7第6讲正弦定理和余弦定理新题培优练

1、高算演埴外层美成.二1基础题组练1,已知 ABC 中，A：B：C=1：1：4,则 a：b：c=(A. 1 ： 1 ： V3B.C. 1 ： 1 ： 2D.解析：选A.AABC- 兀= 6"中，A : B : C= 1 : 1 : 4,所以B=, C=|ti , a ： b ： c 631= sin A - sin B - sin C = - 2:| :乎=1 ： 1 ： V3.2. （2019武汉调研）在 ABC中，a, b, c分别是角+ c,则 B=（）A, B, C 的对边，且 2bcos C=2a兀A.7兀B. 了兀C.W3解析：选D.因为2bcos C=2a+c,所以由正弦

2、定理可得2sin Bcos C= 2sin A+sin C =2sin(B+C) + sin C = 2sin Bcos C+ 2cos Bsin C+ sin C,即 2cos Bsin C= sin C,又 sin Cw 0,1所以cos B= 2,又0<B<ti,所以D.3. (2018高考全国卷 m)AABC十,a1+ b1- c2 积为一4，则c=()的内角A,B,C的对边分别为 a, b, c.若 ABC的面兀A.y解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知1a2+ b1 c1|absin C =4,所以 sin C =a2+ b1 c1 .，Fb =3 O, 所以在 A

3、ABC 中,C=7t4 .4. （2019江西赣州月考）在4ABC中,角A,B, C所对应的边分别为a, b, c.若角A,B, C依次成等差数列，且 a=1, b= V3,则SAabc = (A. . 2TC. 2D. 2解析：选C.因为A, B, C依次成等差数列，所以B=60° ,所以由余弦定理得b2=a21+ c2 2accos B,得 c=2,所以由正弦te理得SaABc = "acsin b =-23,故选C.兀B.?54ABC中，若鬻|=七簧,贝必ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形当黑i=M由正弦定理，得

4、詈1+cos 2C 2cos2C cos2C bcos C cos C b cos C , 斛析：选口由已知而热=2=嬴百=.'所以该B=c或诉=°'即C= 90°或cosCnb.当C=90°时，ABC为直角三角形. cos B csin旦，所以cosCnsin巨，即 sin Ccos C=sin Bcos B,即 sin 2C = sin 2B.因为 B, C 均为 ABC sin C cos B sin C的内角，所以2c=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90° ,所以4ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D

5、.6. (2019吉林四平质检)在 ABC中，已知a, b, c分别为角 A, B, C的对边且/ A =60° ,若字abc = ¥且2sin B=3sin C,则 ABC的周长等于()A. 5+由B. 12C. 10 + SD. 5+2/7解析：选A.在ABC中，/ A= 60° .因为2sin B=3sin C,故由正弦定理可得 2b=3c,3 .3 1再由 S；aabc= 2 =bc sin A,可得 bc=6,所以 b=3, c= 2.由余弦te理可得 a2= b2+ c2 2bc cos A=7,所以a= 巾，故 ABC的周长为 a+b+ c= 5+

6、巾，故选 A.7. (2019福州模拟)AABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知J3(acos C- ccos A)=b, B=60° ,则A的大小为.解析：由正弦定理及 J3(acos C ccos A) = b,彳#43(sin A - cos C sin Ccos A)= sin B, 所以3sin(AC) = sin B,由 B=60° ,得 sin B 二号,所以 sin(AC) = '.又 A C= 120° 2C (-120° , 120° ),所以 A-C = 30° ,又 A+C=120

7、° ,所以 A=75° .答案：75°8. (2019高考全国卷 H)4ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,若b=6, a = 兀 一 一一，2c, B=W，则 ABC的面积为 .3兀-解析：法一：因为a=2c, b= 6, B=,所以由余弦定理 b2= a2 + c2-2accos B,得623= (2c)2+c2-2X2cXccos A，得 c= 2v3,所以 a = 443,所以 ABC 的面积 S= %csin B =321_兀 1x 40X20Xsin 丁 = 60.兀CCCCC法二：因为 a=2c, b= 6, B =,所以由余弦

8、定理 b2= a2+ c2 2accos B,得 62= (2c)2 3-兀-兀+ c2 - 2x 2cx ccos ,得 c= 2y3,所以 a=4y3,所以 a2= b2+ c2,所以 A = ,所以 ABC 321 _的面积 S=2X2 ,3X 6=6 3.答案：6 39. (2019山东荷泽模拟)在 ABC中，内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且acos B一cb- cHu贝>bcZ2=2 a 6=b-2解析：由 acos B c 2= 0 及正弦定理可得 sin AcosB sin C切!一=0.因为 sin C = sin(A + B) = sin Acos

9、B+cos Asin B, 所以一 sin B cos Asin B=0, 所以 cos A=-, 即 A=223 -由余弦定理得 a2= 7bc= b2+c2+bc,即 2b2 5bc+2c2= 0,又 b>c,所以 b=2.2c答案：2110. (2019昆明质检)在4ABC中，角A, B, C所对的边分别是 a, b, c,若cos C=",c=3,且品=焉，则 ABC的面积等于解析：因为意=会,由正弦定理可知，sin Acos A嚣？ tan A=tan B,则 A=B，所以ABC为等腰三角形，所以 A+ B+C = 2B+C=兀,得2B=兀一C,贝U cos 2B=-

