机械故障诊断学第3章

1、第3章 动态系统特性的时域分析 National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University机械故障诊断学机械故障诊断学l 概述l 随机过程和时间序列l 时间序列的统计分析l 线性时间序列模型及其应用l 工况状态变化趋势性模型分析特征分析的目的： 去伪存真 去粗取精特征分析的手段： 时域 频域及其各种变换域 时频域l 概述National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South Univer

2、sity信号概念及分类信号-可测量、记录、处理的物理量。动态信号-随时间有较大变化的信号。 稳定性信号稳定性信号-可用数学关系式描述的信号，可用数学关系式描述的信号， 非稳定性信号非稳定性信号-随机信号；随机信号；u周期信号周期信号-周期变化的正弦波、方波等信号，周期变化的正弦波、方波等信号，u非周期信号非周期信号-阶跃、脉冲等信号；阶跃、脉冲等信号；|模拟信号模拟信号-连续信号，连续信号，|数字信号数字信号-离散信号。离散信号。National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South Univers

3、ity信号通过传感器转换得到信号通过传感器转换得到1.信号转换：信号转换：不易测量的物理量（力、位移、转角、噪声等）通过传感器转换为可测量的物理量（电压、电流等）。2.传感器传感器 分类分类 按原理按原理-电感、电阻、电容、电涡流、压电、光电感、电阻、电容、电涡流、压电、光 电、热电等；电、热电等；按被测对象分按被测对象分-力、位移、温度、噪声、应变等；力、位移、温度、噪声、应变等；按运动状态分按运动状态分-直线、旋转运动、接触式、非接触式等；直线、旋转运动、接触式、非接触式等；按工作状态分按工作状态分-一般工作环境、特殊工作环境。一般工作环境、特殊工作环境。 技术性能指标技术性能指标 动态范

4、围动态范围-输入与输出显线性关系的测量范围；输入与输出显线性关系的测量范围； 灵敏度灵敏度-输入量与输出量之比；输入量与输出量之比； 动特性动特性-传感器的响应时延、幅频特性、相频特性等；传感器的响应时延、幅频特性、相频特性等； 稳定性稳定性-长期工作的稳定性和可靠性长期工作的稳定性和可靠性信号输出及干扰噪声信号输出及干扰噪声1.信号输出信号输出 被测量被测量-传感器传感器-放大器放大器-长距离电缆长距离电缆-信信号处理设备号处理设备 2.干扰噪声干扰噪声 噪声信号噪声信号-外界干扰产生外界干扰产生-传感器输出的噪声信号、传感器输出的噪声信号、放大器自身产生的噪声信号。放大器自身产生的噪声信号

5、。注：动态信号分析的一个重要内容是动态信号分析的一个重要内容是研究研究这些噪声信号特点，采用各种处理技术这些噪声信号特点，采用各种处理技术排除这些噪声信号。排除这些噪声信号。 随机过程的基本概念：实现、随机过程、随机变量实 现 1实 现 2实 现 4实 现 3时 间 t观测值 x(t )t = kx(k, 1)x(k, 2)x(k, 4)x(k, 3)l 随机过程和时间序列随机过程和时间序列样本空间上的随机变量 随机信号随机信号-具有不重复性、不确定性，通常用概率与统具有不重复性、不确定性，通常用概率与统计方法研究其中是否存在某些重复、确定的成分。计方法研究其中是否存在某些重复、确定的成分。N

6、ational Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University图中：图中：X(t)-表示第表示第i次实验记录。次实验记录。 样本函数样本函数-每条波形曲线；每条波形曲线；样本记录样本记录-有限区间内样本函数的记录结果；有限区间内样本函数的记录结果；随机过程随机过程-样本记录数样本记录数N趋于趋于 时形成了随机过程，即时形成了随机过程，即X（t）=x1(t), x2(t),. xN(t)；随机变量随机变量-随机过程中参数随机过程中参数t=tj时的值时的值Xj(tj),j=1,2,n,对于任

7、意对于任意n时刻，可定义时刻，可定义n个随机变量个随机变量X1(t1), X2(t2),. Xn(tn)，随机过程，随机过程X（t）可以表示为：）可以表示为：X（t）=X1(t1), X2(t2),. Xn(tn)。随机信号场随机信号场-随机信号在空间的不确定性、不可估计性和相同条件下的其它各次信号的不重复性等；随机信号在空间的不确定性、不可估计性和相同条件下的其它各次信号的不重复性等；应用应用-在故障诊断中，可利用某些干扰噪声的统计特性，采用滤波、变换、估值等方法，提取有用信号。在故障诊断中，可利用某些干扰噪声的统计特性，采用滤波、变换、估值等方法，提取有用信号。ttttttX(t)x1(t

