2016最新高等数学试题及答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上2016中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案高等数学一、填空题1设，则函数的图形关于对称。2若，则.3 极限。4.已知，则_, _。5.已知时，与是等价无穷小，则常数= 6.设，其中可微，则= 。7.设，其中由确定的隐函数，则  。8.设具有二阶连续导数，则   。9.函数的可能极值点为 和 。10.设则.11. .12. .13若，则。14.设： ,则由估值不等式得 15.设由围成（），则在直角坐标系下的两种积分次序为_和_.16.设为，则的极坐标形式的二次积分为_.17.设级数收敛，则常数的最大取值范围是 .18. .19.

2、方程的通解为 20微分方程的通解为 .21.当n=_时，方程 为一阶线性微分方程。22. 若阶矩阵的行列式为是的伴随矩阵,则_.23.设A与B均可逆，则C =也可逆，且.24.设，且，则X = .25矩阵的秩为26. 向量,其内积为_.27. n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是 .28. 给定向量组，若线性相关，则a，b满足关系式 .29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 .30 向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T与 =(1,3)T线性表示为 .31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的 条件.

3、32. 设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组b有唯一解的充要条件是r(A) r(A|b )= .33.已知元线性方程组有解，且，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为34.设是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组的 都是A的属于的特征向量.35.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则的特征值为 .36.设A是n阶方阵，|A|0,为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值,则必有特征值. 37.a,b分别为实对称矩阵A的两个不同特征值所对应的特征向量,则a与b 的内积（a,b）= . 38.二次型的秩为 .39. 矩阵为正定矩阵,则的取值范围是_.40. 二次型是正定的,则的取值范围

4、是_.41. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 .42. 事件A、B相互独立，且知则. 43.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为.44. 在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k次的概率为().45. 设随机变量X服从泊松分布，且则= .46. 设随机变量X的分布密度为，则= .47. 若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为YX1211/163/162b且X，Y相互独立，则常数 = ,b = . 48. 设X的分布密度为，则的分布密度为 .49. 二维随机变量（X，Y）的联合分布律为YX12

5、10.220.3则与应满足的条件是，当X，Y相互独立时，.50. 设随机变量X与Y相互独立，且令Z = -Y + 2X +3，则= .51. 已知随机变量X的数学期望.令Y2X3，则= .二、单项选择题1设 ，则=（ ）A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 32 下列函数中，（ ）不是基本初等函数A B C D 3. 下列各对函数中，（）中的两个函数相等.A. 与 B. 与C. 与 D. 与4. 设在处间断，则有（ ）(A) 在处一定没有意义；(B) ; (即)；(C) 不存在，或；(D) 若在处有定义，则时，不是无穷小5函数 在x = 0处连续，则k = () A-2 B-1 C1

6、D2 6.若，为无穷间断点，为可去间断点，则（ ）.（A）1 （B）0 （C）e （D）e-17函数的定义域为（    ）      A    BC        D8二重极限（ ）（A）等于0 （B）等于1 (C) 等于 （D）不存在9.利用变量替换，一定可以把方程化为新的方程（  ）(A)      (B)   &

7、#160;  (C)      (D)10若，在内则在内（ ）.(A) (B) (C) (D) 11.设的某个邻域内连续，且，则在点处（ ）.（A）不可导 （B）可导，且 （C）取得极大值 （D）取得极小值12.设函数是大于零的可导函数，且，则当时，有（ ）.（A） （B）（C） （D）13.( ).（A）（B）（C）（D）14.设上具有连续导数，且，则（ ）.（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-215.设上二阶可导，且记 ， ，则有（ ）.（A） （B） （C） （D）16.设幂级数在处收敛. 则此级数在处( ).（A）绝对收敛

8、 （B）条件收敛（C）发散 （D）收敛性不能确定17.下列命题中,正确的是（ ）.（A）若级数的一般项有则有（B）若正项级数满足发散（C）若正项级数收敛，则（D）若幂级数的收敛半径为，则.18.设级数收敛，则级数（ ）.（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不确定19. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）20. 设满足微分方程，若，则函数 在点（ ）（A）取极大值； （B）取极小值；（C）附近单调增加； （D）附近单调减少.21. 函数在点处的增量满足 且，则（D）（A） （B） （C） （D）22. 若含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，则必有(

9、).(A) r=s (B) r>s (C) r=s+1 (D) r<s23. 已知向量组线性相关,则=( ) (A) (B) (C) (D) 24 向量组线性相关的充分必要条件是( ) (A) 中含有零向量(B) 中有两个向量的对应分量成比例(C) 中每一个向量都可由其余个向量线性表示(D) 中至少有一个向量可由其余个向量线性表示25.对于向量组，因为，所以是 .( A )全为零向量; ( B )线性相关;( C )线性无关; ( D )任意.26. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有 （ ）(A) A=O或B=O (B)|A|=0或|B|=0 ( C) A+B=O (D)

