苏州市2019届高三一模数学试卷及答案

1、苏州市2019届高三一模数学试卷（满分160分，考试时间120分钟）1、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.1 .已知集合 A = 1, 3, 5, B = 3, 4,则集合 AAB =.2 .复数z=为虚数单位）的虚部是.3 .某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩 在6080分的学生人数是 .3题）/输入j,力/输出冉/国显（第6题）74 .连续抛掷一颗骰子 2次，则掷出的点数之和为8的概率为 .5 .已知3sin（ k兀）=cos a ,贝U tan（兀一a的值是.6 .如图所示的流程图中，若输入的a, b分别为4, 3,则输出的n

2、的值为7 .在平面直角坐标系 xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（一3, 1）,则该双曲线的离心率为 .8 .曲线y=x+2ex在x= 0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .9 .如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为10 .在平面直角坐标系 xOy中，过点 A（1 , 3）, B（4, 6）,且圆心在直线 x-2y-1 = 0 的圆的标准方程为 .11 .设Sn是等比数列an的前n项和，若75=1,则c .S10 3S20 十 S10x2+2x,

3、x0,12 .设函数f（x） = 若方程f（x） kx=3有三个相异的实数根，则实数 k-2x,x0 ,的取值范围是.13 .如图，在边长为 2的正方形ABCD中，M, N分别是边BC , CD上的两个动点，且BM + DN = MN ,则AM AN的最小值是 .14 .设函数f(x)= 2ax2 ,若对任意 xi (-00 0),总存在 X2 2 ,十 ),使得 xf(X2)wf(xi),则实数a的取值范围是 .2、 解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABXBC, E, F

4、分别是A1C1, BC的中点.(1)求证：平面 ABE，平面B1BCC1；(2)求证：CF/平面 ABE.16 .(本小题满分14分)在4ABC中，角 A, B, C所对的边为 a, b, c,已知2bcosA = 2c 43a. 求角B的大小；(2)设函数 f(x) = cosx - sinx+3 r- 坐，求 f(A)的最大值.17 .(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在 x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A,点A到右准线的距离为 6.(1)求椭圆E的标准方程；3,(2)过点A且斜率为2的直线与椭圆 E交于点B,过点B与右焦点F的直线交椭圆 E于 点M ,求点M的

5、坐标.18 .(本小题满分16分)如图，长途车站 P与地铁站O的距离为，5千米，从地铁站 。出发有两条道路li, I2,经 测量，li, I2的夹角为OP与li的夹角。满足tan。=2 ,中0。3,现要经过P修一条 直路分别与道路li, I2交汇于A, B两点，并在点A, B处设立公共自行车停放点.(1)已知修建道路PA, PB的单位造价分别为 2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总 造价相等，求此时点 A, B之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对 OA, OB段道路进行翻修，OA, OB段的翻修单彳分别为 n 元/千米和202n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点A, B的位置

6、.19 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) =ax3+bx24a(a, b C R).(1)当a = b= 1时，求函数f(x)的单调增区间；b -(2)当aw 0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求工的值；a(3)当a=0时，若f(x)ln x的解集为(m, n),且(m, n)中有且仅有一个整数，求实数 b 的取值范围.20 .（本小题满分16分）定义：对于任意 nCN*, Xn+Xn+2Xn+1仍为数列Xn中的项，则称数列Xn为“回归数 已知an=2n（nCN*）,判断数列an是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列bn为“回归数列，b3=3, b9=9,且对于任意nCN*

7、,均有bn1（a + b+c）.b+c c+ a a+b 2，苏州市2019届高三一模数学参考答案【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)已知正四棱锥 SABCD的底面边长和高均为 2,从其五个顶点中任取三个，记这三个顶 点围成的三角形的面积为E .(1)求概率P(- 2);(2)求E的分布列和数学期望.23 .(本小题满分10分)如图，在四棱锥 PABCD中，已知底面 ABCD是边长为1的正方形，侧面 PAD，平面 ABCD , PA=PD, PA与平面PBC所成角的正弦值为 手.(1)求侧棱PA的长；(2

