现代交换理论

1、交换理论基础交换理论基础1.基本要求基本要求（1）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。（2）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定 义、计算。义、计算。（3）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。（4）掌握等待制交换系统的基本理论。）掌握等待制交换系统的基本理论。2.重点、难点重点、难点 重点：生灭过程在交换理论中的应用，呼损与利用率，等待重点：生灭过程在交换理论中的应用，呼损与利用率，等待 制交换系统的基

2、本理论。制交换系统的基本理论。 难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者 之间的关系。之间的关系。3.说明说明 交换理论基础部分概念和公式较多，力求理解公式推导过交换理论基础部分概念和公式较多，力求理解公式推导过程，掌握重要结论。程，掌握重要结论。 2关于关于“交换理论交换理论” 交换理论是随着电话交换技术的应用和交换理论是随着电话交换技术的应用和发展而产生的一门学科。它的发展而产生的一门学科。它的任务任务是研究电是研究电话负载、电话交换系统结构和服务质量之间话负载、电话交换系统结构和服务质量之间的数量关系的数量关系, ,提供最优

3、系统设计理论和方法提供最优系统设计理论和方法。 交换理论的研究对象不仅限于电话交换交换理论的研究对象不仅限于电话交换系统，其原理和方法还应用于其他各类信息系统，其原理和方法还应用于其他各类信息交换系统。交换系统。 3 通信网络与交换机是典型的服务系统。它们利用通信网络与交换机是典型的服务系统。它们利用所拥有的资源（信道带宽资源、计算资源、存储资源所拥有的资源（信道带宽资源、计算资源、存储资源等）或设备为用户提供服务，并满足特定的服务质量等）或设备为用户提供服务，并满足特定的服务质量要求。因为用户的服务需求是要求。因为用户的服务需求是随机随机发生的，每次服务发生的，每次服务占用资源的时间也是随机

4、的，所以这是一种占用资源的时间也是随机的，所以这是一种随机服务随机服务系统系统，需要借助于，需要借助于概率论概率论及及随机过程随机过程的理论。的理论。交换理论研究方法交换理论研究方法 4 对于对于电路交换电路交换系统而言，它们的服务对象系统而言，它们的服务对象是用户的呼叫。根据其交换机制，在电路连接是用户的呼叫。根据其交换机制，在电路连接建立以后交换时延可以忽略不计。但呼叫到达建立以后交换时延可以忽略不计。但呼叫到达时刻和持续时间的随机性导致交换服务设备忙时刻和持续时间的随机性导致交换服务设备忙闲状态的不确定性，当服务设备处于全忙状态闲状态的不确定性，当服务设备处于全忙状态时，新到达的呼叫就不

5、能得到服务。所以其主时，新到达的呼叫就不能得到服务。所以其主要的要的QoS指标是呼叫的损失率，简称指标是呼叫的损失率，简称呼损呼损率。率。 对于对于分组交换分组交换系统而言，它们的服务对象系统而言，它们的服务对象是分组，它的交换机制是存储转发。所以分组是分组，它的交换机制是存储转发。所以分组交换系统的主要交换系统的主要QoS指标是分组的指标是分组的转发时延转发时延和和丢失率丢失率。 5交换理论研究方法交换理论研究方法(续续)2.1 概率论与随机过程概率论与随机过程 二项分布：二项分布：交换系统中的各种服务设备，如各级交换交换系统中的各种服务设备，如各级交换单元的输入输出链路、交换机的中继线等，

6、这些设备单元的输入输出链路、交换机的中继线等，这些设备的占用情况往往可以用二项分布来分析。的占用情况往往可以用二项分布来分析。泊松分布：泊松分布：在实际问题中，有许多随机变量服从泊松在实际问题中，有许多随机变量服从泊松分布。例如，一段时间内电话局收到的呼叫次数，某分布。例如，一段时间内电话局收到的呼叫次数，某路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。 概率论与随机过程是研究随机现象的数学工具，概率论与随机过程是研究随机现象的数学工具，内容十分丰富，本节主要介绍与交换理论密切相关的内容十分丰富，本节主要介绍与交换理论密切相关的内容，包括：内容，包括： 6

7、指数分布：指数分布：在交换理论中，有两种很重要的随机在交换理论中，有两种很重要的随机变量服从指数分布，这就是两个相邻呼叫的间隔变量服从指数分布，这就是两个相邻呼叫的间隔时间和电话呼叫的占用时长。时间和电话呼叫的占用时长。 随机过程：随机过程：随机过程理论的内容极为广泛，与交随机过程理论的内容极为广泛，与交换理论密切相关的是马尔可夫过程，尤其是马尔换理论密切相关的是马尔可夫过程，尤其是马尔可夫过程的特殊情况，即泊松过程和增消过程可夫过程的特殊情况，即泊松过程和增消过程（生灭过程生灭过程）。 72.2 通信业务量通信业务量 通信业务量是衡量交换系统在一定时间内提供通信业务量是衡量交换系统在一定时间

8、内提供的服务数量的指标，是学习交换理论首先必须掌握的服务数量的指标，是学习交换理论首先必须掌握的一个重要概念，也是交换理论研究的对象之一。的一个重要概念，也是交换理论研究的对象之一。 业务量又称为业务负载。在一个交换系统中，业务量又称为业务负载。在一个交换系统中，我们把请求服务的用户称为我们把请求服务的用户称为业务源业务源（负载源），而（负载源），而把为业务源提供服务的设备（如接续网络中的内部把为业务源提供服务的设备（如接续网络中的内部链路、中继线、信令处理器等）称为链路、中继线、信令处理器等）称为服务器服务器。 82.2.1 话务量的概念话务量的概念 电话通信的业务源，简称话源；电话通信的业

