第一讲椭圆（教案1）

1、 1 第第一一讲讲 椭圆椭圆 【知识要点】 ：【知识要点】 ： 1. 1. 椭圆定义：椭圆定义：平面内与两个定点平面内与两个定点12,F F的距离之和为常数的距离之和为常数1222aaFF的动点的动点P的轨迹叫椭圆的轨迹叫椭圆, ,其中两个定其中两个定点点12,F F叫椭圆的焦点叫椭圆的焦点. . 当当21212PFPFaFF时时, , P的轨迹为椭圆的轨迹为椭圆 ; ; 当当21212PFPFaFF时时, , P的轨迹为的轨迹为 以以12,F F为端点的线段为端点的线段 当当21212PFPFaFF时时, , P的轨迹不存在的轨迹不存在; ; 2 2椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几

2、何性质 标准方程标准方程 )0( 12222babyax )0( 12222babxay 图图 形形 性性 质质 参数关系参数关系 222cba 焦焦 点点 )0 ,(),0 ,(cc ), 0(), 0(cc 焦焦 距距 c2 范范 围围 byax| ,| bxay| ,| 顶顶 点点 ), 0(), 0(),0 ,(),0 ,(bbaa )0 ,(),0 ,(), 0(), 0(bbaa 对称性对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 离心率离心率 ) 1 , 0(ace 【主要方法】【主要方法】 1.求椭圆方程的方法：除了根据定义外，常用待定系数法（先定性，后定型，再定参）求椭圆方程的方法

3、：除了根据定义外，常用待定系数法（先定性，后定型，再定参）. .当椭圆的焦点位置不明当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时，可设方程为确而无法确定是哪种标准方程时，可设方程为221xymn（,0m n ）可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设）可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为为221mxny（0m, ,0n）. . 2.椭圆有“椭圆有“两两线” （两条对称轴） ， “六点” （两个焦点，四个顶点） ， “两形” （中心，焦点以及短轴端点构成的三线” （两条对称轴） ， “六点” （两个焦点，四个顶点） ， “两形” （中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形

4、）角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）. . (1) (1) 椭圆上任意一点椭圆上任意一点 M M 到焦点到焦点 F F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大且最大距离为距离为 a ac c，最小距离为，最小距离为 a ac.c. (2) (2) 求椭圆离心率求椭圆离心率 e e 时，只要求出时，只要求出 a a，b b，c c 的一个齐次方程，再结合的一个齐次方程，再结合 b b2 2a a2 2c c2 2就可求得就可求得 e(0e(0e e1)1) 3.3.重要结论：重要结论： 2 （1 1）.

5、.椭圆的椭圆的的内外部的内外部 点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. 点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. （2 2）. .直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交直线与椭圆相交0; ;直线与椭圆相切直线与椭圆相切0; ;直线与椭圆相离直线与椭圆相离0 22121214ABkxxx x114212212kyyy y 【典例解析】【典例解析】 题型题型 1.1. 椭圆椭圆方程方程的求法的求法 例例 1 1.（1）曲线C是点M到定点(2,0)F的距离与到直线x=3 距离之比为63的轨迹求

6、曲线C的方程； （2）已知椭圆C：222210 xyabab的离心率e32，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2原点到直线A2B2的距离为255求椭圆C的方程； （）设曲线上任一点( , )M x y，则由题意得：22(2)6|3|3xyx化简得：曲线方程为22162xy （2）因为椭圆C的离心率e32，故设a2m，c3m，则bm直线A2B2方程为 bxayab0， 即mx2my2m20所以 2m2m24m2255，解得m1所以 a2，b1，椭圆方程为x24y21 【课堂练习】【课堂练习】 1.（20142014长沙四校）长沙四校）已知动圆

7、M过定点A(3,0)并且与定圆B：(x3)2y264 相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.x216y271 B.x27y2161 C.x216y271 D.x27y2161 【答案】 A 【解析】 点A在圆B内，过点A的圆与圆B只内切，圆心距|BM|8|MA|，即|MB|MA|8|AB|， 点M轨迹是以A、B为焦点的椭圆，设其方程为x2a2y2b21，又a4，c3，b27，方程为x216y271. 2 （2014 全国卷）已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为33，过 F2的直线 l 交 C于 A，B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程

8、为( A ) A.x23y221 B.x23y21 C.x212y281 D.x212y241 解析 根据题意，因为AF1B 的周长为 4 3，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a43，所以 a 3.又因为椭圆的离心率 eca33，所以 c1，b2a2c2312，所以椭圆 C 的方程为x23y221. 3 3.在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆C：22221(1)xyabab 的离心率32e ， 且椭圆C上一点N到点Q03（ ， ） 的距离最大值为4，求椭圆 C 的方程； 解析： （）2222223,4cabeaa 224,ab 则椭圆方程为22221,4xybb

9、即22244.xyb 设( , ),N x y则22222(0)(3)44(3)NQxybyy 222236493(1)412yybyb当1y 时，NQ有最大值为24124,b 解得21,b 24a ，椭圆方程是2214xy 4.在直角坐标系 xoy 中，椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2，F2也是抛物线 C2： y24x 的焦点，点 M 为为 C1与 C2在第一象限交点，且MF253。求 C1的方程； 由2C：24yx知2(10)F，设11()M xy，M在2C上，因为253MF ，所以1513x ，得123x ，12 63y M在1C上，且椭圆1C的半焦距

