应用抽样技术课后习题答案

1、应用抽样技术课后习题答案3.3为调查某中学学生的每月购书支出水平，在全校名学生中，用不放回简单随机抽样的方法抽得一个的样本。对每个抽中的学生调查其上个月的购书支出金额 yi （如表1所示）。 (1)在95%的置信度下估计该校学生该月平均购书支出额；(2)试估计该校学生该月购书支出超出70元的人数；(3)如果要求相对误差限不超过10%，以95%的置信度估计该校学生该月购书支出超出70元的人数比例，样本量至少应为多少。 表1 30名学生某月购书支出金额的样本数据3.3解：解：(1)依据题意和表依据题意和表1的数据，有：的数据，有：2216821682,56.07(),(1182661682 /30

2、)/30798.7330iyyys元211750300.03276430 1750fNnbacnnN( )0.03276798.7326.168v y ( )( )5.115se yv y 因此，对该校学生某月的人均购书支出额的估计为（元），由于置信度95%对应的 t=1.96, 所以，可以以95%的把握说该学生该月的人均购书支出额大约在，即元之间。，(2)易知，N=1750，n=30， 18n t=1.96180.26730npn11750300.033891(1)29 1750fNnnnN(1)0.2670.7330.1957pqpp(1)0.033890.19570.081441f pq

3、n10.01672nP的的95%95%的置信区间为的置信区间为: :12(1)1()0.267(1.960.081440.0167)12=(0.0907,0.4433)f pqpunn的的95%95%的置信区间为的置信区间为: :1N(159(159，776)776)(3)N=1750(3)N=1750，n=30n=30，n n1 1=8, t=1.96, p=0.267,=8, t=1.96, p=0.267, q=1-0.267=0.733 q=1-0.267=0.733 由此可计算得：22021.960.7331054.640.01 0.267t qnr p 计算结果说明，至少应抽取一个

4、样本量为659的简单随机样本，才能满足95%置信度条件下相对误差不超过10%的精度要求。n = n0/1+(n01)/N = 1054.64/1+1053.64/1750=658.2942 = 6593.5要调查甲乙两种疾病的发病率，从历史资料得知，甲种疾病的发病率为8，乙种疾病的发病率为5，求：(1)要得到相同的标准差0.05，采用简单随机抽样各需要多大的样本量？(2)要得到相同的变异系数0.05，又各需要多大的样本量？3.5解：已知 P1= 0.08, Q1= 1-P1 = 0.92; P2= 0.05, Q2 = 1 P2 = 0.95; ， (1) 由0( )PQnV p得：1020.

5、080.92300.05n2020.050.95190.05n 由02( )QnCvp P得：(2) 1020.9246000.050.08n 2020.9576000.050.05n 4.3解：解：（1） ，（2）按比例分配）按比例分配 n=186n=186，n n1 1=57=57，n n2 2=92=92，n n3 3=37=37（3）Neyman分配分配 n=175，n1=33，n2=99，n3=434.5 ，置信区间（，）元。，置信区间（，）元。20.07sty （元）()3.08sts y（元）75.79sty（元）4.6 解解 已知已知W1，W2，W3， P1，P2，P3 P=h

6、WhPh， n=100的简单随机抽样估计方差：的简单随机抽样估计方差： V(Psrs 按比例分配的分层抽样的估计方差：按比例分配的分层抽样的估计方差： V(Pprop) hWh2 (1fh)/nh Ph Qh n-1hWh Ph Qh = n-10.2*0.1*0.9+0.3*0.2*0.8+0.5*0.4*0.6 = 0.186 n-1 故故 n 92.26 934.8 解解 已知已知W1，W2，p1=1/43，p2=2/57 （1）简单随机抽样）简单随机抽样 Psrs （2）事后分层）事后分层 Ppst=hWhph V(Ppst) =hWh2(1fh)/(nh1)phqh 22*1/56(

7、2/57)(55/57)5.2 N2000, n36, 10.95, t1.96, f = n/N0.018， ， 置信区间为置信区间为40.93%,42.47%。)(Rv)(Rse当 时用第一种方法，当 时用第二种方法，当 时两种方法都可使用。这是因为： ， ， 若 则 0YXCC2YXCC2YXCC222211)(YYCYnfSnfyV)2(1)()(222XYXYCCCCRnfRVxyV)(XyV2222211YYCRnfCYXnf YXCC2)2(1)()(2XYXCCCRnfxyVXyVYXCC20)2(1)()(2XYXCCCRnfxyVXyVYXCC2)2(1)()(2XYXCC

