第14章 统计物理学基础

1、3/22/202213/22/202223/22/2022314-1 理想气体压强和温度的统计意义理想气体压强和温度的统计意义 14-2 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能 14-3 粒子的经典统计分布粒子的经典统计分布14-4 气体分子的碰撞及其迁移现象气体分子的碰撞及其迁移现象14-5 粒子的统计分布粒子的统计分布 414-1理想气体压强和温度理想气体压强和温度的统计意义的统计意义 51.系统的含义及其状态参量系统的含义及其状态参量 一、系统的状态及其描述在热学中，我们所研究的对象是由大量的微观在热学中，我们所研究的对象是由大量的微观粒子所组成的物系，这个物系称为粒子所

2、组成的物系，这个物系称为热力学系统热力学系统，简，简称称系统系统。系统以外的物体称为。系统以外的物体称为外界外界。1)系统系统6TVp,压强压强 p： 力学力学描述描述 单位单位: 2mN 1Pa 1Pa 1001. 1atm 15标准大气压标准大气压:体积体积V : 几何几何描述描述l 10m 133单位单位: 温度温度T: 热学热学描述描述tT273单位单位: K ( (开尔文开尔文) ).2)状态参量状态参量73)平衡态平衡态一定量的气体，一定量的气体，在不受外界的影响下，经过一在不受外界的影响下，经过一定的时间，系统达到一个定的时间，系统达到一个稳定的宏观性质稳定的宏观性质不随时间不随

3、时间变化的状态称为平衡态变化的状态称为平衡态. . 气体在平衡态下有确定的温度，压强，体积，在气体在平衡态下有确定的温度，压强，体积，在PV图中，一个点就表示气体的一个平衡态。图中，一个点就表示气体的一个平衡态。TVp,TVp,真真 空空 膨膨 胀胀pVo),(TVp),(TVp8 宏观宏观量量: 表示大量分子集体特征的物理量表示大量分子集体特征的物理量(可可直接测量直接测量), 如如 p，V，T 等等. 微观微观量量: 描述个别分子运动状态的物理量描述个别分子运动状态的物理量(不不可直接测量可直接测量)，如分子的，如分子的m ， 等等.v宏观宏观量量微观微观量量统计平均统计平均2 .宏观量与

4、微观量宏观量与微观量 9理想气体物态方程理想气体物态方程 (1)mpVRTM(2) nKT单位体积的分子数其中VNn 称玻尔兹曼常数称玻尔兹曼常数pRTmVNNmo1231038. 1KJNRKomRTMV11KmolJ 31.8R摩尔气体常量摩尔气体常量质量质量m摩尔质量摩尔质量M普适气体普适气体恒量恒量R101 1）分子可视为质点；分子可视为质点；2 2）除碰撞瞬间除碰撞瞬间, , 分子间无相互作用力；分子间无相互作用力；1. 理想气体分子模型理想气体分子模型3 3）弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；理想气体可看成大量自由地、无规则运动着理想气体可看成大量

5、自由地、无规则运动着的弹性球分子的集合。的弹性球分子的集合。二、理想气体分子模型和统计假设112.统计假设统计假设1) 1) 分子按位置的分布是均匀的分子按位置的分布是均匀的，即每个分子在容，即每个分子在容器内空间任何一点出现的概率是一样的。器内空间任何一点出现的概率是一样的。 0zyxvvv各方向运动概率均等各方向运动概率均等222231vvvvzyx 各方向运动各方向运动概概率均等率均等2)2)分子速度按方向的分布是均匀的，分子速度按方向的分布是均匀的，即每个分子向即每个分子向各个方向运动的机会各个方向运动的机会( (或概率或概率) )是均等的，因此速度是均等的，因此速度的每个分量的平均值

6、应相等，即的每个分量的平均值应相等，即 ddNNnVV12密集雨点对雨密集雨点对雨伞的冲击力伞的冲击力1.理想气体压强公式理想气体压强公式大量气体分子对器壁持大量气体分子对器壁持续不断的碰撞产生压力续不断的碰撞产生压力 类似气体分子气体分子器器壁壁三、理想气体的压强1. 一个分子碰撞器壁给器壁的冲量；2. 所有分子碰撞给器壁的总冲量；3. 总冲量除以时间、面积即得压强。压强公式推导的步骤：13oyzxyzx1) 一个分子与一个分子与 A 1 碰撞时动量变碰撞时动量变化及施于化及施于 A1 的冲量的冲量2.统计解释统计解释长方体容器内有长方体容器内有 N 个同类气体分子个同类气体分子,每个分子质