8、)x2(t)xi(t)xN(t)t1t2X1(t1)X2(t2)连续变量连续变量离散变量离散变量随机过程随机过程例：相同实验条件下，例：相同实验条件下，N组随机信号的曲线图组随机信号的曲线图National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University信号的时域分析信号的时域分析 时域的定义时域的定义-一个信号或多个信号其取值大小，相互一个信号或多个信号其取值大小，相互关系可定义为很多不同的时间函数或参数，这些时间关系可定义为很多不同的时间函数或参数，这些时间函数或参数的集合称为函数或

9、参数的集合称为时域时域； 随机信号随机信号-本章分析的重点；本章分析的重点； 确定性信号确定性信号-与随机信号中各态历经过程的处理类似；与随机信号中各态历经过程的处理类似； 时域的类别时域的类别-幅值域、时差域、倒频域（在频域中叙幅值域、时差域、倒频域（在频域中叙述）、复时域等；述）、复时域等； 时域的三种信号时域的三种信号-随机、周期和瞬时信号。随机、周期和瞬时信号。National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South UniversityX(t)t0X(t)t0X(t)t0(a)随机信号曲线随

10、机信号曲线(b)周期信号曲线周期信号曲线瞬时信号曲线瞬时信号曲线T 工况监测的实测信号曲线往往是由这三种工况监测的实测信号曲线往往是由这三种信号信号组合组合，信号分析是将这种组合，信号分析是将这种组合分解分解。三种信号曲线三种信号曲线National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University F xP xxt P xx xxp xxt, 随机变量的分布函数 随机变量xt的分布函数：若存在非负函数p(x)，使得x0时：对任意的x(-, + )成立，则称p(x)为随机变量 xt的概率密

11、度函数。 p xx12222expxNt ,2正态分布的概率密度函数：National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University 随机过程的数字特征 随机过程在各时刻对应的随机变量的联合概率密度函数可以完整地描述随机过程的性质。但对于工程领域中的随机过程，其各时刻随机变量的概率密度函数以及过程本身的联合概率密度函数通常难以确定，因此有必要引入随机过程的某些数字特征进行描述。National Laboratory of High Performance Complex Manufac

12、turing，Central-South University00 ttttxtt903060120150时间 t 0.80.60.40.2 -0.2 -0.4 -0.8xtttE xxp x dxttttE xE xxp x dx222q 均值与方差National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University MxE xx p x dxokttkk MxE xE xxp x dxcktttktkk 阶原点矩 k 阶中心矩q 矩函数National Laboratory of Hig

13、h Performance Complex Manufacturing，Central-South University ststssttssttstdxdxxxpxxExxExxExx,),cov( 自相关函数（系数） q 自协方差函数和自相关函数自协方差函数 ststststdxdxxxpxxxxEstr, t sr t sr t t r s s,National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South UniversitynittnniiExxEtt11,cov工程中，通常对随机变量进行零均值处

14、理，此时：),(),cov(strxxstq 高阶自协方差函数和高阶自相关函数nitnnixEttr11,National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University自相关函数应用自相关函数应用例：用噪声诊断机器状态时用噪声诊断机器状态时正常运行状态正常运行状态-机器噪声是大量的、无序的、大小接近相等的随机器噪声是大量的、无序的、大小接近相等的随机冲击结果，有宽而均匀的频谱。机冲击结果，有宽而均匀的频谱。运行不正常状态运行不正常状态-随机噪声中将出现有规则、周期性的脉冲，其随机噪声中

15、将出现有规则、周期性的脉冲，其大小比随机冲击大的多。大小比随机冲击大的多。 例机构中轴承磨损两间隙增大时，轴与轴盖就会有碰击现象。用例机构中轴承磨损两间隙增大时，轴与轴盖就会有碰击现象。用噪声诊断机器状态时，首先要在噪声中查出隐藏的周期分量，但噪声诊断机器状态时，首先要在噪声中查出隐藏的周期分量，但在事故初期，周期信号不明显，直观难以发现时，采用自相关分在事故初期，周期信号不明显，直观难以发现时，采用自相关分析法，依靠析法，依靠Rxx的幅值和波动的频率查出机器缺陷所在。的幅值和波动的频率查出机器缺陷所在。oRxx( ) =t2-t1正常状态下变速器自相关函数正常状态下变速器自相关函数oRxx(

16、 ) =t2-t1异常状态下变速器自相关函数异常状态下变速器自相关函数两台两台C630C630型车床型车床National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University互相关函数互相关函数应用例：若互相关函数出现峰值，则表示两个信号相似；若互相关函数几乎处处为零，则表示两个信号不相关例：例：设设t1=t， t2=t+ ，两组测试曲线如图两组测试曲线如图3-6（a）所示）所示, 图图3-6（b）为两信号的互相关函数，图中尖峰表示为两信号的互相关函数，图中尖峰表示X（t1）, Y（t2）之

