常微分方程(王高雄)1

1、常微分方程 Ordinary Differential Equation教材及参考资料 教 材：常微分方程(第三版）， 王高雄等, 高教出版社 参考书目： 1 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 2 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 3 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社 4 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社教学安排 第1周第18周，共72学时 第5周周一(4.6)清明节，第8周周五(5.1)劳动节，第16周周一(6.22)端午节放假，实际授课时66学时） 授课内容：第1章第5章 考试安排：在结课后一周考试 总成绩=平时（20%）+期末（80%），有小论文可

2、以加分，每周五课后按学号尾数单双号交替交作业 答疑地点: 25教15楼 尚月强办公室第一章 绪论常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、航空航天、生命科学、经济领域等都有广泛的应用。随着计算技术和计算机的快速发展，常微分方程已经渗透到自然科学、社会科学、工程技术等学科的任何一个领域，正发挥着越来越大的作用。动力系统 Dynamical system describes the evolution of a state over time /article/History_of_dy

3、namical_systems , Philip Holmes (2007), Scholarpedia, 2(5):1843 Curator: Dr. Eugene M. Izhikevich, Editor-in-Chief of Scholarpedia, the free peer reviewed encyclopedia第一章 绪论 线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组。 这些方程都是要把研究问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式。 在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题 比如：某个物

4、体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道等 研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关，这就是我们要研究的微分方程 基本思想: 把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解微分方程 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解 瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论 法国数学家Poincare及前苏联数学家L

5、yapunov等对现代微分方程理论的建立做出了巨大的贡献 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具1.1 常微分方程模型 RLC电路 数学摆 人口模型 传染病模型 两生物种群生态模型 Lorenz方程RL电路基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零RLC电路数学摆数学摆 数学摆是系于一根长度为数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为的线上而质量为 的质点

6、的质点M. 在重力作用下在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示如图所示.试确定摆的运动方程试确定摆的运动方程. lm解解: Newton第二定律第二定律: .maF 取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角 的正方的正方向向. 则由则由Newton第二定律第二定律, 得到摆的运动方程为得到摆的运动方程为 22sin .dgdtl 附注附注1: 如果研究摆的微小振动如果研究摆的微小振动,即当即当 比较小时比较小时, 可以取可以取 的近似值的近似值 代入上式代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程这样就得到

7、微小振动时摆的运动方程: sin 22.dgdtl 附注附注2: 假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动, 如果阻力如果阻力系数为系数为 则摆的运动方程为则摆的运动方程为:, 22.ddgdtm dtl 附注附注3: 假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作的作用用,则摆的运动方程为则摆的运动方程为:).(122tFmllgdtdmdtd人口模型 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为r人口模型的改进 Verhulst：引入常数Nm（环境

8、最大容纳量），假设：净相对增长率为)(1 (mNtNrlogistic模型传染病模型 假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的健康人数为y(t)，染病人数为x(t) 假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例系数为kSI模型易感染者：Susceptible y(t) 已感染者：Infectivex(t)SIS模型 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被感染，设单位时间治愈率为muSIR模型（R：移出者（Removed） 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出者，而治愈率l为常

9、数两生物种群生态模型 意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型 假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食鱼的总数为y(t) 假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的次数为bxy 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成正比 捕食鱼的自然增长率同它们它们的存在数目y及被被捕食鱼x成正比Volterra被捕食-捕食模型两种群竞争模型相互竞争同一资源：Lorenz方程Lorenz吸引子系统总体稳定性和局部不稳定性: 在吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，一切到达吸引子内的运动都互相排斥蝴蝶效应 一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，

10、可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风对初值的敏感性电影蝴蝶效应 当一个人小时候受到微小的心理刺激，长大后这个刺激会被放大 分形（fractal）一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状。总结 微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合，不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质1.2 基本概念与常微分方程的发展史 1.2.1 常微分方

11、程基本概念定义（微分方程）定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及联系自变量、未知函数及未知函数未知函数导数导数（或微分）的关系式称为微分方程（或微分）的关系式称为微分方程; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程微分方程微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdt

12、xd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程常微分方程常微分方程如 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称为微分方程或方程偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程定义定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的分的阶阶数称为微分方程的阶数数称为微分方程的阶数. . 2 ) 1 (xdxdy是一阶微分方程 0 (2) ydxxdy是二阶微分方程 0 )3(322xdtdxtxdtxd是

13、四阶微分方程 sin35 )4(2244txdtxddtxd微分方程的阶微分方程的阶如:) 1 (0),dxdyy,F(x,nndxydn阶微分方程的一般形式为.,dxdyy,x,0),dxdyy,F(x,是自变量是未知函数而且一定含有的已知函数是这里xydxyddxyddxydnnnnnn 2 ) 1 (xdxdy 是线性微分方程 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd线性和非线性0),dxdyy,F(x,nndxyd如如.,dxdyy阶线性方程则称其为的一次有理式及的左端为ndxydnn如果方程 是非线性微分方程 如如 0 )3(322xdtdxtxdtx

14、dn阶线性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性方程的方程称为非线性方程微分方程的解定义:,),(满足条件如果函数Ixxy;)() 1 (阶的连续导数上有直到在nIxy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxFIxn有对.0),dxdyy,F(x,(x)y上的一个解在为方程则称Idxydnn)(xy称为方程的显示解例.),(0ycosxysinx,y上的一个解在都是微分方程验证y证明:由于对sinx,y xsinycosx,y(,),x 故对有 yyxsin0 xsin.),

15、(0ysinxy上的一个解在是微分方程故y.),(0yxcosy上的一个解在是微分方程同理y显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn隐式解注:显式解与隐式解统称为微分方程的解例如yxdxdy对一阶微分方程有显式解2211.yxyx 和和隐式解:. 122 yx通解与特解定义 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解例如:为任常数2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn阶微分方程通解的一般形式为),

16、(1nccxy.,1为相互独立的任常数其中ncc 注:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例.62y2y3cy2321的通解是微分方程验证yyececexxxxxxecece23212cy证明: 由于,4cy2321 xxxececexxxecece2321 8cy故yy2y2y)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2c

17、c2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86.62y2y3cy2321的通解是微分方程故yyececexxx又3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.62y2y3cy2321的解微分方程是故yyececexxx类似可定义方程的隐式通解 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解隐式通解也称为“通积分” 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解例如.0ycosx

18、ysinx,y的特解都是方程y中分别取可在通解cosxsinxy21cc:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到csinx,y cosx.y 定义定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件求满足定解条件的求解问题称为定解问题 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy时当.1,)1(0)1 (000个常数是给定的这里nyyyxn当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题注1: n阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(010)1()1(

19、0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例（P19）.1)0(, 2)0(,045yecy-4x21的特解并求满足初始条件的通解是方程验证yyyycexyy45y-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21cex)ec (4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442121cccc0.045yecy-4x21的通解是方程故yycex有由初始条件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程组得1, 321cc的特解为满足初始条件故方程1)0(, 2)0(045yyyyy-4xe3yxe积分曲线和方向场 积分曲线一阶微分方程),(dxdyyxf