9、务电话通信的业务源，简称话源；电话通信的业务量，通常称为量，通常称为话务量话务量。 我们来分析决定话务量大小的因素。首先，话我们来分析决定话务量大小的因素。首先，话务量与所务量与所考察的时间考察的时间有关，显然考察时间越长，这段有关，显然考察时间越长，这段时间里发生的呼叫就越多，因而话务量就越大。其时间里发生的呼叫就越多，因而话务量就越大。其次，影响话务量大小的是次，影响话务量大小的是呼叫强度呼叫强度，也就是单位时间，也就是单位时间里发生的平均呼叫数，呼叫强度越大，话务量就越里发生的平均呼叫数，呼叫强度越大，话务量就越大。再者，每个呼叫大。再者，每个呼叫占用设备的时长占用设备的时长也是影响话务

10、量也是影响话务量大小的一个因素。在相同的考察时间和呼叫强度情况大小的一个因素。在相同的考察时间和呼叫强度情况下，每个呼叫的占用时间越长，话务量就越大。下，每个呼叫的占用时间越长，话务量就越大。 9 如果用如果用Y表示话务量，用表示话务量，用T表示计算话务量的时间表示计算话务量的时间范围，用范围，用表示呼叫强度，用表示呼叫强度，用S表示呼叫的平均占用表示呼叫的平均占用时长，则话务量可表示为：时长，则话务量可表示为： 影响话务量的第一因素是时间，影响话务量的第一因素是时间， 话务量计算话务量计算中的各个参数都与时间有关。中的各个参数都与时间有关。Y的单位取决于的单位取决于S的单的单位，当位，当S用

11、不同的时间单位时，同一话务量，其数用不同的时间单位时，同一话务量，其数值是不同的。值是不同的。如果如果S以小时为时间单位，则话务量以小时为时间单位，则话务量的单位叫作的单位叫作“小时呼小时呼”，常用符号，常用符号 “TC” 表示。如表示。如果果S以分钟为时间单位，则话务量的单位叫作以分钟为时间单位，则话务量的单位叫作 “分分钟呼钟呼” 。也有用。也有用“百秒百秒”作时间单位，这时话务量作时间单位，这时话务量的单位叫作的单位叫作“百秒呼百秒呼”，常用符号，常用符号“CCS”表示。表示。话务量的定义话务量的定义 10Y =T S=CS 对于大量随机发生的呼叫，有些呼叫可能遇到电对于大量随机发生的呼

12、叫，有些呼叫可能遇到电话局忙。对于这类呼叫，不同的交换系统有不同的处话局忙。对于这类呼叫，不同的交换系统有不同的处理方法。一种系统是让遇忙呼叫等待，一旦有了空闲理方法。一种系统是让遇忙呼叫等待，一旦有了空闲的服务设备，呼叫就继续进行下去，这样的系统叫作的服务设备，呼叫就继续进行下去，这样的系统叫作待接制系统待接制系统或或等待制系统等待制系统。另一种系统，它对不能立。另一种系统，它对不能立刻得到服务的呼叫的处理方法是给用户送刻得到服务的呼叫的处理方法是给用户送“忙音忙音”。用户听到忙音后，用户听到忙音后， 必须放弃这次呼叫必须放弃这次呼叫 ， 然后再重新然后再重新呼叫。这种系统叫做呼叫。这种系统

13、叫做明显损失制系统明显损失制系统。 对于等待制系统来说，如果等待时间不限，那么对于等待制系统来说，如果等待时间不限，那么流入系统的话务量都能被处理，只是有一些呼叫要等流入系统的话务量都能被处理，只是有一些呼叫要等待一段时间才能得到接续。待一段时间才能得到接续。 对于明显损失制系统来对于明显损失制系统来说，流入系统的话务量有一部分被处理了，另外一部说，流入系统的话务量有一部分被处理了，另外一部分则被分则被“损失损失”掉了。掉了。等待制与明显损失制等待制与明显损失制 11 我们把单位时间的话务量叫做我们把单位时间的话务量叫做话话务量强度务量强度或或负载强度负载强度。习惯上常把。习惯上常把“强度强度

14、”两个字省略。这样，当人们两个字省略。这样，当人们谈及话务量都是指话务量强度。当所谈及话务量都是指话务量强度。当所谈及的话务量不是单位时间内的话务谈及的话务量不是单位时间内的话务量时，应特别指明计算时间，如量时，应特别指明计算时间，如T小小时的话务量等。时的话务量等。话务量强度话务量强度 12 一般地说，电话局的话务量强度经常处于变一般地说，电话局的话务量强度经常处于变化之中。话务量强度的这种变化叫做话务量的化之中。话务量强度的这种变化叫做话务量的波波动性动性，它是多方面因素影响的综合结果。用概率，它是多方面因素影响的综合结果。用概率论的语言说，话务量的波动是一个随机过程。经论的语言说，话务量

15、的波动是一个随机过程。经过对话务量波动的长期观察和研究，发现话务量过对话务量波动的长期观察和研究，发现话务量的波动存在着的波动存在着周期性周期性。具有重要意义的是一昼夜。具有重要意义的是一昼夜内各小时的波动情况，为了在一天中的任何时候内各小时的波动情况，为了在一天中的任何时候都能给用户提供一定的服务质量，电话局服务设都能给用户提供一定的服务质量，电话局服务设备数量的计算应根据一天中出现的最大话务量强备数量的计算应根据一天中出现的最大话务量强度进行。我们把一天中出现最大平均话务量强度度进行。我们把一天中出现最大平均话务量强度的的60分钟的连续时间区间称为最繁忙小时，简称分钟的连续时间区间称为最繁

