大学物理 吴百诗主编10-1

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 简谐振动：简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位物体运动时，离开平衡位置的位移移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。一个不发生形变的物体系统。弹簧振子：弹簧振子：xOFFxOxO上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出回复力：回复力：作简谐运动的质点所受的

2、沿位移方向的合作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合 外力外力, , 该力与位移成正比且反向。该力与位移成正比且反向。 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征: : 据牛顿第二定律，得据牛顿第二定律，得运动学特征运动学特征位移位移 之解可写为之解可写为xkxF, xmkmFa令令2kmxtxa222dd或或0i()etxA0cos()xAt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征: :

3、 物体的加速度与位移成正比而方向相反，物物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。体的位移按余弦规律变化。速度速度加速度加速度)sin(dd0tAtxv)cos(dd0222tAtxa上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系: :42xtvtta上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 常量常量 和和 的确定的确定A0根据初始条件：根据初始条件： 时，时， , , ，得得0 x=x0v v0t0000sin,cos

4、AvAx2020)(vxA000arctanvx存在两个值，可根据存在两个值，可根据0在在到到之间，之间，通常通常00sinvA进行取舍。进行取舍。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 1.1.振幅振幅: : 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。由初始条件确定由初始条件确定 2 2 周期和频率周期和频率 周期：周期：物体作一次完全物体作一次完全振振动所经历的时间。动所经历的时间。频率：频率：单位时间内物体所作完全单位时间内物体所作完全振振动的次数。动的次数。2020)(vxA00cos()cos ()xAtATt2T1

5、2T上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出角频率角频率: : 物体在物体在 秒内所作的完全秒内所作的完全振振动的次数。动的次数。2利用上述关系式，得谐振动表达式：利用上述关系式，得谐振动表达式：22T对于弹簧振子，因有对于弹簧振子，因有mk，得，得2,2mkTkm02cosxAtT0cos(2)xAt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出3.3.相位和初相相位和初相相位相位 ：决定简谐运动状态的物理量。决定简谐运动状态的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 时的相位。时的相位。0 相位概念可用于比较两个谐振动之间在

6、振动相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为设有两个同频率的谐振动，表达式分别为)cos(1011tAx)cos(2022tAx上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出A/2xto二者的二者的相位差相位差为为20102010()()tt2010t 2010t 20cosA10cosA上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出xto b. b.当当 时时, ,称两个振动为称两个振动为反相反相；(21)kxto a. a.当当 时时, ,称两个振动为称两个振动为同相

7、同相；2 k讨论：讨论：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 d. d.当当 时时, ,称第二个振称第二个振动动落后落后第一个振第一个振动动 。0 xtoxto c. c.当当 时时, ,称第二个振动称第二个振动超前超前第一个振动第一个振动 ；0上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 相位可以用来比较不同物理量变化的步调相位可以用来比较不同物理量变化的步调。对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在: 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比

8、位移的相位超前位比位移的相位超前 。 2)cos(0tAxm0m0sin()cos( 2)vvtvt m0m0cos()cos()aatat 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 旋转矢量旋转矢量: :一长度等于振幅一长度等于振幅A的矢量的矢量 在纸平面在纸平面A 可直观地领会简谐振可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的动表达式中各个物理量的意义。意义。 内绕内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页

9、 下页下页 返回返回 退出退出振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影( (P点点) )的运动的运动规律：规律： 的长度的长度Ar 旋转的角度速旋转的角度速Ar旋转的方向旋转的方向Ar与参考方向与参考方向x的夹角的夹角ArxOM P xA0t振幅振幅A振动圆频率振动圆频率0cos()xAt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出速度、加速度的旋转矢量表示法：速度、加速度的旋转矢量表示法：M 点点: :M0vAOx0vxOA 沿沿x 轴的投轴的投影为简谐运动的速度、影为简谐运动的速度、加速度表达式。加速度表达式。v,avAxxa

10、a0txvmvA2maA上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出两个同频率的简谐运动：两个同频率的简谐运动：相位之差为相位之差为采用旋转矢量直观表示为采用旋转矢量直观表示为xO1A1Df22A)cos(111tAx)cos(222tAx.)()(1212tt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例题题10-110-1 一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12 m, ,周期周期T=2 s。当。当t=0时时, ,物体的位移物体的位移x=0.06 m, ,且向且向x轴正轴正向运动。求向运动。求:(1

11、):(1)简谐振动表达式简谐振动表达式;(2);(2)t =T/4时物体的时物体的位置、速度和加速度位置、速度和加速度;(3);(3)物体从物体从x =- -0.06 m向向x轴负方轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解解: : (1)(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振动方程写为谐振动方程写为初始条件初始条件：t = 0 s, , x0=0.06 m,可得可得)cos(0tAx其中其中A=0.12 m, ,T=2 s, , 12 sT00.12cos0.0603 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回

12、退出退出0 12cos(t 3) mx.-=据初始条件据初始条件 xO0f若用旋转矢量法求解若用旋转矢量法求解0，根据初始条件可画出振幅的初始位置，如下图所示。振幅的初始位置，如下图所示。A00sin0vA 得0 3 从而可得从而可得0 3 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(2) (2) 由由(1)(1)求得的简谐振动表达式得求得的简谐振动表达式得在在t=T/4=0.5 s时，从前面所列的表达式可得时，从前面所列的表达式可得1d0.12sin( 3) m sdxvtt 22d0.12 cos( 3) m sdvatt 110.12 sin( 0.5)

