【数学】12应用举例（人教A版必修5）课件1

1、1.2 1.2 应用举例应用举例第一章第一章 解三角形解三角形问题提出问题提出1.1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？2si nsi nsi nabcRABC=2222cosabcbcA=+-2222coscababC=+-2222cosbacacB=+-2.2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？正弦定理：一边两角或两边与对角；正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与夹角或三边余弦定理：两边与夹角或三边.3.3.在平面几何中，两点间的距离就是连接这两点的线段长在平面几何中，两点间的距离就

2、是连接这两点的线段长. .对于不可以直接度量的两点间的距离，通常用什么办法进对于不可以直接度量的两点间的距离，通常用什么办法进行计算？行计算？ 构造三角形构造三角形4.4.在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直接度量，对于不可到达的两点间的距离，常在特定情境接度量，对于不可到达的两点间的距离，常在特定情境下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例分析分析. . 距离测量问题探究（一）：一个不可到达点的距离测量探究（一）：一个不可到达点的距离测量思考思考1 1：如图，设如图，设A A、B

3、B两点在河的两岸，两点在河的两岸，测量者在点测量者在点A A的同侧，在点的同侧，在点A A所在河岸边选定一点所在河岸边选定一点C C，若测，若测出出A A、C C的距离是的距离是55m55m，BAC=51BAC=51，ACB=75ACB=75，如何求，如何求出出A A、B B两点的距离？两点的距离？C CA AB B55sin7565.7sin54AB 思考思考2 2：若改变点若改变点C C的位置，哪些相关数据可的位置，哪些相关数据可能会发生变化？对计算能会发生变化？对计算A A、B B两点的距离是否两点的距离是否有影响？有影响？ C CA AB B思考思考3 3：一般地，若一般地，若A A为

4、可到达点，为可到达点，B B为不可到为不可到达点，应如何设计测量方案计算达点，应如何设计测量方案计算A A、B B两点的两点的距离？距离？C CA AB B选定一个可到达点选定一个可到达点C C； 测量测量ACAC的距离及的距离及BACBAC，ACBACB的大小的大小 利用正弦定理求利用正弦定理求ABAB的距离的距离. .思考思考4 4：根据上述测量方案设置相关数据，根据上述测量方案设置相关数据，计算计算A A、B B两点的距离公式是什么？两点的距离公式是什么？ C CA AB Bsi nsi n()dA Baab=+设设AC=dAC=d，ACB=ACB=，BAC=. BAC=. 探究（二）：

5、两个不可到达点的距离测量探究（二）：两个不可到达点的距离测量思考思考1 1：如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，已知中，已知BACBACDBCDBC4545，DACDAC7575，ABDABD3030，且，且ABAB ，你能求出，你能求出CDCD边的长吗？边的长吗？ 3A AB BC CD D303045454545757535思考思考2 2：设设A A、B B两点都在河的对岸（不两点都在河的对岸（不可到达），你能设计一个测量方案计算可到达），你能设计一个测量方案计算A A、B B两点间的距离吗？两点间的距离吗？C CD DA AB B选定两个可到达点选定两个可到达点C C、D D

6、； 测量测量C C、D D间的距离及间的距离及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB的大小；的大小；利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BCBC； 利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB.思考思考3 3：在上述测量方案中，设在上述测量方案中，设CD=aCD=a，ACB=ACB=，ACD=ACD=，BDC=BDC=，ADB=ADB=，那么，那么ACAC和和BCBC的计算公式是什的计算公式是什么？么？ C CD DA AB Bsi n()si n()aA Cgdbgd+=+si nsi n()aB Cgabg=+思考思考4 4：测量两个不可到达点之间的距测量两个不可到达点之间的

7、距离还有别的测量方法吗？离还有别的测量方法吗？理论迁移理论迁移 例例 某观测站某观测站C C在城在城A A的南偏西的南偏西2020方向，方向，由城由城A A出发的一条公路沿南偏东出发的一条公路沿南偏东4040方向笔方向笔直延伸直延伸. .在在C C处测得公路上处测得公路上B B处有一人与观测处有一人与观测站站C C相距相距31km31km，此人沿公路走了，此人沿公路走了20km20km后到达后到达D D处，测得处，测得C C、D D间的距离是间的距离是21km21km；问这个人还；问这个人还要走多远才能到达要走多远才能到达A A城？城？ A AC CB BD D东东北北1515问题提出问题提出

8、1.1.测量一个可到达点与一个不可到达点测量一个可到达点与一个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？之间的距离，应如何测量和计算？C CA AB B2.2.测量两个不可到达点之间的距离，应如何测量两个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？测量和计算？C CD DA AB B3.3.竖直方向两点间的距离，通常称为高度竖直方向两点间的距离，通常称为高度. .如如何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，也是一个值得探究的问题也是一个值得探究的问题. .探究（一）：利用仰角测量高度探究（一）：利用仰角测量高度思考思考1 1：设设ABAB是一个底部不可到达的竖直建

