计算方法 第二章

1、计算方法计算方法2月17日1第第2章章 插值法插值法l引言l拉格朗日插值l均差与牛顿插值多项式l埃尔米特插值l分段低次插值l三次样条插值2什么是插值问题？什么是插值问题？简单地说，给定 (x0,y0) ，(x1,y1) ， (xn,yn)， 给定 x，确定y =?类似地，对于多变元函数.给定(x00, x01, x0n, y0)(xk0, xk1, , xkn, yk)以及给定x0, x1, , xk,如何确定y?3严格定义严格定义4首选多项式插值首选多项式插值l方便性l易于计算l易于微分l易于积分l唯一性l不管用什么办法获得，满足条件的n阶多项式插值函数（给定n+1个插值条件）只有一个5多项

2、式插值函数的唯一性多项式插值函数的唯一性l6l而而 恰为范德蒙恰为范德蒙(Vandermonde) 行列式。由高等代数知：行列式。由高等代数知：)det(A0det( )()0jiij nAxx 7如何确定多项式插值函数如何确定多项式插值函数l解析方法l解方程求解多项式系数akl数值方法：拉格朗日、牛顿从方程组（*），由克莱姆(Cram)法则我们知道： )det(Adakk其中 是将系数矩阵A的第k列换为方程组（*）的右端向量形成的矩阵行列式 。kd8线性插值（一次多项式）线性插值（一次多项式）ln=1l2个插值节点l一次多项式插值函数l满足2个插值节点约束)()(111kkkkkkxxxxy

3、yyxL1111)(,)(kkkkyxLyxL)()(111kkkkkkxxxxyyyxL9线性插值基函数线性插值基函数l一次多项式插值函数的另一种写法10线性插值基函数的性质线性插值基函数的性质111)()()(kkkkyxlyxlxL11抛物线插值（二次多项式）抛物线插值（二次多项式）ln=2l3个插值节点l二次多项式插值函数l满足2个插值节点约束1122112)(,)(,)(kkkkkkyxLyxLyxLcbxaxxL22)(12二次插值基函数特性二次插值基函数特性l仿照一次（线性）插值基函数构造一次插值多项式的原理，如果也有满足条件的3个二次函数，则也可类似构造出二次插值函数，形如：1

4、1112)()()()(kkkkkkyxlyxlyxlxL13二次插值基函数二次插值基函数14二次插值多项式二次插值多项式15n次多项式插值次多项式插值l16n次插值基函数次插值基函数17拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式l基于上述的n次插值基函数，可得到相应的n次多项式插值函数，即拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式：nkkknxlyxL0)()(18拉格朗日插值法的拉格朗日插值法的tipsl特殊情况下，n次拉格朗日插值多项式的次数可能小于nl唯一性。定理1 在次数不超过n的多项式集合Hn中，满足n+1个插值节点约束条件的插值多项式Ln(x) Hn是存在唯一的。（证明自学）l特例：19一个

5、重要的结论一个重要的结论l在上述特例中，最特的一个：1)(0nkkxl20拉格朗日插值余项拉格朗日插值余项101( ) ()().(),nnxx xx xx x21证明证明: 只给出思路只给出思路,详见课本详见课本l按定义, Rn(x)有根x0, x1, , xn. 所以,可以假设Rn(x) = K(x) n+1(x). 其中K(x)待定把x也看作一个确定的值，构造一个函数 (t)=f(t) -Ln(t) - K(t) n+1(t). 则 (t)有(n+2)个根x0, x1, , xn, x.由Roll定理， (t)在 (t)的两个根之间有一个根，所以在a, b上 (t)有至少n+1个根. 反复应用Roll定理，到最后可以解得K(x).最终定理得证明22拉格朗日插值法应用拉格朗日插值法应用l注意： (a, b)一般是不好确定的但是若我们能求出在(a, b)内的界，则可得到截断误差的界！l例2见课本28页，演示见example201.m.(1)( )nfx23拉格朗日插值法的缺陷拉格朗日插值法的缺陷l拉格朗日插值法的优点是公式结构紧凑不足不足在于当插值节点增减时全部插值基函数