工学控制系统稳定性与快速

1、工学控制系统稳定性与快速5.1 稳定性和快速性的基本概念稳定指控制系统在外作用力消失后能够自动稳定指控制系统在外作用力消失后能够自动恢复原有平衡状态或自动地趋向于另一个新恢复原有平衡状态或自动地趋向于另一个新的稳定平衡状态的能力。的稳定平衡状态的能力。 如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定。稳定。FFmabcde单摆系统稳定倒摆系统不稳定The concept of stabilityThe balance of a pendulumA necessary and sufficient condition for a feedback system

2、to be stable is that all the poles of the system transfer function have negative real parts.(闭环特征方程式闭环特征方程式的根须都位于的根须都位于S的左半平面的左半平面 )The balance of a small ball设线性控制系统的闭环传递函数为闭环系统的特征方程为特征方程式的根就是系统闭环传递函数的极点。 120121120121( )mmmmmnnnnnb sbsb sbsbG sa sa sa sasa1201210nnnnna sa sa sasa(0,1,2, )()(0,1,2,)

3、ijainnmbjm不稳定区不稳定区临 界稳 定稳定区稳定区s平 面j 系统稳定，则闭环系统的极系统稳定，则闭环系统的极点全部分布在点全部分布在s s平面的左半平平面的左半平面；面； 系统不稳定，至少有一个系统不稳定，至少有一个极点分布在极点分布在s s平面的右半平面；平面的右半平面； 系统临界稳定，在系统临界稳定，在s s平面平面上的右半平面无极点，至少上的右半平面无极点，至少有一个极点在虚轴上。有一个极点在虚轴上。 5.2 Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz（劳斯胡尔维茨）判据亦称代数判据产生的根源：(1) 求解特征方程式的根非常困难；(2) 计算工作量相当大。(3)

4、 避免直接求解特征方程的根，(4) 只讨论特征方程根的分布;(5) 观测根的分布是否在s平面的左半平面。产生了一系列的稳定性判据。产生了一系列的稳定性判据。 最主要的一个判据是1884年由（劳斯）提出的判据，称为Routh判据；(1) 1895年，（胡尔维茨）提出了用特征方程系数来判别系统稳定性的方法，称之为Hurwitz判据。0)(122110nnnnnasasasasasA),3 , 2 , 1(nipiniipsasA10)()(5.2.1 系统稳定的必要条件假设特征方程为的全部根为：则上式可以变为 )() 1()()()(3210124213210313121022101nnnnnnn

5、nnppppaapppppppppaappppppaapppaa由多重根的韦达定理得：1）特征方程的各系数 都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，则满足系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。要使特征方程的根 都具有负实部必须满足下面两个条件),3 , 2 , 1(nipi), 2 , 1 , 0(niai2）特征方程的各项系数符号相同，才能满足式（5-4）。一般地a0为正，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即 只是一个必要条件，有时满足上述条件，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。(0,1,2, )0ia in(0,1,2

6、, )0ia in5.2 Routh-Hurwitz判据一一. 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件假设特征方程为根据代数理论中韦达定理所指出的方程根和系数的根据代数理论中韦达定理所指出的方程根和系数的关系可知，为使系统特征方程的根都为负实部，其关系可知，为使系统特征方程的根都为负实部，其必要条件：必要条件：特征方程的各项系数均为正。特征方程的各项系数均为正。含义：1 各项系数符号相同（即同号）各项系数符号相同（即同号） 2 各项系数均不等于各项系数均不等于0（即不缺项）（即不缺项）1201210nnnnna sasa sa s a二. 控制系统稳定的充分必要条件024681135792313

7、2333434142434422,12,211,10,1nnnnnnnnsaaaaasaaaaasaaaasaaaasaasasaRouth阵列 1201210nnnnna sa sa sasa特征方程全部为负实部根的充分必要条件是特征方程全部为负实部根的充分必要条件是Routh表中第一列各值为正，表中第一列各值为正，如如Routh表第一列中只要出现一个小于零的数表第一列中只要出现一个小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各数符号的改变值，系统就不稳定，且第一列各数符号的改变次数，代表特征方程式的正实部根的数目。次数，代表特征方程式的正实部根的数目。例5-1 判别特征方程为 0516178102

8、345sssss的某系统稳定性。 解 利用Routh判据 502441353313224142151o61sa =1a =8a =16sa =10a =17a =5sa=6.3a=15.5sa=-7.6a=5sa=19.6sa=5符号改变两次，则说明系统有两个正实部的特征根，故系统不稳定。a=1 10 8 17 16 5a = 1 10 8 17 16 5 roots(a)ans = -9.3181 三三. Routh判据的特殊情况判据的特殊情况1. Routh表中某行的第一个元素为零第一个元素为零，而其余各元素均不为零或部分不为零。这时用一个很小的正数用一个很小的正数 来代替零元素来代替零元

9、素，Routh表继续进行。2. 如果Routh表中出现全零行全零行，表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，这时，可用全零行全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得导数方程的系数代替全零行，便可按Routh稳定判据的要求继续运算下去，直到得出全部Routh计算表。辅助方程的次数通常为偶数辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同、符号相反的根数。所有这些数值相同、符号相反的根，都可以从辅助方程中求出。014222345sssss12111210142121610511424123231353144205asasaasaasaaasaaas例5-5 已知某控制系统的特