8、CRnfxyVXyV 0 解解： V(YR)(1f)/nY2CY2+CX22rCYCX V(Ysrs)=(1f)/nSY2 =(1f)/n CY2Y2 故故 V(YR)/V(Ysrs) = 12rCX/CYCX2/CY222 = 1-0.397076 证明：由（5.6）得： 2121)(1)(dNiiiRSNnnNNRXYnfyV,2VSNnnNd令，则22)(ddNSSNVnNVSVSSNVNSndddd22221从而 解解 (1) 简单估计简单估计: 总产量总产量: : Ysrs=(N/n)i=1n Yi=(140/10)1400+1120+480 =176400(斤斤) v(Ysrs)=

9、N2(1f)/nSY2 =1402 = 354738222 se(Ysrs 解解 (2) 比率估计比率估计: R =i=1n Yi/ i=1n Xi = 12600/29.7 YR = 195151.5(斤斤) v(YR)=N2(1f)/n *i=1n (yiRXi )2/(n-1) =1402 = 25149054 se(Ysrs 解解 (3) 回归估计回归估计: 回归系数回归系数 b = Sxy/Sxx2 ylr Ylr=Nylr=192792.47(斤斤) v(Ylr)=N2(1f)/n *i=1n yiyb(xix)2/(n-2) =1402 = 20356834 se(Ylr5.7解

10、： ,)(YyElr)1 (1)(22YlrSnfyVniiilrlrXxBynxXByxXByy1)(21)(2)(YxEXByEyElrlr)()()()(21)(1niiilrXxBynVyV21)(2111YXXBYNnfNiii)(41)44(122222YXxYYXXYSBSBSnfBSSBSnf)()1 (11222lrYYyVSnfSnf故估计量 虽然与 一样都是 的无偏估计，但方差不小于 的方差，当 时 ，故 不优于 。lrylryYlry0)()(lrlryVyVlrylry0.22390.25140.15480.05730.04870.10220.06760.0981 6

11、.1假设对某个总体，事先给定每个单位的与规模成比例的比值 Zi ，如下表，试用代码法抽出一个n=3的 PPS 样本。iiziiz 表表1 总体单位规模比值总体单位规模比值6.1解：令 ,则可以得到下表，从11000中产生n=3个随机数，设为108，597，754，则第二、第六和第七个单位入样。01000M 2819541 0851 6292157989201 83456781 3536396506081 2387465125941234子公司序号子公司 序号6.3欲估计某大型企业年度总利润，已知该企业有8个子公司，下表是各子公司上年利润Xi 和当年利润 Yi 的数据，以Mi作为单位Xi大小 的

12、度量,对子公司进行PPS 抽样，设n=3,试与简单随机抽样作精度比较。 iYiXiYiX表表2 某企业各子公司上年与当年利润（单位：万元）某企业各子公司上年与当年利润（单位：万元）对子公司进行抽样，根据教材（对子公司进行抽样，根据教材（6.7）式：）式：88116.3 8,3,6857,7199iiiiNnXXY212211()()1NiHHiiiNiiiYV YZYnZYXYnX2168577707.8271993342303.5 585.07HHV Y显然对 抽样，估计量的精度有显著的提高。 如果对子公司进行简单随机抽样，同样样本量时如果对子公司进行简单随机抽样，同样样本量时 的简的简单估

13、计方差为：单估计方差为：Y2SRSyN NnV YSn8 54580379.69361071729.27814.84SRSV YPPS 抽样的设计效应是：342303.50.00560561071729.2deff PPS6.4 解解 (1) PPS的样本抽样方法可采用代码法或拉希里法的样本抽样方法可采用代码法或拉希里法.(2) 若在时间长度若在时间长度2、8、1、7h中打入中打入 数量分别为数量分别为8、29、5、28，则客户打入，则客户打入 的总数：的总数： YHH(3) 估计量的方差估计估计量的方差估计 v(YHH)=n(n1)-1i=1n(yi/ziYHH)2 =352/(4*3)(8