10、 cos C1=1 2sin2B,解得 sin B=, cos B =乎，tan B = 9. 4443因为 AB = c= 3,所以 C 到 AB 的距离 h = AB X tan B =-3 X-1-5 =-25,所以 ABC 的面 积为2XABX仁乎11. (2019江西七校第一次联考)ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知 a(sin A sin B)=(cb)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=币, ABC的面积为323,求 ABC的周长.解：(1)由 a(sin A sin B) = (cb)(sin C + sin B)及正弦定理,得 a

11、(a b) = (c b)(c+ b),即 a2+ b2 c2= ab.1、，a2+b2c2 1ll,、， 兀所以 c0s C=2ab=2,又 CC(0,兀)，所以 C=y.(2)由(1)知 a2+b2c2=ab,所以(a+b)23ab= c2=7,P c 1-又 S=2absin C =33,34 ab= 2，所以ab=6,所以(a+b)2=7+ 3ab=25, a+b=5.所以ABC的周长为a+b + c= 5 + #7.12. (2019合肥质量检测)在 ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, bcos C =acos2B+ bcos Acos B.(1)求证： A

12、BC是等腰三角形；(2)若cos A = 7,且 ABC的周长为5,求 ABC的面积. 8解：(1)证明：根据正弦定理及 b cos C= acos2B + bcos Acos B,可得 sin Bcos C= sin Acos2B+ sin Bcos Acos B = cos B(sin Acos B + sin Bcos A) = cos Bsin(A + B),即 sin Bcos C= cos Bsin C,所以 sin(B-C)=0,由 B, C (0,兀)，得 BCC (兀，兀),故B=C,所以 ABC是等腰三角形.b2 c2 a2 2b2 a2 7 /口(2)由(1)知 b=c,

13、则 cos A=2bc= 2b2 =8，得 b= 2a. ABC 的周长为 a + b+ c= 5a =5,得 a= 1, b = c= 2.故ABC 的面积 S=1bcsin A = 1>< 2X 2X A/1- 7 =15.22884综合题组练1 .(应用型)在4ABC中，三个内角 A, B, C的对边分别为a, b, c,若 ABC的面积-兀为 S,且 4S= (a+b)2-c2,则 sin "4+C 等于()A. 1B.当,3D.万所以 2S= absin C, a2+b2c2 = 2abcos2C.万1a2+ b2-c2斛析：选 C.因为 S= 2absin C

14、，cos C= 2ab 'C.又 4S= (a+ b)2- c2= a2+ b2-c2+2ab,所以 2absin C= 2abcos C+ 2ab.因为 ab* 0,所以 sin C= cos C+ 1.因为 sin2C+ cos2C= 1,所以(cos C+1)2+cos2C= 1,解得 cos C=- 1(不合题意，舍去)或 cos C=0,所以 sin C= 1,E. .兀 一%/2V2则 sin 了+C = 2 (sin C+cos C) = 2 .2.（应用型）（2019陕西质量检测一）已知 ABC的内角A, B, C的对边分别是a, b, c,且(a2+b2 c2)(ac

15、os B + bcos A)= abc.若 a+b=2,则 c 的取值范围为 解析：在AABC 中，因为(a2+b2c2)(acos B + bcos A)=abc, ,、a2 + b2 c2所以ab(acos B+ bcos A)= c,由正、余弦定理可得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)= sin C,所以 2cos Csin(A+B) = sinC,即 2cos Csin C= sin C,一A,又 sin Cw0,所以 cos C=',因为 CC (0,兀),所以 C = B = 23所以由正弦定理-a-= =c,可得-A得csina=csnA, b一

16、2因为a+b=2,所以更譬十2csin整理得c=与2sin A+ sin A 33：32sin A+ -2"(1- 兀 cos A sin A + -6因为AC0,2 TT 兀2r，所以A+367t6 ?，可得兀sinA十万 e12, 1 ,所以c=一 e 1, 2).7t答案:1, 2)sin A+ T3. （2018高考天津卷）在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知 bsin A兀=acos B 6 .（1）求角B的大小;(2)设 a=2, c= 3,求 b和 sin(2AB)的值.a b斛：在ABC中,由正弦皿里 菽=忝,可信厮A=asin B,又由

17、bsin A =acos B-6 ,得 asin B= acos B-6 ,即 sin B= cos B 6 ,可得 tan B = 43.又因为 B (0,7t兀)可得B = .sin A sin(2)在ABC 中，由余弦定理及 a=2, c= 3, B = -,有 b2= a2 +c22accos B=7,故 b 3由 bsin A = acosB ，可得 sin A=等.因为 a<c,故 cos A =言.因此 sin 2A= 2sin Acos4 321A=7-, cos 2A= 2cos2A1 = 7,所以，sin(2A B)= sin 2Acos B cos 2Asin B=4/3X1承=匐32 7214 .A, B, C的对边分别为 a, b, c,4.（一题多解）（2019郑州质量预测）在 ABC中,且 2ccos B=2a+ b.(1)求角C;（2）若 ABC的面积S=岑c,求ab的最小值.解：（1）法一：由2ccos B = 2a+b及余弦定理，得2ca± =2a+b,得 a2+db22ac= 2a2+ab,即 a2 + b2 c2= ab,所以cos C =a2+b2c2 ab2ab 2ab12'又0<C<兀,所以 C= -.法二：因为sin A sin B sin C'