8、)设E为AB的中点，若 PA AB ,求二面角BPCE的余弦值.111. 32. -1 3. 25 4.2 5. _32 6. 33637. 710 8. =2sinxcosx+ ? cos x 4 9. 273 10. (x-5)2+(y-2)2=17 3111. 18 12.( 2, 2-273) 13. 81/2-8 14. 0 , 115. (1)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BBH底面ABC. 因为 AB?平面ABC ,所以BB1XAB.又 ABBC, BBMBC = B, BB1，BC?平面 B1BCC1, 所以AB，平面BiBCCi.又AB?平面ABE ,所以平面 ABE，平

9、面BiBCCi.(2)如图，取 AB的中点G,连结EG, FG.因为G, F分别是AB, BC的中点，1所以 FG/ AC,且 FG=1AC.1因为因为所以E为A1C1的中点，所以 EC1 = 2A1C1.AC / A1c1,且 AC = A1C1,FG/ EC1,且 FG= EC1,所以四边形FGECi为平行四边形，所以 C1F/ EG.又因为EG?平面ABE , C1F?平面 所以CiF/平面ABE.416) (1)在4ABC 中，因为 2bcosA = 2c V3a, 所以由正弦定理得 2sinBcosA = 2sinC 43sinA. 因为在 ABC 中，sinC=sin(A+ B),

10、 所以 2sinBcosA = 2sin(A + B) sinA ,即 2sinBcosA = 2sinAcosB + 2cosAsinB /sinA , 所以 /3sinA = 2cosBsin A.因为 sinAw。，所以 cosB = 3.一， 兀因为B (0,兀)，所以B =.，、，- 2L , -仙17) f(x) = cosx - (sinx - cos3 + cosx , sin 3 ) 413371=2sin 2x+ = sin2x+ 4 (cos2x+1) 4J所以 f(A) =2sin 2A + -3 .一一兀 一_因为B =,且A+B+C=兀,所以 AC (，56)所以

11、2A + 13- -3-, 2 兀 i所以当2A+-=y,即A = 时，f(A)取最大值; 321222217.(1)设椭圆的方程为a2+b2= 1(ab0),半焦距为c.一 1 . c 1 一因为椭圆的离心率为1,所以c= 1，即a= 2c.2 a 2又因为点A到右准线的距离为6,2所以a+包=3a=6, c解得 a= 2, c= 1,所以 b2= a2 c2= 3,所以椭圆E的标准方程为x-+y-=1.43(2)由(1)知直线AB的方程为y = |(x+2),得 x2+3x+2=0,解得x= - 2或x= - 1,所以点B的坐标为-1, 3 由(1)知右焦点F(1, 0),所以直线BF的方

12、程为y= 4(x 1).y=- 3 (x-1),由22得 7x26x13= 0,解得 x= 1 或 x = 43,x y_177r1，所以点M的坐标为(13,品.18. (1)以O为原点，直线 OA为x轴建立平面直角坐标系.E、， 一一兀 ,一 1因为 000),又点 B 在射线 y=x(x0)上,所以可设 B(b, b)(b0).所以1=3,一 一 /口 2 b = 2(a 2), 由BP = 2PA,得l_1-b=-2,所以 A i|, 0B(3, 3),所以 AB=y|；+32 = 325,即点A, B之间的距离为325千米.(2)方法一：设翻修总价为 S 元，则 S= n OA +2y

13、2n - OB= (OA+22OB) n.设h=OA+272OB,要使S最小，只需h最小.当 ABx 轴时，A(2, 0),此时 OA = 2, 08=2吸，所以 h=OA + 272OB = 2+8= 10;当AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为y=k(x 2) + 1(kw0),1令y=0,得点A的横坐标为2-, k所以OA = 21k-令y=x,得点B的横坐标为生二1.k- 1因为 210 且2k二-0,所以 k1 , k k 111rl 八14(2k 1)此时 h=OA + 272OB = 2-+ ,k k-114 ( k+1) (3k 1)(-1, 0)上单调递增,h = k2+