7、量每个分子质量 m。由统计假设，各器面压强相等。由统计假设，各器面压强相等。考察考察 A 1 面面ivi速速度度分分子子2222iziyixivvvv 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 , 动能不动能不变，故速度大小不变变，故速度大小不变 ：ixixiziyvvvv 变变为为不不变变，、与与 A1 碰撞一次，动量变化为碰撞一次，动量变化为()2ixixixm vm vm v xvmxvm-2Av1A14xvmxvm-2Avoyzxyzx1A 一个分子一个分子与与A1 碰撞一次，动量变化为碰撞一次，动量变化为()2ixixixmvmvmv 等于等于 A 1 施于分子的冲量施于分子的冲量分子施于分子施于

8、A1 冲量冲量2ixm v ixivlt/21 所所用用时时间间t 时间内碰撞次数时间内碰撞次数12/ltvttixi t 时间内分子施于时间内分子施于 A1 的冲量为的冲量为21122ixixixvtmtm vvll分子从分子从A1A2A115t 时间内分子施于时间内分子施于 A1 的冲量为的冲量为21122ixixixvtmtm vvll2 ) 全部气体分子与全部气体分子与 A1碰撞时施于碰撞时施于A1的总冲量的总冲量3）求压强）求压强tFI 221111NNixixiimtmtIvvll212m v为气体分子平均动能平均值SFP tllI 32211 2 3Niximvl l l21 2

9、 3ixvNml l lN22xxNm vnm vV21233nm vn1623pn 统计关系式统计关系式压强的物理压强的物理意义意义宏观可测量量宏观可测量量微观量的统计平均值微观量的统计平均值思考思考 ： 为何在推导气体压强公式时不考虑分为何在推导气体压强公式时不考虑分子间的相互碰撞子间的相互碰撞 ？17四、温度的统计意义mPVRTMnP32P = nKT将将 式比较式比较气体温度的本质：气体的温度是气体分子气体温度的本质：气体的温度是气体分子平均平动功能的量度。含有统计的意义。平均平动功能的量度。含有统计的意义。nkTnP3221322m vkT方均根速率方均根速率21322m vkT23

10、3kTRTvmM 18 14-2 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能19一、自由度确定物体空间位置所需要的独立坐标数目确定物体空间位置所需要的独立坐标数目刚性分子刚性分子：分子内原子间距离保持不变的分子：分子内原子间距离保持不变的分子He2OOH23NH20单原子分子单原子分子 ： i = 3 (平动自由度平动自由度)xzy),(zyxC单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子 ： i = 3（平动）（平动）+ 2（转动）（转动）= 5 xzy),(zyxC双原子分子双原子分子三原子及多原子分子三原子及多原子分子: i = 3(平动平动)+ 3（转动）（转动）= 6刚性分子的自

11、由度刚性分子的自由度 ：21213()22tm vkT平均平动动能)(312222统统计计假假设设vvvvzyx 22211122212xyzm vm vm vkT推广到转动和振动推广到转动和振动，则有，则有 在温度为在温度为 T 的平衡态下，物质（气、固、液）分子的平衡态下，物质（气、固、液）分子的每一个自由度的平均动能都是的每一个自由度的平均动能都是 k T / 2 能量均分定理（统计规律）能量均分定理（统计规律）二、能量均分定理22简谐振动一周期内的平均动能等于平均势能简谐振动一周期内的平均动能等于平均势能 。 对于一个振动自由度，分子平均动能和平均势能各为对于一个振动自由度，分子平均动

