高中文科数学解三角形部分讲练整理

1、v1.0可编辑可修改高中文科数学解三角形部分整理正弦定理（一）知识与工具:正弦定理：在4ABC 中,sin A sin B工2R。 sinC变形：a: b: csin A:sin B:sin C .11在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：（1）三内角和为180。两边之和大于第三边，两边之差小于第三边=cos C , cos2=sin C 22（2）三角函数的恒等变形ABsin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin2(3)面积公式：S=absinC=-ab

2、c=2R2sinAsinBsinC24R（二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1利用正弦定理公式原型解三角形例一、在ABC中，若C900,a6,B300,则cb等于（）A.1B.1C.2屈D.2<3bo0【解析】C.tan300,batan3002、3,c2b4、一4,cb2.3a题型2利用正弦定理公式变形边角互化解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。例二、在ABC中，若b2asinB,则A等于（）A.300或600B.450或600C.1200或600D.300或150010【斛析】D.b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA-，A30或1502题型3三角形

3、解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。例三、等腰三角形一腰上的高是J3,这条高与底边的夹角为600,则底边长为(D)余弦定理(一)知识与工具:a2=b2+c2 -2bccosAcosA=222b c a2bcb2=a2+c2 -2accosBcosB=22,2a c b2acc2=a2+b2-2abcosCcosC=2. 22a b c2ab注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180°

4、(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。(3)面积公式：S=-absinC=2R2sinAsinBsinC24R(4)三角函数的恒等变形。(二)题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1利用余弦定理公式的原型解三角形例一、在ABC中，若a2b2bcc2,则A。一0-b2c2a21-一0【解析】120cosA-,A1202bc2题型2利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。题型3判断三角形的形状结论：根据余弦定理，当a2+b2vc2、b2+c2va2、c2+a2vb2中有一个关系式成

5、立时，该三角形为钝角三角形，而当a2+b2>c2、b2+c2>a2,c2+a2>b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。判断三角形形状的方法：(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状。例一、在ABC中，若acosAbcosBccosC,则ABC的形状是什么解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosCsin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosCcos(AB)cos(AB),2cosAcosB0cosA0或cosB0,得A

6、或B一22所以ABC是直角三角形。(2)应用题两点间不可通又两点间可视但不两点都不可达不可视可达距底部可达底部不可达求题型1计算高度题型2计算距离题型3计算角度题型4测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型,再通过正弦定理和余弦定理进行求解。例一、（三）其他常见结论1三角形内切圆的半径:2Sr a b cab特别地，r直2三角学中的射影定理:在4ABC中，ba cosC ccosA,3两内角与其正弦值:在4ABC中，Asin A例一、在 ABC中，若a7,b3,c8 ,则其面积等于（21A . 12 B .28 D2【解析】DcosA1,A60

7、0sABC1bcsinA6.322基础练习一、选择题1 .若A为ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）1A.sinAB.cosAC.tanAD.tanA2 .在ABC中，角均为锐角，且cosAsinB,则ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3 .边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.900B.1200C.1350D.15004 .在4ABC中，A:B:C1:2:3,则a:b:c等于（）A.1:2:3B,3:2:1C.1:73:2D.2:73:15 .在ABC中，若A2B,则a等于（）A.2bsinAB.2bcosAC.2bsinBD.

8、2bcosB6 .在ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2,则ABC的形状是（）A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形7 .在ABC中，若（abc）（bca）3bc,则A（）A.900B.600C.1350D,15008 .在ABC中，若tanABab,则4ABC的形状是（）2abA.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形、填空题1 .在ABC中，若a2b2bcc2,则A2 .在ABC中，若b2,B300,C1350，则a3 .在ABC中，若sinA：sinB：sinC7：8：13,则Co-abc4 .若在ABC中，A60,b1,S

9、abcV3,则=sinAsinBsinC5 .在ABC中，若a9,b10,c12,则ABC的形斗犬是。6 .在ABC中，若aV3,bY2,c吏!则A。2三、解答证明题1 .在4ABC中，A1200,cb,aV21，Sabc由，求b,c。Jab2 .在ABC中，若AB120°,则求证：1。bcac2C2A3b3 在ABC中，右acos-ccos一一,则求证：ac2b222abcosBcosA.4 .在ABC中，求证：一一c()baba选择题0A,sinA0cosAsin(-A)2sinB,-A,B都是锐角，则一A22B,AB-,C一22设中间角为，则cos52600,180060012

10、00为所求一,a:b:csinA:sinB:sinC21.叵22:-2:21:、,3:2sinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB,sinAlgcosBsinCsinAlg2,-cosBsinC2,sinA2cosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,sin(BC)0,BC,等腰三角形(abc)(bc-22a)3bc,(bc)a3bc,b2,22bc3bc,cosA-2bc2-,A6002tanA-2sinAsinBsinAsinB2cos2sinA2A2BsinBcosAZ2A2Atan一2tantanAB2-A,tan一AB,2填空题1.

11、2.3.4.所以A0,或b21200cosA-.62A150,120023932c2bc5A1200bsinA,asinAsinBsinB4sinA4sin150a：b：csinA：sinB：sinC令a7k,b8k,c13k2acosC一SABC1.A1bcsinAc7：8：13,22bc2ab2,C1200I33,c.13,a,行abcsinAsinBsinCa、,13239sinA-33"2"5.锐角三角形C为最大角，cosC0,C为锐角6.600.222bcacosA2bc,311222(.31)2四、解答证明题1.解：SABC1bcsinA>/3,bc4,22,22abc2bccosA,bc5,而cb所以b1,c4222.证明：要证-a-1,只要证-一acb一bc1,bcacabbcacc222即abcab而AB1200,C600cosC2,22abc_2,220,abc2abcos602abab原式成立。3.证明:2c2A3bacosccos一2221cosC1-sinA