16、忙小时，简称“忙时忙时”。话务量的特性话务量的特性 13 我们把流入系统的话务量叫做我们把流入系统的话务量叫做流入流入话务量话务量或流入负载。完成了接续的那部或流入负载。完成了接续的那部分话务量叫做分话务量叫做完成话务量完成话务量或完成负载。或完成负载。流入话务量与完成话务量之差，就是损流入话务量与完成话务量之差，就是损失话务量或损失负载。失话务量或损失负载。流入话务量和完成话务量流入话务量和完成话务量 14定义定义 流入话务量强度等于在一次呼叫的平均占用时流入话务量强度等于在一次呼叫的平均占用时长内业务源发生的平均呼叫数。长内业务源发生的平均呼叫数。 令令A表示流入话务量强度，表示流入话务量

17、强度，表示单位时间内发表示单位时间内发生的平均呼叫数，生的平均呼叫数，S表示呼叫的平均占用时长，表示呼叫的平均占用时长， 则则根据流入话务量强度的定义为根据流入话务量强度的定义为 当当和和S使用相同的时间单位时，流入话务量强使用相同的时间单位时，流入话务量强度度A无量纲。为了纪念话务理论的创始人，丹麦数无量纲。为了纪念话务理论的创始人，丹麦数学家学家AKErlang，将话务量强度的单位定名为，将话务量强度的单位定名为“爱爱尔兰尔兰”，并用，并用“e ”或或“E”表示。表示。流入话务量强度的定义流入话务量强度的定义 15SAl l= =性质性质1 A 或或a分别为分别为N条入线或单条入线在呼条入

18、线或单条入线在呼 叫平均占用时长内流入的呼叫数，叫平均占用时长内流入的呼叫数， A N a 。性质性质2 a 是单条入线被占用的概率（占用时是单条入线被占用的概率（占用时 间百分数）。间百分数）。性质性质3 A是是N条入线中同时被占用的平均数。条入线中同时被占用的平均数。流入话务量强度的性质流入话务量强度的性质 16定义定义 服务设备的完成话务量强度等于这组设备在一服务设备的完成话务量强度等于这组设备在一次呼叫的平均占用时长内完成服务的平均呼叫数。次呼叫的平均占用时长内完成服务的平均呼叫数。 令令Ac表示表示m个服务器的完成话务量强度，个服务器的完成话务量强度，S表示表示呼叫的平均占用时长，呼

19、叫的平均占用时长，c 为单位时间内完成服务的为单位时间内完成服务的呼叫数，则有：呼叫数，则有： 完成话务量强度的单位也用完成话务量强度的单位也用“爱尔兰爱尔兰”。 设单设单个服务器的完成话务量强度用个服务器的完成话务量强度用 ac表示，则表示，则 m 个服务个服务器完成的总话务量强度器完成的总话务量强度Ac=mac 。完成话务量强度的定义完成话务量强度的定义 17SAccl l= =性质性质1 Ac 或或 ac分别为分别为m个服务器或单个个服务器或单个 服务器在呼叫平均占用时长内完服务器在呼叫平均占用时长内完 成服务的平均呼叫数成服务的平均呼叫数，Ac=mac。性质性质2 ac 是单个服务器的

20、占用概率，是单个服务器的占用概率， 即即 利用率。利用率。性质性质3 Ac 是是 m 个服务器中同时被占用的个服务器中同时被占用的 平均数。平均数。完成话务量强度的性质完成话务量强度的性质 18 从定义可以看出，流入话务量强度从定义可以看出，流入话务量强度A与完成话与完成话务量强度务量强度Ac有着完全相同的形式和量纲，其差别在有着完全相同的形式和量纲，其差别在于于和和c ， 一个是单位时间内发生的平均呼叫数，一个是单位时间内发生的平均呼叫数，一个是单位时间内完成服务的平均呼叫数。在发生一个是单位时间内完成服务的平均呼叫数。在发生的全部呼叫中，有一小部分会因为设有找到空闲的的全部呼叫中，有一小部

21、分会因为设有找到空闲的服务设备而被损失掉，所以，在明显损失制系统服务设备而被损失掉，所以，在明显损失制系统中，中，与与c 之差，正是损失掉的那部分呼叫。如果之差，正是损失掉的那部分呼叫。如果一个系统的损失非常小，则一个系统的损失非常小，则 c ，在这种情况，在这种情况下，下， 完成话务量强度近似等于流入话务量强度，完成话务量强度近似等于流入话务量强度，在工程计算中可以不加区分，在工程计算中可以不加区分， 笼统地使用笼统地使用“话务话务量量”这个概念。这个概念。流入话务量和完成话务量比较流入话务量和完成话务量比较 19例例 假设在假设在 100 条线的中继线群上，条线的中继线群上， 平均每小时发

22、生平均每小时发生2100次占用，平均占用时长为次占用，平均占用时长为 1/30小时。求这群中继小时。求这群中继线上的完成话务量强度；并根据完成话务量强度的性线上的完成话务量强度；并根据完成话务量强度的性质说明其意义。质说明其意义。解：根据题意解：根据题意 c =2100呼叫呼叫/小时小时 S=1/30小时小时/呼叫呼叫 Ac=cS=21001/30=70e 根据完成话务量强度性质根据完成话务量强度性质1，70e可理解为在平均可理解为在平均占用时长占用时长1/30小时内，平均有小时内，平均有70次占用发生；根据性次占用发生；根据性质质2，单条中继线的占用概率，单条中继线的占用概率(利用率利用率)