14、 (k-1) 2= k2 (k-1) 2.当k0时，函数h在区间(一00, 1)上单调递减，在区间17所以 hmin = h|k=-i = 9当旧时,h = 2-k+814= 10+41 3k+1 7=10 + 10.k- 1 k k (k 1)综上所述，要使两段道路的翻修总价最少，点A应位于距离O点3千米处，点B应位于距离O点手千米处.方法二：如图，作 PM / OA交OB于点M ,交y轴 于点Q,作PN / OB交OA于点N. 因为P(2, 1),所以OQ=1.又因为/ BOQ = 45 ,所以QM=1,OM = yft,所以PM = 1,pn = om = 2.由 PM / OA,PN

15、/ OB ,得OB AB OrAF所以需+Oa ABPA , PBAB=1.设翻修总价为 S元，则S=nOA + 242n- OB = (OA + 2y2OB) n.设 h= OA + 272oB = (OA + 272OB) -=5 +9,所以f(x)的单调增区间是3刘(0, + ).当且仅当OA = y2OB时取等号，此时 OA = 3, OB = 322.所以要使两段道路的翻修总价最少，点A应位于距离O点3千米处，点B应位于距离O点于千米处.319. (1)当 a=b= 1 时，f(x) = x(2)易知 f (x)3ax2+2bx.令 f (x)0,得 x=0 或 x=2b3a因为函数

16、w有两个不同的零点，所以f(0)=0或f3a ：= 0.当f(0) = 0时，代入得a= 0,不合题意，舍去；当f(一耕。时,代入得a(一标(一岁-4a=。，即-期+晒_4=0，所以a=&(3)当 a= 0 时,f(x) = bx令 f (x)。解得 x0 或 x0).因为 f(x)lnx,所以 bx20 ,所以g(x)在(0,)上单调递增，且g(i) = - b0,所以在区间(1, +8 )上，g(x) = lnx-bx20,不符合题意;当b0时，令g (x)+ oo所以g(x)在区间Jb卜单调递增,在区间要使g(x)0有解，首先要满足1 斛倚b院.1因为 g(1) = - b0, 一一-

17、,- g (2) 0, r ln24b0,所以要使f(x) lnx的解集(m , n)中只有一个整数，则，即，g (3) & 0,ln3-9b0,解得粤wb0, h(x)单调递增；当 xC(e,+8)时， (x)h(2) =ln22, en所以：呼，所以由和得 .w b呼，2e 494即实数b的取值范围是 卜V)20.(1)假设an是“回归数列”，则对任意nCN*,总存在kCN*,使得an+an+2-an+1=ak成立，即 2n+4 2n2 2n=2k,即 3=2kn,此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立，所以an不是“回归数列”.(2)因为 bnbn+1,所以 bn+1bn

18、 且 一十 一+2 一 += 一+2 一(+1 bn)bn+2.又bn为“回归数列”，所以 bn + bn+2 bn+1 = bn+1,即 bn+bn+2= 2bn+1,所以数列3为等差数列.因为 b3 = 3, b9 = 9,所以 bn= n(n C N ).b2+3S+1-13S+1+s2-1因为由一=bf所以lT.（*）因为t3 =2、2 （1 s2）0,所以 tw3.又因为te N*,所以t=1, 2, 3.当t=1时，(*)式整理为3s= 0,不成立;,1-e , S2- 1当t=2时，(*)式整理为sr=i.3、几n2-1*2n (1 n) + 3设 Cn = qn (n C N ),则 Cn+1 Cn =Tni,33所以当 n=1 时，Cn2 时，CnCn + 1,1 一.一所以(Cn)max=c2 = W0),则 PB=Q, 1, c i；, CB=(1, 0, 0).设平面PBC的法向量为x1 + y1 cz1 = 0, 则有21=仅1, y，z1),ai = 0,取z1 = 1,则y1 = c,从而平面 PBC的一个法向量为 1=(0, c, 1).设PA与平面PBC所成的角为 a因为PA=，0, -c ；所以sin a = |cos PA, n1 |= JPA n1| |PA| |n1|解得c2=4或c2=3，所以 PA= 1 或 PA