10、征方程为判断系统的稳定性。解 列出Routh表上述Routh表中，第三行左边第一个元素为零，用代替0继续计算Routh表。从Routh表可得，第一列元素符号有两次变化，由正变负，由正变负，再由负变正再由负变正，所以系统在s平面上有两个正实部的特征根，显然系统不稳定。a=1 2 2 4 1 1a = 1 2 2 4 1 1 tf(a,1)Transfer function: s5 + 2 s4 + 2 s3 + 4 s2 + s + 1roots(a)ans = -1.9571 0.0686 + 1.2736i 0.0686 - 1.2736i04473223456ssssss000431431

11、47213456ssss043)(24sssA064d)(d3ssssA（辅助方程A（s）=0系数）例5-7 设某控制系统的特征方程为用Routh判据确定系统正实部根的个数。解 列出Routh表辅助方程为对辅助变量s求导得654321012741341344601.5416.704sssssss（dA（s）/ds=0的系数）用上述导数方程的系数代替Routh表的零行，然后继续进行Routh判据。043)(24sssA2)3j1(从从Routh表可得，第一列元素符号只改变一次，因表可得，第一列元素符号只改变一次，因此系统只有一个正实部的特征根。因为在此系统只有一个正实部的特征根。因为在Routh

12、表表中有一行系数全为零，则说明有纯虚根，可由辅助中有一行系数全为零，则说明有纯虚根，可由辅助方程求得方程求得:解得：解得： 2， j。实际上，特征方程的另一对特征根为。实际上，特征方程的另一对特征根为通过上面的例题可以看出，利用通过上面的例题可以看出，利用Routh判据不仅可以判据不仅可以确定正实部根的个数，而且还可以通过解辅助方程求确定正实部根的个数，而且还可以通过解辅助方程求出数值相同符号相异的特征根。出数值相同符号相异的特征根。 a=1 1 -2 -3 -7 -4 -4 a = 1 1 -2 -3 -7 -4 -4 tf(a,1) Transfer function: s6 + s5 -

13、 2 s4 - 3 s3 - 7 s2 - 4 s - 4 roots(a) ans = 2.0000 -2.0000 ExampleProblem Determine the stability of the closed-loop transfer functionSolution The Rouths table isThe Rouths table has two sign change in the first column. Thus this closed-loop system is unstable since two poles exist in the right hal

14、f-plane 10303110100023ssssG0010300072010301003110123ssss5.3 Nyquist稳定性判据若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化时，如果Nyquist曲线不包围临界点不包围临界点(-1,j0)，则系统稳定稳定。如果Nyquist曲线包围临界点包围临界点(-1,j0)，则系统不稳定不稳定。如果系统的Nyquist曲线经过经过(-1,j0)点点，则系统处于临界临界稳定状态。ReIm(-1,j0)ReReIm(-1,j0)(-1,j0)ImIm(-1,j0)Re 如果开环系统不稳定，有如果开环系统不稳定，有P个开环极点位于个开环极点位于s

15、右半平面，右半平面，当当 从从0变化时，开环幅相曲线包围变化时，开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数为点的圈数为N(反时针方向为正，顺时针方向为负反时针方向为正，顺时针方向为负)和开环传递函数在和开环传递函数在s右半平面上的极点个数右半平面上的极点个数P的关系为：的关系为： M=P2N M：闭环极点在：闭环极点在s右半平面的个数右半平面的个数如果如果M为零，闭环系统稳定，否则系统不稳定。为零，闭环系统稳定，否则系统不稳定。如果开环传递函数包含积分环节，假设为型，则绘制开环幅相曲线后，频率再从 开始，反时针补画 个半径为无穷大的圆。40例1 一个单位反馈系统，开环传递函数为 试用Nyquist

16、判据判定系统的稳定性。 解 系统的开环幅相曲线如图所示。 从Nyquist曲线上看到，曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈， 即N= -1，而开环传递函数在s右半平面的极点数P=0，因此闭环特征方程正实部根的个数故系统不稳定。 ImRe(-1,j0)2( )(1)KG ss Ts22MPN5.4 Bode图上的稳定性判据(-1,j0)ReImAB(+)(-)C)-L)(-)(+)Bode图上的稳定性判据可定义为图上的稳定性判据可定义为 一个反馈控制系统一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数其闭环特征方程正实部根的个数为为Z，可以根据开环传递函数，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数

17、右半平面极点的个数P和和开环对数幅频特性大于开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相的所有频率范围内，对数相频曲线与频曲线与-线的正负穿越之差线的正负穿越之差N = N+-N-来确定来确定, 即即 若Z=0，则闭环系统稳定，则闭环系统不稳定0ZZ为闭环特征方程正实部根的个数。2ZPN例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳定性判据, 判断系统的稳定性。已知P=0，在L()0的范围内，1N1N0NNN02NPZ闭环系统稳定 。已知P=1 ，在L()0时 相频曲线有一次从负到正穿越-线 2/1N02NPZ闭环系统稳定 。已知P=2, 在L()0的范围内, 2N1N

18、112NNN02NPZ闭环系统稳定 5.7 稳定裕度根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚好满足稳定性条件是不够的，还必须留有余地。稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。它包括相位裕度和幅值裕度相位裕度和幅值裕度。1. 幅值裕度幅值裕度Kg定义为Nyquist曲线与负实轴(-)交点处的频率所对应的幅值的倒数，即=g 称为交点频率。含义：如果系统的开环传递函数增益增大到原来的倍，则系统处于临界稳定状态。 1()()gggKG jH j正相位裕度G(j)-1gK1正幅值裕度Im负相位裕度负幅值裕度ReG(j)-1gK1ReIm11稳定系统 11gK(-1,j0)ReImIII00Kg相同但稳定程度不同的两条开环Nyquist曲线它们具有相同的幅值裕度，但系统I的稳定性不如系统II的稳定性。因此需要增加稳定性的性能指标，即相位裕度 2. 相位裕度