23、为为0.7；根据性；根据性质质3，70e意味着在意味着在100条中继线中，同时处于工作状条中继线中，同时处于工作状态的平均有态的平均有70条，空闲着的平均有条，空闲着的平均有30条。条。 20完成话务量强度举例完成话务量强度举例2.2.3 交换系统的服务质量交换系统的服务质量 和话务负荷能力和话务负荷能力 服务质量是说明交换系统给呼叫提供服服务质量是说明交换系统给呼叫提供服务的可能性或者呼叫发生等待的可能性及等务的可能性或者呼叫发生等待的可能性及等待时间等指标。待时间等指标。 实际的交换系统都是有损失的系统。有实际的交换系统都是有损失的系统。有损失的系统又分为损失的系统又分为明显损失制系统明显

24、损失制系统和和等待制等待制系统系统。 一、服务质量一、服务质量明显损失制系统的服务质量指标明显损失制系统的服务质量指标 按呼叫计算的呼损按呼叫计算的呼损 B 在时间在时间(t1,t2)内损失的呼叫数内损失的呼叫数CL(t1,t2)与在同一与在同一时间内发生的呼叫总数时间内发生的呼叫总数C(t1,t2)的比，称为的比，称为 (t1,t2) 时时间内按呼叫计算的呼损，即间内按呼叫计算的呼损，即 22( () )( () )2121,ttCttCBL= = 在时间在时间(t1,t2)内损失的内损失的话务量话务量YL(t1,t2)与在同一与在同一时 间 内 流 入 的 话 务 量时 间 内 流 入 的

25、 话 务 量Y(t1,t2)的比，称为的比，称为(t1,t2)时时间 内 按 负 载 计 算 的 呼间 内 按 负 载 计 算 的 呼损，即：损，即： 在时间在时间(t1,t2)内所有服内所有服务设备全部阻塞的时间务设备全部阻塞的时间TB(t1,t2)与所考察的时间段与所考察的时间段(t1,t2)长度的比，称为按时长度的比，称为按时间计算的呼损，即所有服间计算的呼损，即所有服务器全忙的概率：务器全忙的概率： 23( () )( () )2121,ttYttYHL= =( () )mBPttttTE= =- -= =1221,明显损失制系统的服务质量指标明显损失制系统的服务质量指标 按负载计算的

26、呼损按负载计算的呼损 H 按时间计算的呼损按时间计算的呼损 E 以上所定义的呼损指标以上所定义的呼损指标B、H、E取值在取值在01之之间，而且它们的数值很接近。所以我们统一用呼损间，而且它们的数值很接近。所以我们统一用呼损概率概率P代表代表B、H、E。 系统所能达到的呼损概率常系统所能达到的呼损概率常称为服务等级。简记为称为服务等级。简记为GoS(Grade of Service) ，服，服务等级取决于系统的话务量和服务器数量。务等级取决于系统的话务量和服务器数量。 24 所谓交换系统的话务负荷能力，指的是在给定服务所谓交换系统的话务负荷能力，指的是在给定服务质量指标的条件下，系统所能承担的话

27、务量强度。话务质量指标的条件下，系统所能承担的话务量强度。话务负荷能力实质上代表了交换系统的效率。影响系统话务负荷能力实质上代表了交换系统的效率。影响系统话务负荷能力的因素很多，如呼损率指标、服务设备容量、负荷能力的因素很多，如呼损率指标、服务设备容量、系统结构、服务方式、呼叫流的性质等。在一定的服务系统结构、服务方式、呼叫流的性质等。在一定的服务质量指标条件下，交换系统的话务负荷能力，常用完成质量指标条件下，交换系统的话务负荷能力，常用完成话务量强度话务量强度Ac与服务设备容量与服务设备容量m的比来表示。的比来表示。 二、话务负荷能力二、话务负荷能力是每个服务器承担的平均话务量强度，表示了服

28、务器是每个服务器承担的平均话务量强度，表示了服务器（如中继线）的利用率，。当然也表示服务设备被占用（如中继线）的利用率，。当然也表示服务设备被占用的概率或被占用的时间比例。的概率或被占用的时间比例。 25mAc/= =h h2.3 明显损失制交换系统的基本理论明显损失制交换系统的基本理论 2.3.1 呼损指标的分配呼损指标的分配 呼损是交换系统服务质量的重要指标，这个指标呼损是交换系统服务质量的重要指标，这个指标关系到用户对电话交换系统所提供服务的满意程度，关系到用户对电话交换系统所提供服务的满意程度，也涉及到运营商投资的大小和经济效益。呼损标准由也涉及到运营商投资的大小和经济效益。呼损标准由

29、有关行政主管部门制定。有关行政主管部门制定。 从经济性和技术的合理性角度，我们来分析呼损从经济性和技术的合理性角度，我们来分析呼损的分配问题。一般情况下，一个端到端的接续路由要的分配问题。一般情况下，一个端到端的接续路由要经过若干个选择级，在每个选择级上都有呼损。经过若干个选择级，在每个选择级上都有呼损。 26 首先来分析一个接续路由的总呼损概率首先来分析一个接续路由的总呼损概率PB和各选和各选择级的呼损概率择级的呼损概率pk之间的关系。要准确地计算之间的关系。要准确地计算PB是一是一件很复杂的事情，因为各选择级的占用存在着一定的件很复杂的事情，因为各选择级的占用存在着一定的依赖关系。如果假设