10、|A|+|B|=027若非齐次线性方程组Am×n X = b的( )，那么该方程组无解A秩(A) n B秩(A)m C秩(A）¹ 秩 () D秩(A）= 秩() 28若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组有无穷多解。 A1B4C2D29.设=2是非奇异矩阵A的特征值,则有一个特征值是 （ ）(A) (B) ( C) (D) 30若二次型正定，则（ ）（A） （B） （C） （D）31. 已知是矩阵的特征向量,则=( ) (A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或32. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（）（A）（

11、B）（C）（D）33. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）（A）（B）（C）（D）34. 设A、B互为对立事件，且则下列各式中错误的是（）（A）（B）（C）（D）35. 离散型随机变量X的分布列为P X = k =, k = 1,2,3,4.则( )（A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.2536. 设随机变量X的分布函数为则（）（A）（B）（C）（D）37. 设随机变量X服从，的值（）（A）随增大而减小； （B）随增大而增大；（C）随增大而不变； （D）随减少而增大.38 .设随机变量，则服从( )（A）（B）（C）（D）39

12、. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（）（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.440. 设随机变量X的概率密度为，则=( ).（A）-1 （B）0 （C）1 （D）以上结论均不正确三、解答题1.设 ，已知在处连续可导，试确立并求2.设, 其中具有二阶连续偏导数, 求.3设讨论f(x,y)在（0，0）（1）偏导数是否存在。 （2）.是否可微。4.在过点的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.5.6，其中为圆域。7设在上连续，求证：。证明 8.求幂级数收敛区间及和函数：9求

13、解 10求解.11求解满足12求解满足13设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定，并求该方程的通解.14计算下列行列式，15计算下列行列式16证明： 17设AX+E=A2+X，且A=，求X.18已知矩阵，求常数a，b 19     将向量表示成的线性组合：（1）20问，取何值时，齐次方程组 有非零解？21设线性方程组 试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：（1）23某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立

14、的，求在1小时内(1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无人照管而停工的概率.24设随机变量X的分布密度为求(1) 常数A； (2) X的分布函数； .25设二维随机变量（X，Y）在区域内服从均匀分布.求(1)（X，Y）的联合分布密度；(2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？26设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求随机变量ZXY的概率密度函数.27一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望

15、.28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布，X与Y的相关系数,求Z的数学期望和方差；参考答案一、填空题1设，则函数的图形关于对称。解：的定义域为 ，且有即是偶函数，故图形关于轴对称。2若，则.解： 。3 极限。解：注意：（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量），其中=1是第一个重要极限。4.已知，则_, _。由所给极限存在知, , 得, 又由, 知5.已知时，与是等价无穷小，则常数= 解. 6.设，其中可微，则= 。解 7.设，其中由确定的隐函数，则  。解 ，时，8.设具有二阶连续导数，则   。解:9.函数的可能极值点为 和 。 解 ，不是

16、，不是 不是 负定，极大值 （，）10.设则. 解：因为，故11. .解：原式.12. .解：13若，则。答案： 14.设： ,则由估值不等式得 解，又 ，由， 15.设由围成（），则在直角坐标系下的两种积分次序为_和_.解D：（X型）=D1+D2， ， D：（Y型） 16.设为，则的极坐标形式的二次积分为_.解： D：，17.设级数收敛，则常数的最大取值范围是 .解：由级数的敛散性知，仅当即时，级数收敛，其他情形均发散.18. .解：因为，所以原积分19. 方程的通解为20微分方程的通解为.21.当n=_时，方程 为一阶线性微分方程。解 或1.22. 若阶矩阵的行列式为是的伴随矩阵,则_.答

17、案： 23.设A与B均可逆，则C =也可逆，且. 答案： ; 24.设，且，则X = .答案： 25矩阵的秩为解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。26. 向量,其内积为_.答案： 27. n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是 .答案：r=n,或|A|0; 28. 给定向量组，若线性相关，则a，b满足关系式 .答案：a-2b=0 29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 .答案：相等; 30 向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T与 =(1,3)T线性表示为 .答案：; 31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有

18、无穷组解的 条件.答案：必要不充分; 32. 设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组b有唯一解的充要条件是r(A) r(A|b )= .答案： ; 33.已知元线性方程组有解，且，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为解答：34.设是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组的 都是A的属于的特征向量.答案：非零解;35.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则的特征值为 .答案： ; 36.设A是n阶方阵，|A|0,为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值,则必有特征值. 答案：.37.a,b分别为实对称矩阵A的两个不同特征值所对应的特征向量,则a与b 的内积（a,b）= . 答案： 0