13、m s0.18m s3v0.12cos( 0.5)m0.104m3x 2220.12 cos( 0.5)m s1.03m s3a上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出( (3) 3) 当当x=- -0.06 m时，该时刻设为时，该时刻设为t1 1, ,得得因该时刻速度为负，应舍去因该时刻速度为负，应舍去 ，43s11t设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到平衡位置，相位是时刻第一次回到平衡位置，相位是32s83. 12t11cos()32t 124,333t 1233t 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出因此从因此

14、从x=- -0.06 m处第一次回到平衡位置的时间：处第一次回到平衡位置的时间：另解：从另解：从t1 1时刻到时刻到t2 2时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为210.83sttt 3252360.83st 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出1. 1. 单摆单摆一根不会伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个一根不会伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出单摆受力分析如右图所示，单摆受力分析

15、如右图所示，sinmgFCol根据牛顿第二运动定律可得根据牛顿第二运动定律可得5oq很小时（小于很小时（小于），可取），可取22dsindmgmlt222ddgtl 其中其中2gl上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作角谐振动角谐振动，周期，周期的表达式可写为的表达式可写为q转角转角22gTlm0cos(t)=+qqf由初始条件求得。由初始条件求得。角振幅角振幅和初相和初相0m上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 根据上述周期的级数公式，可以将周期计

16、算到根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到所要求的任何精度。所要求的任何精度。当当q不是很小，物体不再作谐振动，而不是很小，物体不再作谐振动，而T单摆周期单摆周期的关系为的关系为m与角振幅与角振幅0T很小时单摆的周期。很小时单摆的周期。m为为224mm022211 31sinsin222 42TT上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出o2. 2. 复摆复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆( (物理摆物理摆) )。 刚体的质心为刚体的质心为C, , 对过对过O 点的转点的转轴的转动惯量为轴的转动惯量为J, , O、C 两点间

17、距两点间距离的距离为离的距离为h。据转动定律，得据转动定律，得gmhC角度较小时角度较小时若若sindd22mghtJmghtJ22dd令令Jmgh20dd222t22JTmgh上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题10-210-2 一质量为一质量为m的平底船，其平均水平截面积为的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。向的振动周期。解：解： 船静止时浮力与重力平衡，船静止时浮力与重力平衡，mghSg OyPPy 船在任一位置时，以水面为坐标原点船在任一位置

18、时，以水面为坐标原点, ,竖竖直向下的坐标轴为直向下的坐标轴为y轴，船的位移用轴，船的位移用y表示。表示。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出船的位移船的位移为为y时船所受合力为时船所受合力为船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为因因得得,mSh()FhySgmgy Sg Sgm22mTgS2hTg上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出动能动能势能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的系统总的机械能：机械能：22220

19、11sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAtKPEEE222220011sin ()cos ()22KPEEEmAtkAt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出简谐振动的机械能守恒。简谐振动的机械能守恒。能量能量平均值平均值上述结果对任一谐振系统均成立。上述结果对任一谐振系统均成立。考虑到考虑到，系统总能量为，系统总能量为2km212EkA，表明，表明222200111sin ()d24KTEmAttkAT22200111cos ()d24PTEkAttkAT2KPEEE上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下

20、页 返回返回 退出退出谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:pEkEEOtOtx221kAE tAxcos上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出步骤：步骤：一阶微分方程，再根据初始条件，即可求出振动一阶微分方程，再根据初始条件，即可求出振动从给定系统的能量关系式出发，得到振动的从给定系统的能量关系式出发，得到振动的方程。方程。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题10-3 在横截面为在横截面为S的的U形管中有适量液体，形管中有适量液体，液体总长度为液体总长度为l，

21、质量为，质量为，密度为，密度为，求液面上下，求液面上下m起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩擦）起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩擦）。解：解：选如图所示坐标系，两液面相齐时的平衡位置选如图所示坐标系，两液面相齐时的平衡位置为势能零点为势能零点。系统的势能为系统的势能为2pEy Sg液体的动能为液体的动能为2k1d2dyEmt由能量守恒得由能量守恒得221d2d常量yEmy Sgt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出对时间求导，并整理可得对时间求导，并整理可得22d20dySgytm液体作简谐振动，其角频率及周期分别为液体作简谐振动，其角频率及周期分别

22、为2 Sgm222mTSg又因为又因为mlS22lTg上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 解：解：设棒长为设棒长为2 2R, , 质量为质量为m，在，在lABOO且不计且不计 例题例题10-10-4 4 一匀质细杆一匀质细杆AB的两端的两端, , 用长度都为用长度都为l棒扭动时棒扭动时, , 其质心沿其质心沿上下运动。上下运动。oo因扭动角度因扭动角度很小，可近似认为细棒很小，可近似认为细棒在水平面内转动。在水平面内转动。 扭动角度为扭动角度为时时,质量的质量的细绳悬挂起来细绳悬挂起来, , 当棒以微小角度绕中心轴当棒以微小角度绕中心轴oo细棒在水平面

23、内转动角度为细棒在水平面内转动角度为，则有则有lRpcEmgh2k1d2dEJt扭动时，求证其运动周期为：扭动时，求证其运动周期为：。23lTg上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 hc是棒的质心相对棒平衡时质心位置的高度是棒的质心相对棒平衡时质心位置的高度, , 有有系统机械能守恒系统机械能守恒将上式两端对时间求导，并利用关系将上式两端对时间求导，并利用关系常量常量221 1d(1 cos )2 3dKPEEmRmgltlRsin0dddddd31222tlRlRmglttmR2223ddlgt223lTgc(1 cos )hl22(2 ) /12/3JmRmRlABOO上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题10-510-5 劲度系数为劲度系数为k、原长为、原长为l、质量为、质量为m的均匀的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为弹簧，一端固定，另一端系一质量为M