同济第三版-高数-(83) 第三节 全微分

1、 设有二元函数设有二元函数 z = f( x , ,y )，若其在一点若其在一点( x0 , ,y0 )处处 x、y分别有增量分别有增量 x、 y，则其全增量形式为则其全增量形式为 z = f( x0 + x , ,y0 + y )- - f( x0 , ,y0 ). .全增量形式全增量形式一般相当复杂，直接讨论较困难。因此一般相当复杂，直接讨论较困难。因此有必要寻求全增量简洁的表达形式。有必要寻求全增量简洁的表达形式。最简单的函数形式是线性函数，最简单的函数形式是线性函数，因此考虑能否将函数的全增量因此考虑能否将函数的全增量 z 表示为表示为 x、 y 的线性函数。的线性函数。 将二元函数的

2、全增量近似地表为将二元函数的全增量近似地表为 x、 y 的线性函的线性函数数就是要考虑选择适当的系数就是要考虑选择适当的系数 A、B，使得使得 z = f( x0 + x , ,y0 + y )- - f( x0 , ,y0 ) A x + + B y ，且希望其误差且希望其误差 z - -( A x + + B y )尽可能地小。尽可能地小。 所谓使误差尽可能地小就是使误差相对于动点所谓使误差尽可能地小就是使误差相对于动点P( x , ,y )与定点与定点 P0( x0 , ,y0 )之间的距离之间的距离 = P0 P 尽可尽可能地小能地小，即希望有即希望有 z - -( A x + + B

3、 y )= o( )，或或 z = A x + + B y + o( )，其中其中， P Pyx220. 如果二元函数如果二元函数 z = f( x , ,y )在点在点( x , ,y )处的处的全增量全增量 z = f( x + x , ,y + y )- - f( x , ,y )， z =( A x + B y )+ o( )，其中其中 A、B 不依赖不依赖于于 x、 y，而仅与而仅与 x、y 有关有关，则称则称 z = f( x , ,y )在点在点( x , ,y )处可微分处可微分，而而 A x + B y称为函数称为函数 z = f( x , ,y ) 在点在点 ( x , ,

4、y ) 处的微分处的微分，记作记作: :d z，即即 d z = A x + B y . . 若二元函数若二元函数 z = f( x , ,y )在区域在区域 D 内每一点都可微，内每一点都可微，就称函数就称函数 z = f( x , ,y )在区域在区域 D 内可微。内可微。 22yx , 多元函数全微分的概念是一种使函数增量线性化的多元函数全微分的概念是一种使函数增量线性化的思想和方法，利用这一方法可以使对函数的研究简化，思想和方法，利用这一方法可以使对函数的研究简化，这也是微积分的基本思想这也是微积分的基本思想。 例如，若例如，若 z = f( x , ,y ) 在点在点( x , ,y

5、 )处可微，则存在与处可微，则存在与 x 、 y 无关的数无关的数 A、B ，使得，使得 z = A x + + B y + o( )，从而有从而有由此可知函数由此可知函数 z = f( x , ,y ) 在点在点( x , ,y )处连续。处连续。 0000limlim0 .xxyyzAxByo 多元多元函数全微分只是为研究函数增量建立的概念。函数全微分只是为研究函数增量建立的概念。函数在一点处的增量是否总可线性化还不得而知，因此函数在一点处的增量是否总可线性化还不得而知，因此必须研究可微概念的可行性，即研究函数可微的条件。必须研究可微概念的可行性，即研究函数可微的条件。 研究命题条件通常可

6、分两步进行，即先讨论命题成研究命题条件通常可分两步进行，即先讨论命题成立的必要条件，再考察必要条件是否充分。立的必要条件，再考察必要条件是否充分。 如果必要条件也是充分条件，则求如果必要条件也是充分条件，则求得了命题的充要条件，此时问题的解得了命题的充要条件，此时问题的解决是圆满的。如果必要条件不是充分决是圆满的。如果必要条件不是充分条件，则需进一步考察还应增加什么条件，则需进一步考察还应增加什么条件才可得命题成立的充分条件。条件才可得命题成立的充分条件。 设函数设函数 z = f( x , ,y ) 在点在点( x , ,y )处可微处可微，则存在不依则存在不依赖于赖于 x、 y 的数的数

