杨辉三角与二次项系数的性质（课堂PPT）

1、11.3.2 1.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二次项系数的性质与二次项系数的性质 2一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项定理二项定理:新课引入新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式为特殊值时，二项式系数有什么特点？系数有什么特点？31615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)

2、20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn011()n

3、nnrn rrnnnnnna+bC aC abC abC b4(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？ 3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?5每行两端都是每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个数都等以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(

4、a+b)5(a+b)6+这个表叫做二项式系数这个表叫做二项式系数表表, ,也称也称“杨辉三角杨辉三角”6二项式系数的函数观点二项式系数的函数观点 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0当当n=6时，其图象是时，其图象是7个孤立点个孤立点定义域定义域0,1,2, ,n rnCrf )(7二项式系数的性质二项式系数的性质 （1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个

5、二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴：图象的对称轴：2nr (a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)682 2、若（、若（a+ba+b）n n的展开式中，第三项的二的展开式中，第三项的二项式系数与项式系数与 第五项的第五项的二项式系数相等，二项式系数相等，1 1、在、在(a(ab)b)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是( )( )A A 第项第项 B B 第项第项 C C 第项第项 D D 第项第项则则n=_n=_B B6 6请问请问: :一般地

6、一般地, ,当当r r满足什么范围时，后一项满足什么范围时，后一项C Cn nk k比前一项比前一项C Cn nk-1k-1要大要大? ? 分析分析:以上问题即以上问题即C Cn nk k C Cn nk-1k-1时，求时，求k k的范围的范围? ?知识对接测查知识对接测查19（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 112111()()()CC()!kknnn nnnknkkkk 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn 即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它

7、的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。21nk 可知，当可知，当 时，时，二项式系数的性质二项式系数的性质 10 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 12Cnn 12Cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。先增后减，先增后减，中间项取得最大值中间项取得最大值二项式系数的性质二项式系数的性质 （2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 111.在在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的

8、项是的展开式中，二项式系数最大的项是 ； 二项式系数最大的项是第二项式系数最大的项是第 项项.在在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ， .611C511C 在二项式在二项式(x-1)11的展开式中的展开式中, 求系数最小的项的系数。求系数最小的项的系数。4 46 62 2C C5 51 11 1最大的系数呢？最大的系数呢？知识对接测查知识对接测查2611462C 22246C xx312二项式系数的性质二项式系数的性质 （3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就

9、是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是这是组合总数公式组合总数公式 赋值法赋值法13例例1 1、证明：在证明：在( (ab)n展开式中展开式中, ,奇数项的二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. . 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C即证：即证：n-1n-1证明证明令令a=1,=1,b=-1=-1得得0) 11 () 1() 1(2n nn nr rn

10、n2 2n n1 1n n0 0n nC C. . . .C C. . . .C CC CC Cn 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C1222 nn3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C特例法特例法赋值法赋值法011()CCCCnnnrn rrnnnnnna+baababb14121010101013579111111111111111._;_ .CCCCCCCCC 1021024 1021 1023 知识对接测查知识对接测查31511212322nnnnnnCCCnCn证证例例 求求分析分析: :本题的左边是一个数列但不

11、能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和. .因为因为 由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,01131023):(1nnnnnnnnnSCCCCnCnC 设设解解nnnnnnnnCCCnCnnCS0) 2() 1(1210两式相加两式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS倒序相加法倒序相加法16 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （3 3）当）当 n n 为偶数时，为偶数时， （4 4）mnmnmnCCC11为最大值

12、2nnC 当当 n n 为奇数时为奇数时 ，为最大值2121nnnnCC11 - r2311r22010222nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCC17nxx)2(34项的二项式系数是倒数第项的二项式系数是倒数第2项的二项式系项的二项式系数的数的7倍，求展开式中倍，求展开式中x的一次项的一次项例例2 已知已知 的展开式中，第的展开式中，第18例例3、若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项； （2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项； （3）展开式中系数最大的项。）展开式中系数最大的项。4

13、2 xn1( x+)解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有1r112rrrrTTTT由此确定由此确定r r的取值的取值19变式引申：变式引申： 1.1.求在求在 的展开式中系数的展开式中系数绝对值绝对值最大的项最大的项 20)23 (yx解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为8r81

14、2812820923yxCT20变式引申：变式引申：2、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）A.第第4项项 B.第第4、5项项 C.第第5项项 D.第第3、4项项3、若、若 展开式中的第展开式中的第6项的系数最大，则不项的系数最大，则不含含x的项等于的项等于( )A.210 B.120 C.461 D.4167()xy321()nxx21 418 444454 118313060TTCxxx 43110,nxx 3 3. .已已知知的的展展开开式式中中只只有有第第项项系系数数最最大大求求第第五五项项为偶数依题意 n,110182,.nn 且且解22(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值。最值。 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性小结小结2324求展开式中系数最大求展开式中系数最大( (小小) )的项的项206.(23),x例 在的展开式中 求其项的最大系数与最大二项式系数的比解解: :设设 项是系数最大的项项