19、 38.二次型的秩为 .答案：4. 39. 矩阵为正定矩阵,则的取值范围是_.答案：40. 二次型是正定的,则的取值范围是_.答案： 41. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为AB+BC+AC .42. 事件A、B相互独立，且知则. 解：A、B相互独立， P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.643.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为.解：P(A+B)=1P44. 在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k次的概率为().解：设X表示击

20、中目标的次数，则X服从二项分布，其分布律为：45. 设随机变量X服从泊松分布，且则= .解： X服从泊松分布，其分布律为PX=k=（k=0, 1, 2，>0） 由已知得：，求得=2 PX=3=46. 设随机变量X的分布密度为，则= .解：由性质 即 解得：a=247. 若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为YX1211/163/162b且X，Y相互独立，则常数 = ,b = . 解： X，Y相互独立 P(X=1，Y=1)=P(X=1) · P(Y=1) 即： a= 又 b=48. 设X的分布密度为，则的分布密度为 .解： PYy=P(X3y)=P(X)=Fx() Y=X3的分布

21、密度为(y)= ，y049. 二维随机变量（X，Y）的联合分布律为YX1210.220.3则与应满足的条件是，当X，Y相互独立时，.解 =1 =1 即有=0.5当X，Y相互独立 P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) =(+0.2)(+) =0.250. 设随机变量X与Y相互独立，且令Z = -Y + 2X +3，则= .解 X与Y相互独立， D(Z)=D(Y+2X+3)=D(Y)+D(2X+3) =(1)2D(Y)+4D(X)=1+4×2=9。51. 已知随机变量X的数学期望.令Y2X3，则= .解D(Y)=D(2X3)=4D(X)=4E(X2)E(X)2=4(412)

22、=12。二、单项选择题1设 ，则=（ ）A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于，得 将代入，得=正确答案：D2 下列函数中，（ ）不是基本初等函数A B C D 解 因为是由，复合组成的，所以它不是基本初等函数正确答案：B 3. 下列各对函数中，（）中的两个函数相等.A. 与 B. 与C. 与 D. 与解： A 4. 设在处间断，则有（ ）(A) 在处一定没有意义；(B) ; (即)；(C) 不存在，或；(D) 若在处有定义，则时，不是无穷小答案：D5函数 在x = 0处连续，则k = () A-2 B-1 C1 D2 答案： B6.若，为无穷间断点，为可去间断点，则（ ）.

23、（A）1 （B）0 （C）e （D）e-1解：由于为无穷间断点, 所以, 故. 若, 则也是无穷间断点. 由为可去间断点得.故选(C).7函数的定义域为（    ）      A    BC        D解：z的定义域为： 选D8二重极限（ ）（A）等于0 （B）等于1 (C) 等于 （D）不存在 D）解：与k相关，因此该极限不存在9.利用变量替换，一定可以把方程化为新的方程（  ）(A)&#

24、160;     (B)      (C)      (D)解z是x，y的函数，从，可得，故z是u，v的函数，又，故z是x,y的复合函数，故，从而左边=因此方程变为： 选A10若，在内则在内（ ）.(A) (B) (C) (D) 解：选(C).11.设的某个邻域内连续，且，则在点处（ ）.（A）不可导 （B）可导，且 （C）取得极大值 （D）取得极小值解：因为, 则在的邻域内成立, 所以为的极小值.故选(D).12.设函数是大于零的可导函数，且，则当时，有

25、（ ）.（A） （B）（C） （D）解：考虑辅助函数13.( ).（A）（B）（C）（D）解：由积分上限函数的导数可得，故选（A）.14.设上具有连续导数，且，则（ ）.（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2解：因为，故应选（A）15.设上二阶可导，且记 ， ，则有（ ）.（A） （B） （C） （D）解：依题意, 函数在上严格单调减少, 且其图形是向上凸的曲线. 依据几何图形可得, 故选(B).16.设幂级数在处收敛. 则此级数在处( ).（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散 （D）收敛性不能确定解：选（A）.17.下列命题中,正确的是（ ）.（A）若级数的一般项有则有（B）若正项级

26、数满足发散（C）若正项级数收敛，则（D）若幂级数的收敛半径为，则.解：由有，因此，从而发散.故选（B）.18.设级数收敛，则级数（ ）.（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不确定解：因为收敛，即幂级数在处收敛，由Able定理知，幂级数在处绝对收敛，亦即绝对收敛.故选（A）.19. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）解：D20. 设满足微分方程，若，则函数 在点（ ）（A）取极大值； （B）取极小值；（C）附近单调增加； （D）附近单调减少.解：B21. 函数在点处的增量满足 且，则（D）（A） （B） （C） （D）解 令，得 ，故选（D）。22. 若含有s个向