12、能和平均势能各为 k T / 2 。分子平均总能量分子平均总能量kTikTsrt2221 ）（ 平均振动势能平均振动势能 若气体分子平动自由度为若气体分子平动自由度为 t ，转动自由度为，转动自由度为 r ，振动自由，振动自由度为度为 s，则，则分子平均总动能分子平均总动能kTsrt）（ 21 23内能内能动能动能势能势能理想气体内能理想气体内能动能（平动、转动、振动）动能（平动、转动、振动）振动势能振动势能2iNkT2i mRTM2ipV理想气体内能是温度的单值函数：理想气体内能是温度的单值函数：E = E（T）。）。实际气体内能是状态的单值函数：实际气体内能是状态的单值函数：E = E（T

13、，V）。）。三、理想气体的内能NE 24例例14-3 求求 1 mol He 、N2、NH4 气体在气体在T=300K时的内时的内能之和。能之和。 解：解：He 单原子分子，单原子分子， i = 3 2HeiERT38.31 300233.74 10 J双原子分子，双原子分子，i = 5252OERT36.2310 J多原子分子，多原子分子，i = 6262COERT37.4810 JN2NH4把把He 、N2、NH4 都看作理想气体都看作理想气体2514-3 粒子的经典统计分布粒子的经典统计分布26一、测定气体分子速率分布的实验OOT2SRABC1S3SGAB 分子束中分子束中各个分子的速率

14、不同各个分子的速率不同，因而打在，因而打在玻璃板玻璃板G上的位置上的位置也不同，速率高的分子打在也不同，速率高的分子打在A端端，速率低的打在，速率低的打在B端端。由于各种。由于各种速率的分子数不一样，所以，在玻璃板上各速率区间分子数的速率的分子数不一样，所以，在玻璃板上各速率区间分子数的分布情况如右图。分布情况如右图。 27设设 ：气体总分子数：气体总分子数：N速率分布在速率分布在 v v + dv 区间内的分子数：区间内的分子数：dN定义：定义： 在速率在速率 v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比百分比 为为 速率分布函数速率分布函数Ndvd

15、vvf )( v1 v2 内分子数占总分子数的百分比内分子数占总分子数的百分比dvvfNNvv 21)(2. 归一化条件归一化条件dvvfNdN)( dNN 0)(dvvfN0()1fv d v1. f（v）二、速率分布函数281. 定律内容定律内容 在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时 , 分布在任一速率区间分布在任一速率区间 v v + dv 内的分子数为内的分子数为 232224()2m vkTmdNNev dvkTN：气体分子总数：气体分子总数T：气体热力学温度：气体热力学温度2. 速率分布函数速率分布函数223224()2m v

16、kTmevkTNdvdNVf )(m :每个分子质量每个分子质量三、麦克斯韦速率分布律2923222( )4()2m vkTmf vevkT0v0)(vf v0)(vf2220m vkTevov)(vfPv1v2vS3. 速率分布曲线及其特征速率分布曲线及其特征30 与与f（v）的极大值相对应的）的极大值相对应的速率速率 最概然速率最概然速率 。 物理意义：物理意义： 把气体分子速率分成许多相等的小区间，则气体在一定把气体分子速率分成许多相等的小区间，则气体在一定温度下分布在温度下分布在 v p 所在区间内的相对分子数最多。所在区间内的相对分子数最多。 v p 的大小的大小（求极值）（求极值）

17、2PkTvm2RTM1.41RTM223222224 ()2022m vm vkTkTdfmm vevevdvkTkTov)(vfPvPv1. 最概然速率最概然速率四、3种特征速率31v大量气体分子速率的算术平均值大量气体分子速率的算术平均值平均速率平均速率 NiiNvv1应用速率分布函数计算应用速率分布函数计算dvvNfdN)( d N 个分子速率的总和为个分子速率的总和为dvvNvfvdN)( Nvdvv 0)(dvvvf2322304 ()2mvkTmev dvkT322124()()22mkTkTm8kTvm8RTM1.60RTM2. 平均速率平均速率32大量气体分子速率平方平均值的平

18、方根大量气体分子速率平方平均值的平方根 方均根速率方均根速率 。 022)(dvvfvv3 k Tm事实上事实上：23122tkTm v23kTvm23kTvm3RTM1.73RTM2v3. 方均根速率方均根速率33例例 14-5 求：求：(1)在标准状态下，氮分子的三种速率；在标准状态下，氮分子的三种速率；(2)当分子以最概然速率运动时的平均平动动能当分子以最概然速率运动时的平均平动动能(T=273.15 K, ，），）11R8.31J Kmol21M2.8 10 kg mol解解 ： (1) 2222 8.31 273.154.03 102.8 10PRTvM21288 8.31 273.