30、各选择级的工作是完全独立的，依赖关系。如果假设各选择级的工作是完全独立的，则呼损则呼损PB可表示为：可表示为： 27( () )( () )( () )= =- - -= =- - - - -= =nkknBppppP121)1 (11111LL呼损指标的分配呼损指标的分配 实际的交换系统中，呼损率实际的交换系统中，呼损率pk一般都很小，大约一般都很小，大约在百分之零点几，忽略所有在百分之零点几，忽略所有pk的乘积项，则的乘积项，则 这样，总呼损可近似看作各选择级呼损之和，下这样，总呼损可近似看作各选择级呼损之和，下面的问题就是怎样把总呼损分配到各选择级上去？面的问题就是怎样把总呼损分配到各选

31、择级上去？ 1 平均分配（简单，但不合理）。平均分配（简单，但不合理）。 2 根据各选择级的费用和在接续中的作用和影根据各选择级的费用和在接续中的作用和影 响分配响分配 （复杂，但合理）。（复杂，但合理）。 28nkBppppPLLLL+ + + + + 21呼损指标的分配呼损指标的分配 电话交换系统是一种典型的设备共享系电话交换系统是一种典型的设备共享系统。统。所谓所谓服务设备服务设备泛指各种在电话接续过程泛指各种在电话接续过程中，为用户提供服务的共享资源。在分析讨中，为用户提供服务的共享资源。在分析讨论中，服务设备具体是哪种并不重要。论中，服务设备具体是哪种并不重要。用户是产生话务量的源泉

32、，称为用户是产生话务量的源泉，称为负载源负载源或或话源话源，一般地说，凡是向本级设备送入话，一般地说，凡是向本级设备送入话务量的前级设备，都是本级的负载源。务量的前级设备，都是本级的负载源。2.3.2 关于利用度的概念关于利用度的概念 服务服务(器器)设备与负载源设备与负载源 29 如果接线网络能够把任何空闲的入线连接到任何如果接线网络能够把任何空闲的入线连接到任何空闲的出线，这叫做空闲的出线，这叫做“全利用度全利用度”接线网络，这种情接线网络，这种情况下，每一个负载源能够使用所有服务器中的任何一况下，每一个负载源能够使用所有服务器中的任何一个。当然也有个。当然也有“部分利用度部分利用度”接线

33、网络，其中任一负接线网络，其中任一负载源只能使用所有服务设备中的一部分设备。把负载载源只能使用所有服务设备中的一部分设备。把负载源能够使用的服务器数称为源能够使用的服务器数称为“利用度利用度”。显然，全利。显然，全利用度情况下的利用度等于服务器的数量。用度情况下的利用度等于服务器的数量。 全利用度和部分利用度全利用度和部分利用度 302.3.3 服务设备占用概率分布服务设备占用概率分布问题的提出：问题的提出： 1）服务设备同时占用数的概率分布问题）服务设备同时占用数的概率分布问题; 2）呼损的计算问题）呼损的计算问题; 3）服务设备的利用率问题。）服务设备的利用率问题。 呼损呼损是明显损失制系

34、统的基本服务指标，是明显损失制系统的基本服务指标，利用利用率率表明设备的经济效益，所以呼损和利用率是交换表明设备的经济效益，所以呼损和利用率是交换理论的中心课题。理论的中心课题。 什么决定呼损和利用率？是系统内所进行着的什么决定呼损和利用率？是系统内所进行着的随机过程。因此对全利用度明显损失制系统的研究随机过程。因此对全利用度明显损失制系统的研究必须从服务设备占用概率分布开始。必须从服务设备占用概率分布开始。 31 假设有一全利用度的随机服务系统，服务设备数假设有一全利用度的随机服务系统，服务设备数量为量为m，它为，它为N个负载源服务。个负载源服务。假设：假设：1）系统按明显损失制方式工作；）

35、系统按明显损失制方式工作； 2）所研究的系统满足生灭过程条件）所研究的系统满足生灭过程条件 ，且满足，且满足 统计平衡条件。统计平衡条件。 32服务设备占用概率分布服务设备占用概率分布 当系统处于统计平衡状态时，可由生灭过程状当系统处于统计平衡状态时，可由生灭过程状态概率一般解求得服务设备的占用概率分布。态概率一般解求得服务设备的占用概率分布。 显显然，所研究的系统具有有限个状态，在统计平衡条然，所研究的系统具有有限个状态，在统计平衡条件下，系统处于状态件下，系统处于状态 k 的概率为：的概率为： 式中式中 k 和和 k分别是系统处于状态分别是系统处于状态 k 时的呼叫时的呼叫发生强度和呼叫结

36、束强度。发生强度和呼叫结束强度。 33服务设备占用概率分布服务设备占用概率分布mkPPkkk, 2 , 1021110LLLLLL= = =- -m mm mm ml ll ll l12111021101001- - - + + + + += =mmPm mm mm ml ll ll lm mm ml ll lm ml lLLLLLL k和和k的计算的计算 k常采用以下两种计算方法：常采用以下两种计算方法： 1）假设呼叫强度）假设呼叫强度 k 与空闲的负载源数成正比，因为与空闲的负载源数成正比，因为呼叫总是由空闲着的负载呼叫总是由空闲着的负载 源发源发 起的起的 ， 所以这种假所以这种假设是自

