材料力学 梁的变形

1、 51 概述概述52 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分53 叠加法计算弯曲变形叠加法计算弯曲变形xyxyPy=y(x) 梁在平面弯曲时，其轴梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁线弯成一平面曲线，称为梁的的。 梁横截面形心的竖向位移称为截面的梁横截面形心的竖向位移称为截面的，用，用y 来表示。来表示。挠度以向下为正，向上为负。挠度以向下为正，向上为负。 梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的，用，用 来来表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。 梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，

2、梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的称为梁的和和。51 概述概述xyxyPy=y(x)()(xxyy 梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知：直，由高等数学可知：tgdxdy 小变形下，小变形下， 很小，很小，tg ，于是得，于是得dxdyy 这就是梁的变形，挠度与转角的关系。这就是梁的变形，挠度与转角的关系。 挠曲线的曲率与弯矩间的关系为挠曲线的曲率与弯矩间的关系为EIxMx)()(1 由高等数学可知，曲线的曲率为由高等数学可知，曲线的曲率为2/32) (1 )(1yyx 小变形下，小变形下，

3、很小，很小， ，于是得，于是得0) (22yEIxMy)(52 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分xyMM0M0yxyMM0M0yEIxMy)( 这就是梁的这就是梁的，由此微分方程积分一，由此微分方程积分一次可求转角，再积分一次可求挠度。次可求转角，再积分一次可求挠度。 为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为)(xMEIyCdxxMEIEIy)(DCxdxdxxMEIy)(转角方程转角方程挠度方程挠度方程 解题关键：解题关键： 正确建立梁的弯矩方程正确建立梁的弯矩方程M（x）。若梁的各段弯矩方）。若梁的各段弯矩方程不同，需分段建立

4、；程不同，需分段建立； 每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边界条件和变形连续条件来确定。界条件和变形连续条件来确定。 边界条件（支承条件）边界条件（支承条件）固定端：固定端：铰支座（固定铰支座和可动铰支座）：铰支座（固定铰支座和可动铰支座）： 变形连续条件变形连续条件在两段梁的交界面：在两段梁的交界面： = 0，y = 0。y = 0。212121,:yyxx 确定积分常数。确定积分常数。 解题步骤：解题步骤： 建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x 轴水平向轴水平向右，右，y 轴竖直向下；轴竖直向

5、下； 将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁的弯矩方程；的弯矩方程； 将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次；将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次； 根据边界条件和变形连续条件确定积分常数；根据边界条件和变形连续条件确定积分常数； 将要求变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求将要求变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求指定截面的转角和挠度。指定截面的转角和挠度。例例1 求图示悬臂梁求图示悬臂梁B 截面的转角和挠度。截面的转角和挠度。ABq解：解：EIxxyqBll-xFs(x)M(x) ; 0 xm0)(21)(2xlqx

6、M2)(21)(xlqxM)0(lx )2(21)(21222xlxlqxlqEIyCxlxxlqEIEIy)31(21322DCxxlxxlqEIy)1213121(214322ABqEIxxylCxlxxlqEIEIy)31(21322DCxxlxxlqEIy)1213121(214322确定积分常数：确定积分常数：; 0, 0 x; 0, 0yx0C0DABqEIxxyl)31(2322xlxxlEIq)1213121(24322xlxxlEIqyEIqllllllEIqB6)31(23322EIqllllllEIqyB8)1213121(244322转角方程转角方程挠度方程挠度方程例例

7、2 求图示外伸梁求图示外伸梁B 截面的转角和截面的转角和C 截面的挠度。截面的挠度。EIABCPx1x2xyYA=P/2解：解：1121)(PxxM)0(1lx l/2l)23()(22xlPxM)23(2lxl1121PxEIy ,4112111CPxEIEIy,121111311DxCPxEIy; 0, 011yx01D; 0,11ylx1221PlCEIPlPlPlEIB6)1241(12221EIABCPx1x2xyYA=P/2l/2l)23()(22xlPxM)23(1lxl)23(22xlPEIy; 0,22ylx222222)2123(CxxlPEIEIy22232222)614

8、3(DxCxxlPEIy2232)6143(0DlClllP;,2121lxx22222)223(124CllPPlPlEIABCPx1x2xyYA=P/2l/2l65)2123(222222PlxxlPEIEIyEIPlPllPllllPEIyC842365)23(61)23(431332322232)6143(0DlClllP22222)223(124CllPPlPl,6522PlC432PlD 465)6143(32232222PlxPlxxlPEIy例例3 用积分法计算图示简支梁的用积分法计算图示简支梁的 A， B，yC。EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2解：解

9、：,2121)(2qxqlxxM)0(lx )(22lxxqEIyCxlxqEIEIy)231(223DCxxlxqEIy)6121(234; 0, 0yx0D; 0,ylxClllq)612(2044243qlC EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/224)231(2323qlxlxqEIEIy;224)2(6)2(1212334lqllllqEIyC;243qlEIAEIqlA243;2424)231(23323qlqllllqEIBEIqlB243EIqlyC38454xqlxlxqEIy24)6121(2334例例4 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界

10、用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？条件和变形连续条件是什么？ACDP2x1x3yBP1l/2l/4l/4x2xqqABCxxylEAa0, 4/11ylx0, 4/22ylx0, 4/322ylx0, 4/333ylx3232, 4/3lxx2121, 4/lxx0, 0yx, lx BClyEAqla2例例5 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？条件和变形连续条件是什么？ACPx3yBl/2l/2x2xqqABx1xyl0, 2/11ylx0, 2/22ylx0, 2

