高中数学第一章解三角形本章整合课件新人教B版必修5

1、-1-本章整合知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五判断三角形的形状特征,不仅要深入研究三角形边与边的大小关系,还要研究角与角的大小关系.解决这类问题的常用方法是:将式子都化为角的式子或边的式子再判断.通常利用正弦定理的变形如a=2Rsin A将边化为角的正弦,利用余弦定理的推论如cos 然后利用三角形的有关知识,三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进展转化、化简,从而得出结论.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用1 在ABC中, 假设sin A sin B sin C=2 3 4,那么该三角形是三角形. 提示:考虑到条件是三个角正弦

2、的比值,可用正弦定理得出三边的关系,再利用余弦定理判断最大角的大小即可.解析:因为sin A sin B sin C=2 3 4,根据正弦定理,得a b c =2 3 4.设a=2m,b=3m,c=4m(m0), 因为cba,所以CBA.所以C是钝角.所以ABC是钝角三角形.答案:钝角知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用2 在ABC中,假设B=60,2b=a+c,试判断ABC的形状.提示:条件中等式只有边,故结合其特点,可选择利用正弦定理化边为角,再结合三角函数关系化简求解;此题也可利用B=60这一条件,用余弦定理找出边之间的关系来判断.解:方法一:由正弦定理,得2sin

3、 B=sin A+sin C.因为B=60,所以A+C=120.所以A=120-C,代入上式,得2sin 60=sin(120-C)+sin C,所以sin(C+30)=1.所以C+30=90.所以C=60.所以A=60.故ABC为等边三角形.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B. 整理,得(a-c)2=0,所以a=c.从而a=b=c.所以ABC为等边三角形.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题二解三角形在解三角形时,常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用,要注意恰当地选取定理,简化运算过程,提高解题

4、速度,同时,要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来,挖掘题目中的隐含条件.解题时,要综合、灵活地运用两个定理,认真分析条件,选择需要先(后)解的三角形和相关定理,并结合三角形的有关性质,如大边对大角,内角和定理等.注意数形结合,正确地求解三角形,防止出现漏解或增解的情况.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用 在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,B=45,(1)求边长a;(2)设AB中点为D,求中线CD的长.提示:(1)由cos C求sin C,再利用两角和的正弦公式求sin A,然后利用正弦定理求出边长a;(2)在ABC中利用余弦定理求边AB的长,然后在BC

5、D中求出边CD的长.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五(2)在ABC中,AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=b2+a2-2abcos C=4.所以AB=2,BD=1.在BCD中,CD2=BC2+BD2-2BCBDcos B知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识严密地联系在一起,是高考中的常见题型.常用三角形面积公式:知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,

6、b,c,且a2=b2+c2+ bc.(1)求A;(2)设a= ,S为ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.提示:(1)利用余弦定理求A;(2)利用正弦定理及面积公式将面积S表示出来,再用三角变换的知识求出最值.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体,以正、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手段来考察解三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具体解题中,除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外,也要根据条件,合理选用三角函数公式,到达简化解题的目的.知识建构真

7、题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用1 在ABC中, A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)求cos B的值;(2)假设b= ,a+c=4,求ABC的面积.提示:(1)先利用正弦定理化简,再用三角变换整理即得.(2)利用余弦定理及面积公式,再注意整体求ac的技巧.cos Csin B=2sin Acos B-cos Bsin C.2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin(-A)=sin A.sin A0,cos B= .(2)b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=7,又a+c=4,(a+c)2-3ac=7.ac

8、=3.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用2 在ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).(1)假设mn,求证:ABC为等腰三角形;(2)假设mp,c=2,C= ,求ABC的面积.提示:先利用向量的坐标运算将条件转化为边角关系,再由正弦定理或余弦定理求解.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五(1)证明:mn,asin A=bsin B,a=b,ABC为等腰三角形.(2)解:由题意mp,得mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,a+b=ab.根据余弦定理c2=a2+b2-

9、2abcos C,得4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1不合题意,舍去),知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时,首先要认真分析题意,找出各量之间的关系,根据题意画出示意图,将要求的问题抽象为三角形模型,然后利用正弦定理、余弦定理求解,最后将结果复原为实际问题,这一程序可用框图表示为:知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用1 如下图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上,行驶5 km后到

10、达B处,测得此山顶在西偏北25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.提示:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可.根据条件,可以计算出BC的长.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五解:在ABC中,BAC=15,ACB=25-15=10.根据正弦定理,CD=BCtanDBC=BCtan 81.047(km).答:山的高度约为1.047 km.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五应用2 如图,某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度

11、沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才能追赶上该走私船?提示:在求解三角形中,可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题三专题四专题五解:设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,那么CB=10 x海里,AB=14x海里,AC=9海里,ACB=75+45=120,所以(14x)2= 92+ (10 x)2 -2910 xcos 120,化简,得32x2-30 x-27=0.所以BC =15,AB =21. 所以BAC =3813或BAC =141

12、47(钝角不合题意,舍去).所以3813+45=8313.答:巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追,经过1.5小时才能追赶上该走私船.真题放送综合应用知识建构1234567891(江西高考江西高考)在在ABC中中,内角内角A,B,C所对的边分别是所对的边分别是a,b,c,假设假设3a=2b,那么那么 的值为的值为()答案:D 真题放送综合应用知识建构1234567892(课标全国课标全国高考高考)钝角三角形钝角三角形ABC的面积是的面积是 ,AB=1,BC= ,那那么么AC=()A.5B. 答案:B 真题放送综合应用知识建构1234567893(课标全国课标全国高考高考)a,b,c分别为分别为A

13、BC三个内角三个内角A,B,C的对边的对边,a=2,且且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,那么那么ABC面积的最大值为面积的最大值为. 解析解析:由正弦定理由正弦定理,可得可得(2+b)(a-b)=(c-b)c.a=2,a2-b2=c2-bc,即即b2+c2-a2=bc.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.b2+c22bc,即4+bc2bc,bc4.真题放送综合应用知识建构1234567894(天津高考天津高考)在在ABC中中,内角内角A,B,C所对的边分别是所对的边分别是a,b,c.b-c= a,2sin B=3sin C,那么那么cos A的值为的值为

14、. 真题放送综合应用知识建构1234567895(广东高考广东高考)在在ABC中中,角角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,bcos C+ccos B=2b,那么那么 =. 解析解析:因为因为bcos C+ccos B=2b,所以由正弦定理所以由正弦定理,可得可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即即sin(B+C)=2sin B,所以所以sin(-A)=2sin B,即即sin A=2sin B.于是于是a=2b,即即 =2.答案答案:2真题放送综合应用知识建构1234567896(四川高考四川高考)如图如图,从气球从气球A上测得正前方的河流的两岸上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角的俯角分别为分别为67,30,此时气球的高是此时气球的高是46 m,那么河流的宽度那么河流的宽度BC约等于约等于m.(用四舍五入法将结果准确到个位用四舍五入法将结果准确到个位.参考数据参考数据:sin 670.92,cos 670.39,sin 370.60,cos 370.80, 1.73) 真题放送综合应用知识建构123456789解析:如下图,过A作ADCB且交CB的延长线于点D.在RtADC中,由AD=46 m,ACB=30得AC=92 m.在ABC中,BAC=67-30=37,ABC=180