7、A、B ，使得使得 z = f( x + x , ,y + y )- - f( x , ,y )= A x + B y + o( ). 为将函数增量具体线性化，需确定为将函数增量具体线性化，需确定 A、B 的的值。值。先确定先确定 A 的的值，值，取取 y = = 0，则相应函数增量化为，则相应函数增量化为 f( x + x , ,y )- - f( x , ,y )= A x + o( x )，于是有，于是有即即 z = f( x , ,y ) 在点在点( x , ,y )处的偏导数处的偏导数 fx( x , ,y ) 存在，且存在，且有有 fx( x , ,y )= A . . 00lim

8、lim.xxffxxyxyoxAAxx , , 同理可求得同理可求得即即 z = f( x , ,y ) 在点在点( x , ,y )处的偏导数处的偏导数 fy( x , ,y ) 也也存在，存在，且有且有 fy( x , ,y )= B . . 由上讨论知：由上讨论知： 若函数若函数 z = f( x , ,y ) 在点在点( x , ,y )处可微处可微，则其在该点则其在该点的两个偏导数必存在，且其的两个偏导数必存在，且其全微分具有形式全微分具有形式 d z = A x + B y = fx( x , ,y ) x + fy( x , ,y ) y . . 00limlim.yyffxyy

9、xyoyBByy , , zzzxyxy d.即即 如果函数如果函数 z = f( x , ,y ) 在点在点( x , ,y )处可微处可微，则其在该则其在该点的两个偏导数点的两个偏导数 fx( x , ,y )，fy( x , ,y )必存在，且函数必存在，且函数 z = f( x , ,y )在在点点( x , ,y )处的处的全微分具有形式全微分具有形式 d z = fx( x , ,y ) x + fy( x , ,y ) y . . d.zzzxyxy 即即 设函数设函数 z = f( x , ,y ) 在任一点在任一点( x , ,y )处两个偏导数处两个偏导数 fx( x ,

10、,y )，fy( x , ,y )存在存在，考察函数考察函数 z = f( x , ,y )在在点点( x , ,y )处是否可处是否可微微，即考察是否有即考察是否有 z = f( x + x , ,y + y )- - f( x , ,y ) = fx( x , ,y ) x + fy( x , ,y ) y + o( ) 由于函数的两个偏导数存在，自然可写出由于函数的两个偏导数存在，自然可写出线性式线性式 fx( x , ,y ) x + + fy( x , ,y ) y . . 为说明函数的可微性只需验证是否有为说明函数的可微性只需验证是否有 z - - fx( x , ,y ) x +

11、 fy( x , ,y ) y = o( ) .zzxyoxy例例：设在设在 z = f( x , ,y )= ，试考察其在点试考察其在点 O( 0 , ,0 )处的两个偏导数是否存在及其在该点的可微性。处的两个偏导数是否存在及其在该点的可微性。即函数即函数 z = f( x , ,y )在点在点 O( 0 , ,0 )处的偏导数均存在。处的偏导数均存在。 xy xxxfxfxfxx0000 0000 0limlim0, yyyyfyffyy000000 00 0limlim0., 考察是否有考察是否有 z - - fx( 0 , ,0 ) x + fy( 0 , ,0 ) y = o( ).

12、 因为因为 fx( 0 , ,0 )= 0 ， fy( 0 , ,0 )= 0 ，故有，故有 fx( 0 , ,0 ) x + fy( 0 , ,0 ) y = 0 . z = f( 0 + x , ,0 + y )- - f( 0 , ,0 ) 于是问题归结为考察是否有于是问题归结为考察是否有 xyyx000, 000 00 0limxyxyzfxfy , xyx yyx2200?lim0 . 为研究此极限的存在性，考察如下特殊路径的极限为研究此极限的存在性，考察如下特殊路径的极限 L1： y = 0， x 0；L2： y = x， x 0 .由此可知，由此可知， 不存在。不存在。因此因此

13、z - - fx( 0 , ,0 ) x + + fy( 0 , ,0 ) y o( ). 由定义知由定义知函数函数 z = f( x , ,y )在点在点 O( 0 , ,0 )处不可微，处不可微，即前面即前面的可微必要条件并不是充分条件。的可微必要条件并不是充分条件。 xxyyxyxLxyx1222200000: limlim00, xxyxyxyxLxyx222220001: limlim022, 000 00 0limxyxyzfxfy , 若函数若函数 z = f( x , ,y ) 在点在点( x , ,y )处的两个偏导数处的两个偏导数 fx( x , ,y )，fy( x ,