11、/322ylx3232,lxx2121, 2/lxx0, 011yxl/2x13232,yylxxDDCx2x3l/2l/2l0,11ylx0,22ylx0,233ylx2121,lxx3232, 2/3yylxx一、简单梁简单荷载下的变形一、简单梁简单荷载下的变形ABEIlABEIlABEIlm,EImlBEImlyB22P,22EIPlBEIPlyB33q,63EIqlBEIqlyB8443 叠加法计算弯曲变形叠加法计算弯曲变形ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC,3EImlAEImlB6EImlyC162EIPlBA162EIPlyC483EIqlBA

12、243EIqlyC38454二、叠加法计算梁的变形二、叠加法计算梁的变形ABl/2EIl/2PCm=PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl,332EIPlEImlAmEIPlEImlyCm161632,162EIPlAPEIPlyCP483EIPlAPAmA48192EIPlyyyCPCmC123=+三、几种基本变化三、几种基本变化 悬臂梁悬臂梁荷载在荷载在內內侧，求端部位移侧，求端部位移abABPCEICBCCybCyBEIPaCB22EIbPaEIPabyyCCB2323荷载在外侧，求内侧位移荷载在外侧，求内侧位移abABPCEICBCCyyBEIPaEIPabEI

13、PaEIMaC2222EIPaEIbPaEIPaEIMayC32323232ABPCCabPM=PbFs=P 外伸梁外伸梁PBABClaycyc1BaABlaPFs=PM=PaPBBBCBCCBayc1PEIPalEIMlB33EIPaC221EIPayC331EIPaEIPalCBC2321EIPaEIlPayayCBC33321C例例6 求图示梁求图示梁B，C 截面的转角和挠度。截面的转角和挠度。AB C EI l/2l/2q解：解：AB C EI qAB C EI q+EIqlB631EIqlyB841EIqlEIlqCB486)2/(332EIqllEIqlEIlqlyyCCB3847

14、2488)2/()2/(4342AB C EI l/2l/2qAB C EI qAB C EI q+EIqlB631EIqlyB841EIqlB4832EIqlyB384742;487321EIqlBBBEIqlyyyBBB38441421AB C EI l/2l/2qAB C EI C qFs=ql/2Fs=ql/2M=ql2/8l/2EIqlEIlqlEIlqlEIlFEIlMsC8242282)2()2(3222EIqlEIlqlEIlqlEIlFEIlMysC19273822483)2(2)2(432232例例7 求图示梁求图示梁A 截面的转角和挠度。截面的转角和挠度。ABCDP=ql

15、EIql/2l/2l/2ABCDP=qlEIql/2l/2l/2BFs=ql/2Fs=ql/2M=ql2/8EIqlEIlqlEIqlEIMlEIPlB483)8/(163163232AqB1A1Ay2/ lB,486)2/(331EIqlEIlqAEIqlEIlqyA1288)2/(44104848331EIqlEIqlABAEIqlEIqllEIqlylyABA38412824824431解：解：例例8 求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。AB C 2EI aaPEI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=PaEIPaEIPaE

16、IPaEIaFEIMasC4342)2(222222EIPaEIPaEIPaEIaFEIMaysC12564)2(3)2(233332,221EIPaB,331EIPayB解：解：C AB C 2EI aaPEI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=Pa,432EIPaCEIPayC1253,221EIPaB,331EIPayBEIPaEIPaEIPaCBB454322221EIPaEIPaEIPaEIPaayyyCCBB2343125333331C 54 梁的刚度条件梁的刚度条件一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足梁要正常

17、工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足。 土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即或等于容许值，即lylymax 机械类工程，传动轴是装在轴机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的转角必须小因此要求轴在轴承处的转角必须小于或等于容许值，即于或等于容许值，即 max二、提高梁的抗弯能力的主要措施二、提高梁的抗弯能力的主要措施 增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI 因各种钢

18、材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。如采用工字形、槽形、箱形等。 减小梁的跨度减小梁的跨度 因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq9/2l9/2lEIqly38454maxEIqly38411. 04max55 简单超静定梁的解法简单超静定

19、梁的解法 计算梁的内力、应力、变形，首先要求出梁的支座反力。计算梁的内力、应力、变形，首先要求出梁的支座反力。静定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超静定梁的静定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超静定梁的支座反力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程支座反力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程方可求解。方可求解。ABCEIPl/2l/2FAFBMA ; 0yF0PFFBA ; 0Am02lPlFMBAACEIPl/2l/2FAMAFBB022)2/(3)2/(3233lEIlPEIlPEIlFyBB165PFB; 0PFFBA; 02lPlFMBA1611PFA163P

20、lmA 多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结果相同。果相同。 去掉多余约束支座去掉多余约束支座B ，将支座，将支座B 的反力视为荷载，静定的反力视为荷载，静定梁梁AB在荷载在荷载P 、FB作用下，作用下，B 端挠度为零。端挠度为零。 ; 0yF ; 0AmBCEIPl/2l/2YAFBMAA03162EIlmEIPlAA163PlmA; 0PFYBA; 02lPlFMBA1611PFA165PRBP3Pl/16Pl/4M 图图 ; 0yF ; 0Am 上述解超静定梁的方法称为上述解超静定梁的方法称为。具体解题步骤。具体解题步骤如下：如下： 去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力；去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力； 根据多余约束处的变形关系建立补充方程；根据多余约束处的变形关系建立补充方程； 解补充方程求出多余约束反力；解补充方程求出多余约束反力； 将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定梁，然后按静定梁求解其它问题。梁，然后按静定梁求解其它问题。例例10 解图示超静定梁，并画弯矩图。解图示超静定梁，并画弯矩图。AB2aCaaEIPABCEIPF