9、筑物，是一个底部不可到达的竖直建筑物，A A为建筑为建筑物的最高点，在水平面上取一点物的最高点，在水平面上取一点C C，可以测得点，可以测得点A A的仰角，的仰角，若计算建筑物若计算建筑物ABAB的高度，还需解决什么问题？的高度，还需解决什么问题？ C CA AB B计算计算ACAC的长的长高度测量问题思考思考2 2：取水平基线取水平基线CDCD，只要测量出哪些，只要测量出哪些数据就可计算出数据就可计算出ACAC的长？的长？C CA AB BD D点点C C、D D观察观察A A的仰角和的仰角和CDCD的长的长 思考思考3 3：设在点设在点C C、D D出测得出测得A A的仰角分别的仰角分别为

10、为、，CD=aCD=a，测角仪器的高度为，测角仪器的高度为h h，那么建筑物高度那么建筑物高度ABAB的计算公式是什么？的计算公式是什么？C CA AB BD Dsi nsi nsi nsi n()aA BA Chhabaab=+=+-思考思考4 4：如图，在山顶上有一座铁塔如图，在山顶上有一座铁塔BCBC，塔顶和塔底都可到达，塔顶和塔底都可到达，A A为地面上一点，为地面上一点，通过测量哪些数据，可以计算出山顶的通过测量哪些数据，可以计算出山顶的高度？高度？A AB BC C思考思考5 5：设在点设在点A A处测得点处测得点B B、C C的仰角分的仰角分别为别为、，铁塔的高，铁塔的高BC=a

11、BC=a，测角仪的，测角仪的高度忽略不计，那么山顶高度高度忽略不计，那么山顶高度CDCD的计算的计算公式是什么？公式是什么？ A AB BC CD Dcossi nsi nsi n()aC DA Cabbab=-探究（二）：利用俯角测量高度探究（二）：利用俯角测量高度思考思考1 1：飞机的海拔飞行高度是可知的，飞机的海拔飞行高度是可知的，若飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面若飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，飞机在水平飞行中测量山顶的高度，内，飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关键是求出哪个数据？关键是求出哪个数据？A A飞机与山顶的海拔差飞机与山顶的海拔差 A AB BC CD D思考思考2

12、2：如图，设飞机在飞临山顶前，在如图，设飞机在飞临山顶前，在B B、C C两处测得山顶两处测得山顶A A的俯角分别是的俯角分别是、，B B、C C两点的飞行距离为两点的飞行距离为a a，飞机的海拔飞，飞机的海拔飞行高度是行高度是H H，那么山顶的海拔高度，那么山顶的海拔高度h h的计的计算公式是什么？算公式是什么？si nsi nsi nsi n()ahHA DHA CHabbba=-=-=-探究（三）：借助方位角测量高度探究（三）：借助方位角测量高度思考思考1 1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到方向行驶，到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得

13、公路北侧远处一山顶D D在西偏北在西偏北1515方向上，行驶方向上，行驶5km5km后到达后到达B B处，处，测得此山顶在西偏北测得此山顶在西偏北2525方向上，仰角为方向上，仰角为8 8，根据这些测量数据计算，此山的高度约是多根据这些测量数据计算，此山的高度约是多少？少？A AB BC CD D东东西西1047m1047m思考思考2 2：若在若在A A、B B两处测得山顶两处测得山顶D D的仰角的仰角分别为分别为、，从，从A A到到B B的行驶距离为的行驶距离为a a，能否求出此山的高度？能否求出此山的高度？A AB BC CD D东东西西思考思考3 3：在上述条件下，若在在上述条件下，若在

14、A A处还测得处还测得山顶山顶D D的方位角是西偏北的方位角是西偏北方向，能否求方向，能否求出此山的高度？出此山的高度？问题提出问题提出1.1.测量水平面内两点间的距离，有哪两测量水平面内两点间的距离，有哪两种类型？分别测量哪些数据？种类型？分别测量哪些数据？一个可到达点与一个不可到达点之间的一个可到达点与一个不可到达点之间的距离；两个不可到达点之间的距离距离；两个不可到达点之间的距离. 基线长和张角基线长和张角.2.2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？在实际问题中如何选择？在实际问题中如何选择？仰角、俯角或方位角仰角、俯角或方位角. . 在

15、地面测仰角，在地面测仰角， 在空中测俯角，在空中测俯角， 在行进中测方位角在行进中测方位角. . 3.3.角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小，物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小，也是测量问题中的一个重要内容也是测量问题中的一个重要内容. .探究（一）：测量行进方向探究（一）：测量行进方向思考思考1 1：一艘海轮从海港一艘海轮从海港A A出发，沿北偏东出发，沿北偏东7575的方向航行的方向航行67.5 n mile67.5 n mile后到达海岛后到达海岛B B，然后从，然后从B B出发，沿北偏东出发

