晶格动力学讲稿

1、第四部分 晶格动力学前一章我们假定离子实处于平衡位置静止不动，然后讨论电子的运动。实际上，晶体中原子并非静止不动的，离子实围绕其平衡位置作微振动，其平衡位置就是其晶格格点。这种晶格振动是电子所受散射的主要来源。在这部分将主要介绍晶格动力学的基本理论和方法。在晶体的薛定谔方程里，得到离子实满足的薛定谔方程。求解离子实的薛定谔方程的困难和在能带理论中碰到的相同，来源于离子是间的相互作用，成为多体问题。zzzzEH222mUUTHezzzz 1 简谐近似 假定晶体中离子实或原子任意时刻的位置为 （1） 其中是偏离平衡位置的位移矢量，对N的原子位移矢量有3N个分量，i=1,2,3,.,3N N个原子体

2、系的势能函数在平衡位置附近展成泰勒级数 （2） 如果只保留第一个非零项，即位移的2次项 tuRRnnn tun jiNjijiiNiiuuuuVuuVVV31,23121 （3） 这种近似称为简谐近似。jiNjijiuuuuuV31,2212 一维单原子晶格的振动（1） 运动方程及其解每个原子的质量为m晶格间距 a原胞原子数N总长 L=Na格矢 偏离格点的位移用假设：原子限制在沿链的方向运动，只有近邻的原子存在作用设在平衡位置时，两个原子的相互作用势能为 ，令 （相对位移）naRn 11,nnn avnn1产生相对位移后，相对作用势变为 （4）在简谐近似下，相邻原子间的作用力为 （5）（ 为弹

3、性系数)考察第N个原子的运动情况。左方第（n-1）原子与它的相对位移 ，作用力为右方第（n+1）个原子对它的相对位移 ，作用力为根据牛顿定理，得到第n个原子的运动方程为 （6）av 221avavddvF1nn1nnnn1nn1nnnnnnnnm21111 每个原子对应一个（6）样的方程，若原子链有N个原子，则有N个方程。（6）式实际上代表N个联立的线性方程。该方程的解为振幅为A，频率为 的简谐振动 （7）式中qna表示第n个原子振动的位相因子。每一个原子都绕共同的平衡位置作简谐振动，振动振幅和振动频率相同。但从整体上看，每个原子的振动位相各不相同，相邻的原子为相差为qa，因此（7）式代表了一

4、种全部原子都以同一频率，同一振幅。相邻原子的振动位相差均为qa的集体振动模式格波。因为是简谐近似，所以也称维简谐格波。 格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体振动模式格波晶格振动的简正模。 tqnainAeu（2）q的取值范围 当位相因子之差改变 的整数倍时，当 时（s为整数） 所有原子的振动都完全相同，即当第个原子和第n个原子的距离为为的整数倍时，原子因振动产生的位移相等。因此，将q限制在范围内，或 。（3） 色散关系 把（7）式代入（6）式可得，对给定的q相应的频率为（）2sanaan2ntqnaitaqninAeAennaanq2qaaqamqacos122 （9）把的关系称为格波的

5、色散关系。也称晶格振动频谱当时 最大值高于该频率的格波不能在晶体中传播 因此称为截止频率。由（9）是也可看出，因为（9）式中未出现标志原子的变量n，这说明格波满足的运动方程的所有原子都的参与一种集体振动模式 aqmmqaq21sin2cos1221qaq214mmmaamq0（4） 的周期性 由（9）式可知: 是q的周期函数，周期为 （ m是整数） （10）即q与 实际上表示的同一格波的格矢， 具有倒格子的周期性。这也是将q限制在 范围的原因，保证 的单值性。由（9）式还可看出 ： 具有反演对称性， 是q的偶函数 （11）a2 qmaq2mGq qaqa qnmnitqnaitnamaqine