37、然、合理的。设是自然、合理的。 如果在任意时刻系统处于状态如果在任意时刻系统处于状态 k ， N个负个负 载载 源源 中有中有k个处于忙状态，个处于忙状态，N- k个处于个处于空闲状态，则呼叫强度空闲状态，则呼叫强度k可以表示为：可以表示为：为一个空闲负载源的呼叫强度。为一个空闲负载源的呼叫强度。 k=(N-k) 34假设不管空闲着的负载源有多少，呼叫强度假设不管空闲着的负载源有多少，呼叫强度k始终始终是一个与系统状态无关的常数，即是一个与系统状态无关的常数，即k =。2） 实际计算中，究竟采用哪一种方法计算实际计算中，究竟采用哪一种方法计算k ，取，取决于负载源数目决于负载源数目N的大小。当

38、负载源数很大（在理论的大小。当负载源数很大（在理论上上N）时，其中处于忙状态的负载源数在全部负）时，其中处于忙状态的负载源数在全部负载源数中只占一个很小的比例，呼叫强度基本上取载源数中只占一个很小的比例，呼叫强度基本上取决于总负载源数，这时就可以近似的认为呼叫强度决于总负载源数，这时就可以近似的认为呼叫强度k 是一个常数，是一个常数， 即可以采用第二种方法计算即可以采用第二种方法计算k 。如。如果负载源数果负载源数N不是很大，因而不能忽略忙负载源数的不是很大，因而不能忽略忙负载源数的影响时，就要用第一种方法计算影响时，就要用第一种方法计算k 。 35 k和和k的计算的计算 k的计算方法的计算方

39、法 呼叫的占用时长近似服从指数分布，如果呼叫的平呼叫的占用时长近似服从指数分布，如果呼叫的平均占用时长为均占用时长为S，则在非常小的时间区间，则在非常小的时间区间t内呼叫结束内呼叫结束其占用的概率为其占用的概率为1-e-t/S，并且与该呼叫已经占用了多少，并且与该呼叫已经占用了多少时间无关。由于时间无关。由于t很小，呼叫结束占用的概率可以近似很小，呼叫结束占用的概率可以近似的表示为：的表示为： 因此，在有一个占用情况下，呼叫结束强度因此，在有一个占用情况下，呼叫结束强度1=1/S=。当系统中有。当系统中有k个呼叫占用时，由于每个呼叫个呼叫占用时，由于每个呼叫是独立的，并都以强度是独立的，并都以

40、强度=1/S 结束自己的占用，则状态结束自己的占用，则状态k下的呼叫结束强度应为下的呼叫结束强度应为1-e-t/St/S+o(t) (指数函数展开，忽略高次项）指数函数展开，忽略高次项）k=k=k/S 36 k和和k的计算的计算 根据负载源数根据负载源数N的大小及其与服务设备数量的大小及其与服务设备数量m的关系，下面分四种不同的情况来研究服务设备的关系，下面分四种不同的情况来研究服务设备的占用概率分布。的占用概率分布。占用概率分布占用概率分布1. 二项分布二项分布 研究负载源数研究负载源数 N 不大于服务设备数量不大于服务设备数量 m（即（即Nm）的情况。根据前面对）的情况。根据前面对k和和k

41、计算方法的讨计算方法的讨论，令：论，令： 式中式中S为呼叫的平均占用时长，为呼叫的平均占用时长，为一个空闲为一个空闲负载源的平均呼叫强度。负载源的平均呼叫强度。 37NkSkkNkk,2,1,0,/,)(LL= = =- -= =m ma al l由占用概率分布公式由占用概率分布公式 其中其中=S，根据话务量强度的定义，根据话务量强度的定义，是一个是一个空闲负载源的流入话务量强度。空闲负载源的流入话务量强度。 38NkPCPSkkNNNNPSkSSSkNNNNPPkkNkkkk, 2 , 1)()1 ()2)(1()/()/3()/2()/ 1()1()2()1(000021110LLLLLL

42、LLLLLL= = =+ +- - - -= =+ +- - - -= = =- -b ba aa aa aa aa am mm mm ml ll ll l！( () )NNNPb bm mm mm ml ll ll lm mm ml ll lm ml l+ += =+ + + + += =- - -1111211102110100LLLLLL二项分布二项分布将将P0代入代入Pk，m个服务设备有个服务设备有k个占用的概率为个占用的概率为令令 a=/(1+)，最后得，最后得 上式的占用概率分布显然是上式的占用概率分布显然是二项分布二项分布。式中。式中a表示表示的是一个负载源处于忙状态的概率。的是

43、一个负载源处于忙状态的概率。 根据话务量强度根据话务量强度的性质，的性质，a就是每个负载源的话务量强度。式就是每个负载源的话务量强度。式a=/(1+) 给出了在给出了在Nm的条件下，一个负载源的话务量强度与的条件下，一个负载源的话务量强度与一个空闲负载源的话务量强度之间的关系。已知一个空闲负载源的话务量强度之间的关系。已知a或或，就可求得服务设备的占用概率分布。，就可求得服务设备的占用概率分布。 39二项分布二项分布NkCCPkNkkNNkkNk, 2 , 1 , 0111)1 (1LL= =+ +- -)(+ += =+ += =- -b bb bb bb bb bb b()NkaaCPkN

44、kkNk,2, 1 ,0)1(LL= =- -= =- -例例 已知已知m6 ，N6，若每一话源忙的概率为，若每一话源忙的概率为a0.667，试求服务设备处于各种占用状态的概率。，试求服务设备处于各种占用状态的概率。解解 N=m6 服务设备占用服从二项分布。服务设备占用服从二项分布。 已知已知 a0.667，由公式，由公式计算得：计算得： P0=0.001，P1=0.016，P2=0.082 P3=0.219，P4=0.329，P5=0.264，P6=0.088且满足且满足 P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6=1 40二项分布举例二项分布举例NkaaCPkNkkNk,2,1,0)1(LL