14、/24.15625)2+(29/84.15625)2 +(5/14.15625)2+(28/74.15625)26.5设总体设总体N=3, zi=1/2,1/3,1/6，Yi=10,8,5, 采取的采取的n=2的的PS抽样，求抽样，求i ,ij (i,j=1,2,3) 。 解：解：(1)(1)所有可能样本为：（所有可能样本为：（1010，8 8），（），（1010，5 5），（），（8 8，1010），（），（8 8，5 5），（），（5 5，1010），（），（5 5，8 8），其概率分别为：），其概率分别为：12223611123613334121113412133653012265301

15、2133516612306022132446121230603113225612303060122335612601313166306023129123060所以：所以： 6.6 解解 (1) 简单随机抽样简单估计简单随机抽样简单估计 Y=2+3+6+8+11+14=44 S2=(N1)-1i=1N(YiY)2 =(2*322)2+(3*322)2+(6*322)2 +(8*322)2+(11*322)2+(14*322)2/(5*9) 总值估计的方差估计总值估计的方差估计 V(Ysrs) = N2(1f)/nS2 = 36(12/6)/2322/156.6 解解 (2) 简单随机抽样比率估计

16、简单随机抽样比率估计 X=1+2+4+7+9+13=36，Y=2+3+6+8+11+14=44， R=44/36=11/9，f=2/6=1/3总值估计的方差估计总值估计的方差估计 V(YR) N2(1f)/n i=1N(YiRXi)2/(N1) = 36(12/6)/10(21*11/9)2+(32*11/9)2 +(64*11/9)2 +(87*11/9)2 +(119*11/9)2+(1413*11/9)2 = (12/5)*(488/81) 6.6 解解 (3) PPS抽样汉森抽样汉森赫维茨估计赫维茨估计 X=1+2+4+7+9+13=36，Y=2+3+6+8+11+14=44， 取取Z

17、i=Xi/X, (i=1,2,6) 总值估计的方差估计总值估计的方差估计 V(YHH) = (1/n) i=1N Zi(Yi/Zi Y)2 = (1/nX)i=1N Xi(XYi/Xi Y)2 = (1/72)1*(36*2/144)2+2*(36*3/244)2 +4*(36*6/444)2 +7*(36*8/744)2 +9*(36*11/944)2+13*(36*14/1344)2 7.1（略）解： 不是 的无偏估计，此因类似于 有 因为对群进行简单随机抽样，故 ， ，从而 ，若取 则2s2S1) 1() 1(222AMSASMASbw 1) 1() 1(222aMsasMasbw22b

18、bSEs 22wwSEs 22221) 1() 1(SaMSaSMaEsbw1) 1() 1(222AMsAsMASbw22SSEy = (1/80)ij yij = 1054.78, sb2= (10/7)i (yiy)2V(y) = (1f)/(aM)sb2 = 37.5697 (1) 以每盒灯泡为群实施整群抽样以每盒灯泡为群实施整群抽样y = (1/80)ij yij = 1054.78, s2= (1/79)ij (yijy)2V(y) = (1f)/(aM)s2 = 57.6269 (2) 以从以从20000个灯泡中按简单随机抽样个灯泡中按简单随机抽样y = (1/80)ij yij

19、 = 1054.78, Sw2 = (1/a) i si2 = 1/(a(M1)ij (yijyi)2r = (sb2sw2)/sb2+(M1)sw2Deff = V(y)/V(y) = 1+(M1)r = 0.6694 7.4 对题群内相关系数进行估计对题群内相关系数进行估计 7.5 解：由于农户是调查单位，故以村为抽样单位的抽样是整群抽样，村即是群。对于村既有生猪存栏数，也有户数，因此在村大小不等的整群抽样下，既可使用简单估计量估计生猪存栏数，也可以户数为辅助指标构造比率估计和回归估计来估计生猪存栏数。（1）简单估计量 （2）以户数为辅助变量的比率估计量 ,1080063240200yAY,6394240001)()1 ()(122ayyafAYvaii25287)(Yse,11368428503240100000110aiiaiiRmyMY， 98880， ， 133750ys2ysxs2xs13684. 12850324011aiiaiimyR r13341)2()1 ()()(2222xyxyRRsrsRsRsafAYvYse （3）以户数为辅助变量的回归估计量 803. 022xxyxyxssrsssb 1