19、154.54 102.8 10RTvm sM221233 8.31 273.154.93 102.8 10RTvm sM(2) 22222212312.8 104.027 103.77 10222 6.023 10kPPAMEmvvN34五、玻尔兹曼分布律分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分布律中的指数项应以总能量分布律中的指数项应以总能量 代替动能代替动能 ，这样在保守力场，这样在保守力场中分子的空间分布也不均匀。中分子的空间分布也不均匀。pkEEE221mvEk 玻尔兹曼计算得到系统在某一微小区域玻尔兹曼计算得到系统在某一微小区域 x-x+dx，y-y+dy，

20、z-z+dz 及及 vx-vx+dvx， vy-vy+dvy， vz-vz+dvz 的分子的分子数为数为dN玻尔兹曼玻尔兹曼EkTxyzdNCedv dv dv dxdydz35C为比例常数，与速率和位置无关。令为比例常数，与速率和位置无关。令，可得经典粒子按能量而分布的函数。，可得经典粒子按能量而分布的函数。1CA 1EEkTkTf ECeeA麦克斯韦麦克斯韦-玻耳兹曼分布，简称玻耳兹曼分布，简称MB分布。分布。3614-4 气体分子的碰撞气体分子的碰撞及其迁移现象及其迁移现象37一、气体分子碰撞为此，克劳修斯为此，克劳修斯提出了提出了分子碰撞次数分子碰撞次数与与自由程自由程的的概念。概念。

21、molMRT60. 1氮气分子在氮气分子在270C时的平均速率为时的平均速率为476m.s-1.矛盾矛盾气体分子热运动平均速率高，气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过程进行得相当慢。气体分子气体分子平均速率平均速率38设一个分子以平均速度运动，其余分子不动。设一个分子以平均速度运动，其余分子不动。1.平均碰撞次数平均碰撞次数39设一个分子以平均速度运动，其余分子不动。设一个分子以平均速度运动，其余分子不动。1.平均碰撞次数平均碰撞次数分子的分子的碰撞截面碰撞截面 = d 2 t内，内，A走过的路程走过的路程tv tv 圆柱体的体积圆柱体的体积 t时间内与时间内与A

22、相碰的分子数相碰的分子数vnttvnZ nvdnvZ222 平均碰撞次数平均碰撞次数考虑其它分子的运动考虑其它分子的运动402.平均自由程平均自由程ndZv221pdkT22 nkTp 在标态下，多数气体平均自由程在标态下，多数气体平均自由程 10-8m，只有氢气约为，只有氢气约为10-7m。一般一般d10-10m，故，故 d。可求得平均碰撞次数。可求得平均碰撞次数109/秒。秒。平均自由程与平均平均自由程与平均速率无关，与分子有效直速率无关，与分子有效直径及径及分子数密度有关分子数密度有关。p 1.013105 1.33102 1.33 1.3310-2 1.3310-4 610-8 510

23、-5 510-3 0.5 50 41热传导现象热传导现象由于气体内部由于气体内部温度温度不同而产生的能不同而产生的能量的迁移现象量的迁移现象扩散现象扩散现象 由于气体内部由于气体内部分子数密度分子数密度不同而产生不同而产生的质量的迁移现象的质量的迁移现象粘滞现象粘滞现象由于气体内部各气层由于气体内部各气层流速流速不同而产生不同而产生的动量的迁移现象的动量的迁移现象二、气体的迁移现象气体内部因密度、温度、流速气体内部因密度、温度、流速不均匀不均匀而引而引起的由非平衡态向平衡态转变的过程，称为气起的由非平衡态向平衡态转变的过程，称为气体内的迁移现象或输运现象。体内的迁移现象或输运现象。 422）宏观规律）宏观规律在在dt内通过内通过dS面传递的这种面传递的这种组分的质量为组分的质量为1）基本概念：）基本概念：两种物质