45、= =- -= =- - 研究负载源数研究负载源数N大于服务设备数量大于服务设备数量m (Nm)的的情况。根据情况。根据k和和k的计算方法，令：的计算方法，令： k=(N-k)，k=k/S，k=0,1,2m 代入占用概率分布公式，得代入占用概率分布公式，得m个设备有个设备有k个占用的概率分布为：个占用的概率分布为： 2. 恩格塞特分布恩格塞特分布上式所描述的概率分布称为上式所描述的概率分布称为恩格塞特分布恩格塞特分布。 41mkPCPkkNk, 2 , 1 , 00LL= = =b b100- -= = = = miiiNCPb bmkCCPmiiiNkkNkLL2, 1 ,00= = = =

46、 =b bb b 在实际的工程计算中，一般不使用在实际的工程计算中，一般不使用，而是用，而是用流入话务量强度流入话务量强度 A 或负载源的话务量强度或负载源的话务量强度 a 。由于。由于A=Na，若呼损率为，若呼损率为B，则服务设备的完成话务量强，则服务设备的完成话务量强度度 Ac=A(1-B) 。根据完成话务量强度的定义，。根据完成话务量强度的定义， Ac 等于平均同时占用数。因此，等于平均同时占用数。因此，N-Ac 是平均空闲负是平均空闲负载源数。于是每个空闲负载源的话务量强度载源数。于是每个空闲负载源的话务量强度为：为： 将将的的不同表达式不同表达式代入代入恩格塞特分布公式，恩格塞特分布

47、公式， 可可得到采用不同参数计算得到采用不同参数计算Pk的公式形式。的公式形式。 42恩格塞特分布恩格塞特分布)1 (1)1 (BaaBANAANAc- - -= =- - -= =- -= =b b例例 有有6个接续用的机键，它们为个接续用的机键，它们为7 个用户服务，设每个空闲个用户服务，设每个空闲用户每分钟平均发生用户每分钟平均发生 0.665 个呼叫，个呼叫， 每次呼叫平均占用每次呼叫平均占用 2分分钟，试计算钟，试计算6个机键的占用概率分布。个机键的占用概率分布。解解 N=7，m6，Nm 机键的占用服从恩格塞特分布。机键的占用服从恩格塞特分布。 已知已知 0.665 呼叫呼叫/分钟分

48、钟，S=2 分钟分钟/呼叫呼叫 所以所以 =S 1.33 爱尔兰，由公式爱尔兰，由公式 计算得：计算得： P0=0.0027，P1=0.0255，P2=0.1016 P3=0.2253，P4=0.2997，P5=0.2391，P6=0.1060 43恩格塞特分布举例恩格塞特分布举例mkCCPmiiiNkkNkLL2, 1 ,00= = = = =b bb b 研究负载源数为无穷大，服务设备数量有限研究负载源数为无穷大，服务设备数量有限(N，m有限或有限或Nm)的情况，此时可认为呼的情况，此时可认为呼叫强度不再与系统的状态有关，而是一个常数。叫强度不再与系统的状态有关，而是一个常数。根据根据k和

49、和k的计算方法，令：的计算方法，令： k=，k=k/S，k=0,1,2m 代入占用概率分布公式，得代入占用概率分布公式，得3. 爱尔兰分布爱尔兰分布 44mkPkSPkkLL,2, 1 ,0!)(0= = =l l120!)(!2)(1- - + + + + += =mSSSPml ll ll lLL 根据流入话务量强度的定义，根据流入话务量强度的定义，S 就是系统就是系统的流入话务量强度。令的流入话务量强度。令AS，则，则m个服务设备个服务设备中有中有k个被占用的概率为：个被占用的概率为： 上式所示的概率分布称为上式所示的概率分布称为 爱尔兰分布爱尔兰分布。 由由爱尔兰分布可以得到递推式爱尔

50、兰分布可以得到递推式 Pk=Pk-1(A/k)。由此。由此可见，在可见，在kPk-1；在；在kA区域内区域内PkPk-1。当。当 k=A（如果（如果A是整数）或是整数）或 k=A (如如果果A不是整数不是整数) Pk值达到最大。值达到最大。 45爱尔兰分布爱尔兰分布mkiAkAPmiikk,2, 1 ,0!/!/0LL= = = = =例例 设有设有6条中继线，其话源数很大，已知话源的呼叫强度是条中继线，其话源数很大，已知话源的呼叫强度是每分钟每分钟2个呼叫，每个呼叫平均占用个呼叫，每个呼叫平均占用2分钟。试求中继线群分钟。试求中继线群的占用概率分布。的占用概率分布。解解 N=，m6（有限）（

51、有限） 中继线群的占用服从爱尔兰分布。中继线群的占用服从爱尔兰分布。 已知已知 2 呼叫呼叫/分钟分钟，S=2 分钟分钟/呼叫呼叫 所以所以 A=S 4 爱尔兰，由公式爱尔兰，由公式 计算得：计算得： P0=0.0206，P1=0.0824，P2=0.1648 P3=0.2197，P4=0.2197，P5=0.1757，P6=0.1172 46爱尔兰分布举例爱尔兰分布举例mkiAkAPmiikk,2, 1 ,0!/!/0LL= = = = = 研究负载源数和服务设备数量都非常大研究负载源数和服务设备数量都非常大（N，m ）的情况。根据）的情况。根据k和和k的计算方的计算方法，令：法，令： k=

