平面向量基本原理及坐标表示

1、平面向量基本原理平面向量基本原理及坐标表示及坐标表示 一、平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 向量，那向量，那么对于这一平面内的任意向量么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数一对实数1，2，使，使a . 其中，不共线的向量其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内叫做表示这一平面内所有向量的一组所有向量的一组 不共线不共线有且只有有且只有基底基底1e12e2基础知识基础知识2平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x轴

2、，轴，y轴方向轴方向相同的两个单位向量相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一作为基底对于平面内的一个向量个向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数x，y，使，使ax iyj，把，把有序数对有序数对 叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a ，其，其中中 叫做叫做a在在x轴上的坐标，轴上的坐标， 叫做叫做a在在y轴上的坐标轴上的坐标(x，y)(x，y)xy基础知识基础知识终点终点A(x，y) 二、平面向量坐标运算二、平面向量坐标运算 1向量加法、减法、数乘向量及向量的模向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab ，ab ，a (x1x2，

3、y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)基础知识基础知识 2向量坐标的求法向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标量的坐标 (2)设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 ，| | . AB AB (x2x1，y2y1)基础知识基础知识三、向量平行的坐标表示三、向量平行的坐标表示 成比例成比例成比例成比例基础知识基础知识答案：答案： AA(4,6)B(4，6)C(2，2) D(2,2)典型例题典型例题2已知向量已知向量a(2,1)，b(x，2)，若，若ab，则，则ab等等于于 ()A(2，1) B(2,1)C(3

4、，1) D(3,1)解析：由解析：由ab可得可得2(2)1x0，故，故x4，所以所以ab(2，1)答案：答案： A典型例题典型例题答案：答案： A典型例题典型例题典型例题典型例题典型例题典型例题1.基底的不唯一性基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面都可被这个平面的一组基底的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的示是唯一的2向量坐标与点的坐标的区别向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与

5、向量坐标的不同，尽管在形式上要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息的信息也有大小的信息温馨提醒温馨提醒考点透视考点透视 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算解题反思解题反

6、思实战演练实战演练实战演练实战演练答案：答案：(1)A(2)B求求3ab3c；求满足求满足ambnc的实数的实数m，n.考点透视考点透视答案答案(1)D拓展探究拓展探究1向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程同此时注意方程(组组)思想的应用思想的应用注意注意向量的坐标与点的坐标不同：向量平移向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标后，其起点

7、和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变不变解题反思解题反思实战演练实战演练 例例3(2011广东高考广东高考)已知向量已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若若为实数，为实数，(ab)c则则 ()答案答案B考点透视考点透视 在本例条件下，问是否存在非零常数在本例条件下，问是否存在非零常数，使，使ab和和ac平行？若平行是同向还是反向？平行？若平行是同向还是反向？ 解：解：ab(1，2)，ac(13，24)， 若若(ab)(ac)，(1)(24)2(13)0. 1.ab(2,2)与与ac(2，2)反向反向 即存在即存在1使使ab与与ac平行且反向平行且反向拓展探究拓展探究ab的充要条件有两种表达方式的充要条件有两种表达方式(1)ab(b0)ab(R)；(2)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则abx1y2x2y10.两种充要条件的表达形式不同第两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关种是用线性关系的形式表示的，