27、量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，则必有( ).(A) r=s (B) r>s (C) r=s+1 (D) r<s答案：D; 23. 已知向量组线性相关,则=( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(C) 24 向量组线性相关的充分必要条件是( ) (A) 中含有零向量(B) 中有两个向量的对应分量成比例(C) 中每一个向量都可由其余个向量线性表示(D) 中至少有一个向量可由其余个向量线性表示答案：(D)25.对于向量组，因为，所以是 .( A )全为零向量; ( B )线性相关;( C )线性无关; ( D )任意.答案： D; 26. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=

28、O，则必有 （ ）(A) A=O或B=O (B)|A|=0或|B|=0 ( C) A+B=O (D) |A|+|B|=0答案：B 27若非齐次线性方程组Am×n X = b的( )，那么该方程组无解A秩(A) n B秩(A)m C秩(A）¹ 秩 () D秩(A）= 秩() 解 根据非齐次线性方程组解的判别定理，得 Am×n X = b无解秩(A) ¹ 秩() 正确答案：C28若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组有无穷多解。 A1B4C2D解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即，从

29、而，即正确的选项是D。29.设=2是非奇异矩阵A的特征值,则有一个特征值是 （ ）(A) (B) ( C) (D) 答案：C 30若二次型正定，则（ ）（A） （B） （C） （D）答案：(D)31. 已知是矩阵的特征向量,则=( ) (A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或答案：(C) 32. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（）（A）（B）（C）（D）解 由事件间的关系及运算知，可选（A）33. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）（A）（B）（C）（D）解 基本事件总数为，设A表示“

30、恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为=5，故P(A)=，故应选（D）。34. 设A、B互为对立事件，且则下列各式中错误的是（）（A）（B）（C）（D）解： 因为A、B互为对立事件，所以P(A+B)=1，P(AB)=0，又P(A)，P(B)>0， 所以=A，因而P(|A)=P(A|A)=1，故选（A）35. 离散型随机变量X的分布列为P X = k =, k = 1,2,3,4.则( )（A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.25解：由概率分布性质可知，常数a应满足， a+2a+3a+4a=1，即有a=0.1，故应选（B）。36. 设随机变量X的分布函数为则（）（A）

31、（B）（C）（D）解： ，故应选（C）。37. 设随机变量X服从，的值（）（A）随增大而减小； （B）随增大而增大；（C）随增大而不变； （D）随减少而增大.解： XN(, 4) PX2+=P，而值不随的变化而变化， PX2+值随增大而不变，故应选（C）。38 .设随机变量，则服从( )（A）（B）（C）（D）解 选（D）， E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+b D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2 YN(a+b，a2)。39. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（）（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C )

32、 0.3 ( D ) 0.4解 选（D）；由题意知：XB(3, p)，而D(X)=3 · p · (1p)=0.72 p=0.4。40. 设随机变量X的概率密度为，则=( ).（A）-1 （B）0 （C）1 （D）以上结论均不正确解 选（B）；E(X)=，而被积函数为对称区间上的奇函数， E(X)=0。三、解答题1.设 ，已知在处连续可导，试确立并求解 ，在处连续，即。当时，当时，当时，故。2.设, 其中具有二阶连续偏导数, 求.解: ,.3设讨论f(x,y)在（0，0）（1）偏导数是否存在。 （2）.是否可微。解：（1）同理可得，偏导数存在。（2）若函数f在原点可微，则应

33、是较高阶的无穷小量，为此，考察极限，由前面所知，此极限不存在，因而函数f在原点不可微。4.在过点的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.解: 设平面方程为, 其中均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为, 且, 令, 则由, 求得 . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为, 且.5.解：=6，其中为圆域。解：将区域分为，其中。于是7设在上连续，求证：。证明 由重积分中值定理，使得，当时，由f的连续性，知，从而有：8.求幂级数收敛区间及和函数：解：，所以，.当时，级数成为，由调和级数知发散；当时，级数成为，由交错级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所

34、以收敛区间为.设，则，所以，.9求解 解 原方程可化为，两边积分得，即。由得，故即为所求。10求解.解 原式可化为，令，得，即, 两边积分得 ，即，由得，故所求特解为。11求解满足解 特征方程为，故通解为，由得，故为所求特解。12求解满足解 对应的齐次方程的通解为，设特解为代入原方程得，故原方程通解为，由得，。13设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定，并求该方程的通解.解 将，代入原方程得，故，方程为，故通解为。14计算下列行列式，解：15计算下列行列式解：16证明： 证：17设AX+E=A2+X，且A=，求X.解：由AX+E=A2+X，得(AE)X=A2E，而AE可逆，故X=A+E=.18已知矩阵，求常数a，b 解