14、,y )连续连续，则，则函数函数 z = f( x , ,y ) 在点在点( x , ,y )处可微，即有处可微，即有 z - - fx( x , ,y ) x + fy( x , ,y ) y = o( ). . C. P. U. Math. Dept. 杨访杨访 由于函数的偏导数是宜于计算的，它们的连续性相由于函数的偏导数是宜于计算的，它们的连续性相对也较易于确定。因此，对也较易于确定。因此，定理给出了一种判别函数可微定理给出了一种判别函数可微的简便实用的方法。的简便实用的方法。 例如，多元初等函数的偏导数一般例如，多元初等函数的偏导数一般仍是多元初等函数，而多元初等函数仍是多元初等函数，

15、而多元初等函数在其定义区域内是连续的，因此多元在其定义区域内是连续的，因此多元初等函数在其定义区域内都是可微的。初等函数在其定义区域内都是可微的。 取取 f1( x ,y )= x，f2( x ,y )= y，可得，可得 即二元函数自变量的微分即二元函数自变量的微分 d x , ,d y 与自变量的增量与自变量的增量 x ， y 是一样的。是一样的。 因此，二元函数因此，二元函数 z = f( x ,y )的全微分一般可记为：的全微分一般可记为： 11ddfxfx yxxxxxx, 22ddfyfx yyyyyyy,. ddd.zzzzzxyxyxyxy 全增量是多元函数增量的一般形式，但全增

16、量的计全增量是多元函数增量的一般形式，但全增量的计算通常是比较繁杂的。算通常是比较繁杂的。 以二元函数为例，函数以二元函数为例，函数 z = f( x , ,y )在一点在一点( x , ,y )的的全增量全增量 z 一般一般并不能分解为关于并不能分解为关于 x、y 的两个偏增量的两个偏增量 x z , , y z 进行进行讨论。讨论。 z = f( x + x , ,y + y )- - f( x , ,y ) f( x + x , ,y )- - f( x , ,y )+ f( x , ,y + y )- - f( x , ,y ) = x z + y z . . 全增量的这种性质给函数的

17、研究带来不便。全增量的这种性质给函数的研究带来不便。 二元函数二元函数 z = f( x , ,y )在一点在一点( x , ,y )的全微分由两部的全微分由两部分组成分组成 d z = f x( x , ,y )d x + f y( x , ,y )d y = d x z + d y z . 第一部分第一部分 d x z = f x( x , ,y )d x 为函数为函数 z = f( x , ,y )关于关于 x 的偏微分的偏微分，它仅和它仅和 x 的增量的增量 d x 有关有关。 第二部分第二部分 d y z = f y( x , ,y )d y 为函数为函数 z = f( x , ,y

18、 )关于关于 y 的偏微分的偏微分，它仅和它仅和 y 的增量的增量 d y 有关有关。 全微分是全增量的近似表达式，由于全微分是全增量的近似表达式，由于二元函数全微二元函数全微分可表为两偏微分之和，利用全微分研究函数微分分可表为两偏微分之和，利用全微分研究函数微分 d z 时，时，d x、d y 对对 d z 的影响是独立的。的影响是独立的。 d z = f x( x , ,y )d x + f y( x , ,y )d y . 全微分的这种特点使得函数全微分的这种特点使得函数的研究变得简单方便，这一性质的研究变得简单方便，这一性质又称为全微分的叠加性原理。又称为全微分的叠加性原理。 由叠加性

19、原理可以清楚地看由叠加性原理可以清楚地看出函数变化过程中，各自变量的出函数变化过程中，各自变量的变化对因变量影响的大小。变化对因变量影响的大小。 若三元函数若三元函数 u = f( x , ,y , ,z )的三个偏导数的三个偏导数 在点在点( x , ,y , ,z )处连续，则函数在该点可微，其全微处连续，则函数在该点可微，其全微分为分为 它满足它满足其中，其中， uuxy , ,uz dddduuuuxyzxyz. dddd,uuuuuuxyzoxyz 222 yzx. 从从函数可微条件函数可微条件考虑，全微分的计算应分为三步：考虑，全微分的计算应分为三步： 第一步第一步先计算函数的各个偏导数。先计算函数的各个偏导数。 第二步判别函数是否可微，即判别函数的各个偏导第二步判别函数是否可微，即判别函数的各个偏导数是否连续。数是否连续。 第三步写出函数的全微分。第三步写出函数的全微分。 从实际计算考虑，在已知从实际计算考虑，在已知函数可微函数可微的条件下的条件下，可直接考虑微分的计算。，可直接考虑微分的计算。 由于偏导数计算可以有多由于偏导数计算可以有多也种不同方法，因而全微分计也种不同方法，因而全微分计算相应可有不同方法。算相应可有不同