16、，沿北偏东3232的方向航行的方向航行54.0 n mile54.0 n mile后到达海岛后到达海岛C C，那么，那么A A、C C 两点间两点间的直线距离是否确定？如何计算？的直线距离是否确定？如何计算？C CA AB B东东北北AC=113.15AC=113.15海里海里角度测量问题思考思考2 2：在上述问题中，若海轮直接从海在上述问题中，若海轮直接从海港港A A出发，直线航行到海岛出发，直线航行到海岛C C，如何确定，如何确定海轮的航行方向？海轮的航行方向？C CA AB B东东北北沿北偏东沿北偏东5656的方向航行的方向航行 思考思考3 3：甲船在甲船在A A处发现乙船在北偏东处发现

17、乙船在北偏东6060的的B B处，以处，以20 n mile/h20 n mile/h的速度向正的速度向正北方向航行，若使甲船在直线航行中，北方向航行，若使甲船在直线航行中，与乙船在某处相遇，那么甲船的航行方与乙船在某处相遇，那么甲船的航行方向由什么因素所确定？向由什么因素所确定？ C CA AB B东东北北甲船的航行速度甲船的航行速度思考思考4 4：在上述问题中，若甲船的航速为在上述问题中，若甲船的航速为 n mile/hn mile/h，那么甲船应沿什么方向，那么甲船应沿什么方向航行才能与乙船在航行才能与乙船在C C处相遇？处相遇？ 20 3C CA AB B东东北北沿北偏东沿北偏东303

18、0的方向航行的方向航行 探究（二）：测量相对位置探究（二）：测量相对位置思考思考1 1：甲船在甲船在A A处，乙船在点处，乙船在点A A的东偏南的东偏南4545方向，且与甲船相距方向，且与甲船相距9 n mile9 n mile的的B B处处. .在点在点B B南偏西南偏西1515方向有一个小岛方向有一个小岛C C，甲、乙两船分，甲、乙两船分别以别以28 n mile/h28 n mile/h和和20 n mile/h20 n mile/h的速度同时的速度同时向小岛直线航行，并同时达到小岛，那么向小岛直线航行，并同时达到小岛，那么B B处处与小岛的距离是多少？与小岛的距离是多少？C CA AB

19、 B东东北北15 15 海里海里思考思考2 2：在在A A处观察小岛，其位置如何？处观察小岛，其位置如何？C CA AB B东东北北南偏东南偏东7 7，相距，相距2121海里海里理论迁移理论迁移 例例 在在A A处有一条小船，在点处有一条小船，在点A A的北偏东的北偏东3030方向有一个小岛方向有一个小岛B B，这附近海域内有，这附近海域内有北偏东北偏东6060方向，且速度为方向，且速度为4 nmile/h4 nmile/h的的潮流潮流. .已知小船的航速是已知小船的航速是10 nmile/h10 nmile/h，若若使小船在最短的时间内达到小岛，小船使小船在最短的时间内达到小岛，小船应沿什么

20、方向航行？应沿什么方向航行？ C CA AB B东东北北北偏东北偏东 18.4618.46 总结总结1.1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小，利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小，是角度测量问题的基本内容，主要应用于航海中是角度测量问题的基本内容，主要应用于航海中航行方向的测量与计算航行方向的测量与计算. .2.2.角与距离是密切相关的，将背景材料中的相关角与距离是密切相关的，将背景材料中的相关数据转化为三角形的边角值，再利用正、余弦定数据转化为三角形的边角值，再利用正、余弦定理求相关角的大小，是解题的基本思路理求相关角的大小，是解题的基本思路. .3.3.如果角或距离不能直接利用

21、正、余弦定理求解，如果角或距离不能直接利用正、余弦定理求解，就用方程思想处理就用方程思想处理. .问题提出问题提出1.1.三角形中有一系列基本定理和公式，三角形中有一系列基本定理和公式，其中包括内角和定理，勾股定理，正弦其中包括内角和定理，勾股定理，正弦定理，余弦定理，射影定理，面积公式定理，余弦定理，射影定理，面积公式等，这些知识是解决三角形问题的基本等，这些知识是解决三角形问题的基本理论依据理论依据. .2.2.以三角形为背景的数学问题，除了解以三角形为背景的数学问题，除了解三角形和测量问题外，还有与三角函数三角形和测量问题外，还有与三角函数相关联的三角变换问题，我们将对这类相关联的三角变换问题，我们将对这类问题作些分析与探究问题作些分析与探究. .探究（一）：三角形面积的计算探究（一）：三角形面积的计算思考思考1 1：在在ABCABC中，若中，若B=62.7B=62.7，C=65.8C=65.8，b=3.16cmb=3.16cm，如何求三角形的，如何求三角形的面积？面积？221si nsi nsi n4()22si nbCASbcAcmB=三角形中的三角变换思考思考2 2：在在ABCABC中，若中，若a=41.4cma=41.4cm，b=27.3cmb=27.3cm，c=38.7cmc=