10、1c ，于是2222481931.abba，消去2b并整理得 4293740aa， 解得2a （13a 不合题意，舍去） 故椭圆1C的方程为22143xy 题型题型 2 2. .椭圆的定义椭圆的定义与与标准标准方程方程. . 例例 2 2 （1 1）(2012(2012兰州兰州) )“35m ”是“方程22153xymm表示椭圆”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 要使方程x25my2m31 表示椭圆，应满足 5m0，m30，5mm3，解得3m5 且m1，因此 “3m5”是“方程x25my2m31 表示椭圆”的必要不充分条件答案 B （2）

11、椭圆22192xy的焦点为12,F F，点P在椭圆上，若1| 4PF ，12FPF的小大为 【解析】椭圆22192xy的29,3aa，22222,7bcab，所以7c 。因为14PF ，所以 4 1226PFPFa，所以2642PF 。所以2222221112121242(2 7)1cos22 4 22PFPFFFFPFPF PF ,所以12120FPF。 【课堂练习】【课堂练习】 1椭圆22126xykk的焦点坐标在x轴上，则实数k的取值范围是 。 2在ABC中，( 3,0),(3,0)AB，C为椭圆2212516xy上一点，则sinsinsinABC 53 ； 3.设1F、2F是椭圆142

12、2 yx的两个焦点,点P在椭圆上,且满足221PFF,则21PFF的面积等于 1; 4.已知椭圆:)20( 14222bbyx,左右焦点分别为21FF，,过1F的直线l交椭圆于 A,B 两点,若|22AFBF的最大值为 5,则b的值是（ D. ） A.1 B.2 C.23 D.3 解：由题意知2a ,所以22|48BFAFABa因为22|BFAF的最大值为 5,所以AB的最小值为3, 当 且仅 当ABx轴 时 ,取 得最 小 值, 此时33(, ), (,)22AcBc, 代 入 椭圆 方程 得229144cb, 又22224cabb,所以2249144bb,即2291144bb,所以2294

13、4bb,解得23b ,所以3b , 5. 设 椭 圆2212516xy的 左 右 焦 点 为12,F F， 弦 AB 过 点1F，2ABF的 内 切 圆 的 面 积 为4， 若1122(,),(,)A xyB xy，则12yy的值（ A ）A53 B103 C203 D53 题型题型 3 3. .椭圆的几何性质椭圆的几何性质 例例 3.3.（1 1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） 【答案】B A.54 B.53 C. 52 D. 51 （2）已知1F，2F椭圆13610022yx的两个焦点，00(,)P xy为椭圆上一点，当021 PFPF 时，0

14、x的取值范围为 解析： 实际上即为求满足21PFF为锐角得点P得横坐标得取值范围。 先考虑分界点， 即先求出满足21PFPF 的 5 P点的坐标，设为),(00yx，列出关系式：6413610020202020yxyx解得05 72x 【答案】5 75 7 10,)(,1022 例例 4 4（20142014北京） 北京） 已知椭圆 C：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值 解：(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为x24y221. 所以 a24，b22，从而 c2a2b2

15、2.因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 eca22. (2)设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中 x00.因为 OAOB，所以OAOB0， 即 tx02y00，解得 t2y0 x0.又 x202y204，所以|AB|2(x0t)2(y02)2 x02y0 x02(y02)2x20y204y20 x204x204x2022（4x20）x204x2028x204 (0 x204) 因为x2028x204(0 x204)，当 x204 时等号成立，所以|AB|28.故线段 AB 长度的最小值为 2 2. 【课堂练习】【课堂练习】 1.1.过椭圆22221xyab(0ab)

16、的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为（ ）B A22 B33 C12 D13 2若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴的最小值为（ D ） A.1 B.2 C.2 D.22 3.椭圆14922yx的焦点为1F、2F，点 P 为其上的动点，当21PFF为钝角时，点 P 横坐标的取值范围 是 5353 x 4.过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B， 且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.14，94

17、B.23，1 C.12，23 D.0，12 解析：点 B 的横坐标是 c，故 B 的坐标为c，b2a，已知 k13，12，Bc，b2a. 斜率 kb2acab2aca2a2c2aca21e2e1.由13k12，解得12e23. 答案：C 6 【课外练习】【课外练习】 3.方程11222mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_ . 分析：分析：据题意mmmm2) 1(0201，解之得 0m31 4.椭圆22162xy和双曲线2213xy的公共焦点为PFF,21是两曲线的一个交点, 则21FPF的面积为 答：2提示：先利用定义求 PF1，PF2，再用余弦定理求得 31cosP，最后用面积

18、公式 5.椭圆15222yax(a为定值,且5a)的左焦点为 F,直线mx 与椭圆相交于点 A.B,FAB的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率 e 是 _.【答案】 32 6.已知1F、2F是椭圆1:2222byaxC（ab0） 的两个焦点，P为椭圆C上一点， 且21PFPF .若21FPF的面积为 9，则b=_. 【解析】依题意，有2222121214|18|2|cPFPFPFPFaPFPF，可得 4c2364a2，即 a2c29，故有 b3。 7.已知椭圆的方程为1162522yx，21,FF分别为椭圆的左、右焦点，A点的坐标为) 1 , 2(，P为椭圆上一点，则|2PFPA 的最大值与最小值分别是 【答案】2610 和2610 【提示】该问题的求解要用到椭圆的第一定义，如图 6，因为P为椭圆上一点，所以有10|21 PFPF， 因此有 |10|12PFPAPFPA 注意到 26|11AFPFPA 所以有2610|26102PFPA 即|2PF