二重积分的计算方法(一)

1、1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算(x, y)1(x) x 2(x), a x b ,对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系下，被积分函数f（x,y）在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1）,即D其中1（x）,2（x）在a,b上连续,则有f(x,y)dbdxa2(x)(X、f(x,y)dy;1(x)(1)若D为y型区域（如图2）,即D(x,y)i(y)y2(y),cyd1（y）,2（y）在c,d上连续,则有x)图i甲if0af(x,y)dDd2(y)cdy1(y)f(x,y)dxi(2)计算gxdy,其中D是由x2,Dxx

2、,与xy1所围成.分析积分区域如图3所示，为x型区域D=1x,y1x2-yx.确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解.解 积分区域为x型区域D=图3dc1x,y1x2,-x2y,dxdyDx2:L1 3x23x5dx12x42764是简单的x型或y 是可以将复杂的积f(x, y)d(3)D3y 3所围成的区域.1.2 积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这分区域划分为若干x型或y型区域，然后利用公式f(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D2进行计算，例2计算二重积分d,其中D为直线

3、y2x,x2y与xD分析：积分区域D如图5所示，区域D既不y型区域，但是将可D划分为D1cxxcx,y0x1-y2x27均为x型区D2x,y1x3,2yy3x（3）和（1）可进行计算.解D划分为D1_x_x,y0x1-y2x,域，进而通过公式是x型区域也不是D2x,y1x3,2yy3xd d dDD1D21 2x23 xdx x dydx x dy1-22112x dx02xx dx23x1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然

4、后进行计算.例3计算二重积分yyx2|dxdy,其中D为区D分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发22xy20yx一划分为Diy,D2两部分后，1x11x1分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得.解区域D如图6可分为D1uD2,其中域x1,0y2.接求得，以至于不能现当我们把积分区域被积函数在每一个积由公式（3）则2利用变量变换法计算x2y2D1,D21x10yx21x1yyx2dxdyx2dxdyx7ydxdyDD1D2121x2-51dxx2,yXdy1dx0Xydy-3定理1设f（x,y）在有界区域D上可积，变换T:xxu,v,yy

5、u,v,将u,v平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地映成x,y平面上的区域D,函数xu,v,yu,v在内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式Ju,v匕0,u,v.则u,vf(x,y)dfxu,v,yu,vJu,vdudv(4)D(4)式叫做二重积分的变量变换公式，2.1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算.xy例4求exydxdy,其中D是由x0,y0,xy1所围曲线（图7）D分析由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换

6、T:uxy,vxy.在变换T作用下区域D的原像如图8所示，根据二重积分的变量变换公式,积分计算就简单了.所以解做变换T:1212u,vexydxdyD-1evdudv2u1vduevdu0v1vee1dv02.2根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有ufx,y,vgx,y且mun,v，则把xy平面上的积分区域D对应到uv平面上简单的矩形区域，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算.例5求抛物线y2mx,y2nx和直线yx,yx所围区域D的面积D.分析D的面积Ddxdy.实际是计算二重积分Ddxdy,其被积函数很简单,但是积分区域2

7、却比较复杂，观察积分区域不难发现m,nx解D的面积DdxdyD作变换所以ux-T:v,m,nvyuDdxdy=dudvdvnudu=m3X22例6求3-dxdy.D:xy1,xy3,yx,y3x所围区域.dyxy2T: u xy, v ,它把xy平面上的区域D对 x分析积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换应到uv平面上的矩形区域解令xy2yx在变换T作用下，区域D的原像13vu,v1u3,1v3,Ju,v所以3x23dyxydxdy1133du21Ldudvdv一2一2ln2.vuv3v11vvuv32.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有f x2 y2y形式或积分区域的边界曲线用极

8、坐标方程来表示比较x方便，如圆形与圆形区域的一部分,可考虑用极坐标变换,02xrcos-T:,0yrsin这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的,但可以证明公式(1)仍然成立)，其雅可比行列式为r.(1)如果原点0D,且xy平面上射线常数与积分区域D的边界至多交于两点，则必可表示为r1则有fx,ydxdyDrifrcos,rsinrdr(5)那么则有那么类似地，若xy平面上的圆r常数与积分区域D的边界至多交于两点，则必可表小为(2)(3)分析如果原点如果原点计算Ifx,ydxdyD2rdrr1rfrcos,rsindr(6)O为积分区域D的内点,D

9、的边界的极坐标方程为rrfx,ydxdy0Dfrcos,rsinrdrO在积分区域D的边界上，则fx,ydxdydDfrcos,rsinrdr(8)J,其中D为圆域:xy观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为f(x2y2),且原点为D的内点，故可采用极坐xrcos0r1标变换T:x，0,可以达到简化被积函数的目的.yrsin,02解作变换则有例8计算二重积分xT:yrcosrsin,0,011rdr0,1r2丁r2：d:d2ydxdy,其中D是由直线x2,y0,y2,以与曲线D的平面区域.而22,2yy2所围成积分区域D与D1据极坐标变换简化区域，口为半圆区故原式DiydxdyDDidxdy0

10、4,Di:0ydxdy2sin2sinrsinrdr08sin4d3212cos221cos222.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换:arcos,0brsin,0并且雅可比行列式Ju,vabr同样有fx,ydxdyfarcos,brsinabrdrdD(9)22例9计算Icjl1T看dxdy,其中Dx,y0ybj1,0分析根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换arcos,0r1,可以达到简化积分区域和被积函数的目的.brsin,0一2作广义极坐标变换xarcos,0T:ybrsin,0Ju,vabr由（9）22Dc13y2dxdy

11、02doc-1r2abrdrabco2dr.1r2drabc063某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分Di和D2,那么有如果fx,y在Di上各点处的值与其在D2上各对称点处的值互为相反数，那么fx,yd0D如果fx,y在D1上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，那么fx,yd2fx,yd2fx,ydD2D1例10计算 x2ydxdy,其中D为双曲线x2 y2 D分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区f x,y x2y为x的偶函数，另一方面D关于y轴 D1在D2上各点处的值与其在D2上各

12、对称点处的 为累次积分计算.解 积分区域如图11所示：D1为D在第一象1与 y 0, y1所围成区域.O域，观察到对称，且f x, y在 值恒相等，然后再化限内的部分，D关于y轴对称，又fx,yx2y为x的偶函数，由对称性有2211xydxdy2xydxdyDDi宜选择先对x后对y的积分次序i2dyx2ydx故原式2211xydxdy2xydxdyDDi3y2 2dyZi 153.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论.被积函数带绝

13、对值时，首先去掉绝对信号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号.例ii求x2y24dxdy,其中D为x2y29围成的区域.D分析被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得x2y240及x2y240的两部分，在两部分上分别积分后，再相加.解为去绝对信号，将D分成若干个子区域，即22Di:x2y24D2：4xy9在Di内x2y244x2y2在D2内x2y24x2y24故原式224.xy4dxdyD/22,22,4xydxdyxy4dxdy,DiD2利用极坐标计算有,222,2,24xydxdy0d04rrdr84 rdr252Di22xy4dxdyD2故原式825也例12求 f x, y