6、AeAe22 qq q若q为正，表示沿某方向前进的格波。若q为负，表示沿反方向传播的格波。格波的相速度: (12)格波的群速度： （13）都是q的函数，表明格波具有色散性质，而弹性波的波速只与介质的性质有关而与波矢是无关。（5） 长波近似极限情况下的波动性质。 当 时，即 的情况下，则 即当q很小时， 。qqamqVp21sin22cos2qamdqdVa02q22sinqaqaqVqam2421 由（9）式得： （14）在长波下， 与波矢无关 格波的相速度： 格波的相速度也与波矢无关。因此，在长波情况下（ ），格波看作是弹性波。因为波长 很大时，相比起来晶格常数a很小。所以可以把晶格看成连续

7、介质。（6）q的取值数目及格波数 由于晶体的体积是有限的，因而q的取值不是任意的，q的取值由边界条件决定。采用周期性边界条件（玻恩卡门边界条件） ：VpVpannN 是整数 （15）即描写晶格振动的状态的波矢q只能取一些分离的值。因为q介于 之间。 即 只取N个不同的值。因此，由一维单原子组成的一维晶格，q只能取N个不同的值。niqNatqnaitanNqinNeAeAe1iqNaelqNa2llNaq2aa,alNaa222NlNl格波数：一维单原子晶体，一个q只对应一个格波。q取N个不同的值，对应N个 ，因此，独立的格波函数为N。结论： 晶格振动频率数目=晶体的自由度数。 3 一维双原子晶

8、体的振动（1） 运动方程及其解设一位晶格由N个原胞组成，每个原胞有两个不同原子，质量为M ，m。在平衡时相邻原子距离用a表示偏离晶格点的位用 表示。设只有相邻原子间存在相互作用，互作用能取简谐近似。 与一维单原子链的情况类似，可以写出原子的运动方程。 ,122nnuu （16） 具有格波形式解： （17）（2） 色散关系 将（17）式代入（16）式得 （18）nnnm212122122122nnnMtnaqinAe22tqaninBe12120cos222BqaAm02cos22BMAqa要使A，B有非零解，系数行列式为0； （19）从而得到 （20）表明： 与q之间的色散关系可以去两种形式，

9、相应的每个q对应两类不同的格波： 对应的格波声学支 对应的格波光学支将（20）式中的 ，代入（18）式，得到声学波和光学波情况下A,B之比：02cos2cos2222Mqaqam21222sin411qaMmmMnMnM （21） （22）（3 ）q的取值范围 一维复式格子，晶格周期为2a， q限制在（4）q的取值数目一维复式格子有N个原胞（每个原胞含2个不同的原子） 根据周期性边界条件： 得q只能在 范围取N个不同的值。波矢的数目=晶体的原胞数222cos2cos22mqaqaMBAaa 2,2nnN22Nalq22qa222cos2cos22mqaqaMBA（5）格波数目一维复式格子，对应

10、于每个q值有两个不同的，一个是光学波角频率，一个是声学波角频率。因此振动频率数为2N，每个频率对应一个格波，因此，格波数为2N。在一维双原子链中，每个原胞有2个原子， 晶体的自由度为2N。因此：晶格振动的频率数=晶体的自由度数（6）声学波和光学波由（20）因为2qa介于 之间，所以, 00minMa22maxna22min MmMm 20max因为m ，当 介于 与 之间时，将有 0，意味着这样频率的电磁波不能在离子晶体中传播。0T0L 0L0T七.非简谐效应假设晶格振动是严格简谐的，就没有热膨胀、热传导。实际的热膨胀、热传导是原子之间的非谐作用所引起的。八.非晶固体中的原子振动前面讲的是理想晶体中原子振动，其本征振动模是一次列格波。为格波的波数矢量。对于每一种本征振动，能量取值是量子化的。非晶固体中原子排列是连续无规形式，不存在周期性，是近程有序。（1）不存在格波的概念，也就不存在波矢 。（2）仍存在一系列本征振动，其能量本征值是量子化的。若非晶固体包含N个原子，自由度为3N，按理想力学的一般原理，原子偏离平衡位置的小振动，总是有3N个简正