17、间在）之间在 = 1 时存在相关联系，而在其它时间间隔则没有这种联系。时存在相关联系，而在其它时间间隔则没有这种联系。ot1x(t1)ot2y(t2)oRxy( )(a) (b)互相关曲线图互相关曲线图1National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University平稳过程：随机过程的分布函数或概率密度函数(若存在)不随时间t的变化而变化。 平稳平稳随机过程及其性质严平稳过程： constantkttkoxExM constantktttkcxExExMnntt,cov1nnttr,1

18、和与t无关。National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University宽平稳随机过程条件： constanttxEE xt2 E x xrtt一般，随机过程的严平稳性与宽平稳性没有确定的因果关系，严平稳性条件通常较宽平稳性条件严格，若严平稳过程具有二阶矩，则其也必为宽平稳过程。特别地，对于正态随机过程，严平稳与宽平稳相互等价。 National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South Un

19、iversity具有遍历性的随机过程必为平稳过程；但平稳过程未必是遍历的。 q 平稳随机过程的遍历性 所谓随机过程的遍历性，通俗地说，就是： 在下标集T上，随机过程按其分布函数遍历 其所有的可能状态。 对遍历性随机过程而言，过程的集合平均等 于其任何一个样本在时间T上的平均 National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South Universityl 时间序列的统计分析统计分析统计分析：基于时间序列的平稳性和遍历性假设，根据观测样本对时间序列的各种数字特征或分布函数作出某种切合实际的估计。 时间序

20、列时间序列：按时间顺序排列的一组数据。在时间序列分析领域，通常指一组时间或空间有序的随机数据，为深入分析，偶尔也涉及确定性数据。National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University NktkttkttxxkNxxEkr11ExNxtttN1122211E xExNxttttN 均值和方差估计,r kkNkx xxnntt kt ktNkn111111 自协方差（相关）函数估计 高阶自协方差（相关）函数估计kkknmax,11National Laboratory of Hig

21、h Performance Complex Manufacturing，Central-South University313311NttxNxEg 偏度系数和峭度系数012345-1-2-3-4-500.10.20.30.40.5p (x )g111 0gg g23 g23xp(x)峭度系数：NttxNxEg144421National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University 概率密度函数的估计xxxtxxPxprx)(lim)(0TTxxtxxPxTrlim)(niixtT1

22、xx+x0 x(t)t1t2t3t4tT0 xp(x)National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University0100200300400 x时间 tx(t)KN18710 4.区间的数目： National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South Universityl 线性时间序列模型分析及其应用线性时间序列模型分析及其应用 动态过程十分复杂，从观测数据不能直接分析系统的变化规律-数学

23、模型。 动态过程状态的变化，反映在其数学模型的结构、参数和特征函数的变化。 模型可以用于对系统的未来状态和发展趋势进行预报和控制。研究动态系统时域模型是工况监视与研究动态系统时域模型是工况监视与故障诊断的重要方法和手段之一故障诊断的重要方法和手段之一根据观测值直接建模根据观测值直接建模,无需知道系统输无需知道系统输入和传递函数入和传递函数National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University时间序列模型的结构特征 特点 动态过程是随机过程 系统的输入无法确知 机械系统系统相互耦

24、合 时间序列模型（时间序列模型（time series modeling） 时间序列数据有一个时间上的顺序 是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题： (1)模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University时间序列建模方法 主要时序模型 自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型(ARMA模型模型):平衡正态

25、双线性模型: 门限自回归模型:非线性自激振荡 指数自回归模型:复现非线性（极限环、幅频依赖、共振跳跃等）现象 状态依赖模型: 预处理 平稳性检验 正态性检验 随机趋势检验和处理计量经济学中的建模方法和思想计量经济学中的建模方法和思想National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University自回归过程自回归过程(Auto-regressive model, AR) 如果一个随机过程可表达为如果一个随机过程可表达为 其中其中i, i = 1, n 是自回归参数，是自回归参数，ut是白噪

26、声过程，是白噪声过程，则称则称xt为为n阶自回归过程，用阶自回归过程，用AR(n)表示。表示。xt 是由它是由它的的n个滞后变量的加权和以及个滞后变量的加权和以及ut 相加而成。相加而成。 若用滞后算子表示若用滞后算子表示 其中其中 称为特征多项式称为特征多项式或自回归算子。或自回归算子。tntntttuxxxx2211tttnnuxBxBBB)()1 (221)1 ()(221nnBBBBNational Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South UniversityAR(p)过程的基本特征ttppt