52、，k=k/S，k=0,1,2 代入占用概率分布公式，得代入占用概率分布公式，得:4. 泊松分布泊松分布 其中其中A=S为系统的流入话务量强度，上式所为系统的流入话务量强度，上式所示的概率分布显然是示的概率分布显然是泊松分布泊松分布。 47SeSSPl ll ll l- - -= = + + + += =120!2)(! 11LLLL,2, 1 ,0!)(0= = = =- -kekAPkSPAkkkl l 以上分析了服务设备的四种占用概率分布，以上分析了服务设备的四种占用概率分布，每一种分布都有相应的前提条件，选择使用某一每一种分布都有相应的前提条件，选择使用某一种分布时，必须注意分析负载源数

53、量种分布时，必须注意分析负载源数量N与服务设与服务设备数量备数量m之间的关系以及呼叫发生强度之间的关系以及呼叫发生强度k和呼叫和呼叫结束强度结束强度k的计算方法。的计算方法。占用概率分布小结占用概率分布小结 482.3.4 呼损率与设备利用率呼损率与设备利用率 明显损失系统的服务质量是用呼损表示的，明显损失系统的服务质量是用呼损表示的，应用最广的是按呼叫计算的呼损应用最广的是按呼叫计算的呼损B和按时间计算的和按时间计算的呼损呼损E 。 呼损的计算离不开服务设备的占用概率分布，呼损的计算离不开服务设备的占用概率分布，只有正确的选择占用概率分布，才能得到准确的计只有正确的选择占用概率分布，才能得到

54、准确的计算结果。算结果。 下面分别讨论各种占用概率分布情况下下面分别讨论各种占用概率分布情况下B 和和 E的计算，重点是爱尔兰分布。的计算，重点是爱尔兰分布。 49( () )( () )2121,ttCttCBL= =( () )mBPttttTE= =- -= =1221, 二项分布二项分布 由于由于 Nm，所以，所以 B=0； 对于对于 Nm或或Nm)，相应的占用概率分布是恩格塞特分布和爱尔，相应的占用概率分布是恩格塞特分布和爱尔兰分布，下面分别进行详细讨论。兰分布，下面分别进行详细讨论。 50呼损率呼损率 占用概率服从爱尔兰分布情况下，按时间计算的占用概率服从爱尔兰分布情况下，按时间计

55、算的呼损率呼损率E为：为： 式中式中A是系统的流入话务量强度，是系统的流入话务量强度，m 为服务设为服务设备数量。上式是著名的备数量。上式是著名的爱尔兰呼损公式爱尔兰呼损公式，常用符号，常用符号Em(A)表示。表示。 1. 爱尔兰呼损公式爱尔兰呼损公式Em(A)的意义：的意义：服务设备容量为服务设备容量为m的全利用度系统，的全利用度系统，当流入话务量强度为当流入话务量强度为A时，按爱尔兰呼损公式计算时，按爱尔兰呼损公式计算的呼损为的呼损为Em(A)。 51 = = = =miimmiAmAPE0!/!/ 占用概率服从爱尔兰分布情况下，按呼叫计算的呼占用概率服从爱尔兰分布情况下，按呼叫计算的呼损

56、率损率B为：为： 式中式中CL和和C分别代表单位时间内损失的平均呼叫分别代表单位时间内损失的平均呼叫数和总平均呼叫数。数和总平均呼叫数。 可以看出：按呼叫计算的呼损可以看出：按呼叫计算的呼损B 等于按时间计算等于按时间计算的呼损的呼损E，因而没必要区分它们，通常就简单的称为，因而没必要区分它们，通常就简单的称为呼损，并用呼损，并用PB表示。即表示。即: 52爱尔兰呼损公式爱尔兰呼损公式 = = = = = =. .= =. . .= = =miimmmkkmmkkkmmiAmAPPPPPCCB000!/!/l ll ll ll lL L = = = = = =miimmBiAmAAEBEP0!

57、/!/)( 直接按爱尔兰呼损公式计算比较繁琐，在工程上常用查直接按爱尔兰呼损公式计算比较繁琐，在工程上常用查表或近似计算公式。表或近似计算公式。 查表查表 把爱尔兰呼损公式计算值列成表，已知把爱尔兰呼损公式计算值列成表，已知 E、m、A 三个三个量中的任意两个，通过查表，就可以得到爱尔兰呼损公式给量中的任意两个，通过查表，就可以得到爱尔兰呼损公式给出的第三个量的数值。出的第三个量的数值。表表2.1 给出了给出了E从从0.001到到 0.2，服务设备，服务设备数量数量m从从1到到300时，系统所能承担的话务量值。时，系统所能承担的话务量值。 例如例如 E10(3) 0.001 E10(10) 0.2 近似计算公式近似计算公式 当话务量值的范围为当话务量值的范围为5eA50e时，利用下面时，利用下面近似计算公式得到的服务器数量近似计算公式得到的服务器数量m相当接近精确值相当接近精确值(1)。 m=5.5+1.17A E=0.01 m=7.8+1.28A E=0.001爱尔兰呼损公式的计算问题爱尔兰呼损公式的计算问题 53 由爱尔兰呼损公式得到的由爱尔兰呼损公式得到的流入话务量强度流入话务量强度A，呼损，呼损E和和服务设备数量服务设备数量m之间的关系曲之间的关系曲线如下图所示。线如下图