c,0),F2(c,0),其中c2=a2b2.| F1F2|DF|=2/，得|DF|=1=乎。2.22从而S=；|DF|FF2|=c2