27、tPPpppttstptazBzzBBBBBBBBaEzstaEza)(模型的简化形式为：为后项算子，.1)(，1的根在单位圆外，即0)()3(;,0且,0)2(为白噪声序列；)1(2212National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South UniversityAR(P)模型的模型的ACF、PACF特征特征接近，0越来越与，小，这种现象称为拖尾减小，且以指数速度减间隔增大时，增大时，即序列之间的当,1,.)1()()()(Function) nCorrelatio Auto自相关函数：(的)1(

28、)2(110011111kkkkkktktktttktkkrrrkrazEzzEzzErACFAR111则的根必须在单位圆外，0）1（)(为满足平稳性，)1()1(或为例，AR(1)以111111BBBazBazztttttNational Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University象。，这种现象称为截尾现0时，2当00101011；的递推公式有：）function ncorrelatio-auto biased（偏相关函数：按照211213122221122121233311122

29、1121212121111111222111kkkPACFNational Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University例如下：、个观察值计算250为白噪声序列，利用个观察值，250模拟产生,9.0,)10)(1(过程)1(用11PACFACFaazBARttt计算结果表明，ACF逐渐衰减，但不等于零；PACF在k=1后，与零接近，是截尾的。结论：ACF呈指数衰减，是拖尾的；PACF在一步后为零，是截尾的。National Laboratory of High Performance

30、Complex Manufacturing，Central-South University 与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归过程AR(p)，如果其特征方程 的所有根的绝对值都大于1，则AR(n)是一个平稳的随机过程。 AR(n) 过程中最常用的是AR(1)、AR(2)过程， xt = 1 xt-1 + ut 保持其平稳性的条件是特征方程 (1 - 1 B) = 0 根的绝对值必须大于1，满足|1/1| 1，也就是： | 1| kknNational Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-So

31、uth University一般在工程中滑动平均部分的阶数总是小于自回归部分，故有： ( )( )BBABABABBiiiniiiikiii kn 11111)1(0110jjjinkiikijjiiiBABA ABABiijikjjiiji knjj110101()物理不可实现National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University从工程应用来看，只有当k=n，且|i | 1，即|i | m, 如果AR部分具有n个不相等的特征根，则：xgBatiiint11jtjnijiitj

32、jjiniiagaBg 0101格林函数：jiniijgG1giin mijjmilll in111()()National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South Universityq 自协方差函数与格林函数的关系00()(jjktjiitikttxaGaGExxEkr002)(00ijajkijiijjktitjiGGaaEGGkkajkjjajkjjaGGGGGG20202)()(krkrxxNational Laboratory of High Performance Complex Man

33、ufacturing，Central-South University自协方差函数的估计 检测数据是有限的,只能从有限长度的样本值xt来求自协方差函数的估计值 和)( krxNtkttNkttxxxNxxEkr11lim)()0(xrNtkttxxxNkr11)()0()()(xxkxrkrk自相关函数:自协方差函数:National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多，大体上分为大体上分为3类：类： （1）最小二

34、乘估计；）最小二乘估计； （2）矩估计；）矩估计； （3）利用自相关函数的直接估计）利用自相关函数的直接估计。 结构阶数模型识别确定估计参数时间序列模型的估计时间序列模型的估计National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University 工况状态变化趋势性及其预报时间， t时间， t时间， t时间， tx(t)x(t)x(t)x(t)线性趋势多项式趋势衰减的周期趋势多项式与周期趋势发现隐含趋势的形成和发展,预知工况状态的变化National Laboratory of High Pe

35、rformance Complex Manufacturing，Central-South University模型特征 明显的趋势明显的趋势：线性、指数、多项式等趋势，可用函数拟合 周期性趋势周期性趋势：周期性运动+干扰信号，频谱分析 季节性趋势季节性趋势：数据序列具有随机周期性，时间序列模型 隐含趋势隐含趋势：不易从数据序列中观察出来，需采用多种数学方法识别National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South Universityq 适用于含确定性趋势序列的组合模型wsxttt ts xtwt

36、非平稳观测时序确定性趋势序列平稳随机序列National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South UniversityNational Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South Universityq 适用于含随机趋势序列的ARIMA(自回归-求和-滑动平均)模型11BBsdARIMA型季节性乘积模型：特征多项式含有形如 的因子，或者说，这类模型具有一个或多个分布在单位圆上的特征根。1 Bs1 Bd随机季节性趋势,适于季节性变化趋势随机多项式趋势,适于多项式变化趋势q差分使非平稳时间序列变成平稳的q 平稳时间序列的预报:从现在和过去的行为预测其未来发展趋势tt+llttxltx)(let)tx过去过去未来现在现在实际数据曲线实际数据曲线)(lxt)95%95%置信限置信限95%95%置信限置信限National Laboratory of High Performance Complex Manufacturing，Central-South University时间序列预报的出发点是使预报误差均方值达到最