二次型与对称矩阵

1、整理ppt1第六章第六章 二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵 二次型及其对称矩阵在数学理论、数值计算及工二次型及其对称矩阵在数学理论、数值计算及工 程应用中都占有重要地位。程应用中都占有重要地位。 1 1 二次型及其矩阵二次型及其矩阵221(1)axbxycycossinsincosyxyyxx221.mxny 在解析几何中，为了便于研究二次曲线在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：把方程化为标准形把方程化为标准形整理ppt2 从代数从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性

2、变换化简一个二次齐次多项式，使它的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化，讨论现在我们把这类问题一般化，讨论n个变个变量的二次齐次多项式的化简问题。量的二次齐次多项式的化简问题。整理ppt3 4.1 4.1 二次型概念二次型概念 定义定义1.11.1 含有含有n个变量个变量x1 , x2 ,xn的二次齐的二次齐次函数次函数nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),(nnxxaxa22222222nnnxaninjjiijxxa1

3、1ijjijiijjiijjiijxxaxxaxxaaa2,（2）整理ppt4 1 1、二次型的矩阵形式、二次型的矩阵形式1211( ,)nnnijijijf x xxa x x 111 11221221 122221 122()()()nnnnnnnnnnx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa x整理ppt511 112 2121 122 22121 12 2( ,)n nn nnnnnn na xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaax整理ppt6T.x Ax其中其中11

4、121121222212,.nnnnnnnaaaxaaaxaaaxAx 1）称称A为二次型为二次型 f 的矩阵的矩阵，显然显然 A=AT; 2）A=(aij), 若若 aij 为复数，称为复数，称 f 为为复二次型复二次型； 3）A=(aij), 若若 aij 为实数，称为实数，称 f 为为实二次型实二次型； 4）称）称R(A)为为二次型二次型 f 的秩的秩, ,记为记为R(f)。（3）整理ppt7 例例 1 1. 把下面的二次型写成矩阵形式：把下面的二次型写成矩阵形式：;34),() 1 (22212121xxxxxxf;34),()2(222121321xxxxxxxf 112312323

5、120(2)(,),230.000 xf xxxxxxxx 11212212(1)(,),;23xf xxxxx 解整理ppt8例例2.2.( (书书P168P168）.),(,021 2),(3222213211TTyyyyByygByyyyyg 其其中中原原二二次次型型可可表表示示为为的的矩矩阵阵为为二二次次型型整理ppt9 2 2、线性变换、线性变换 定义定义1.21.2 把变量把变量x1,x2, ,xn化为变量化为变量y1,y2,yn的一组线性关系式的一组线性关系式11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp yp yxp yp yp y

6、叫做由变量叫做由变量x1,x2, ,xn化为变量化为变量y1,y2,yn的的 一个一个线性变换。线性变换。整理ppt101111121222122222,nnnnnnnnxypppxypppxypppxyP若记若记则线性变换可表示为则线性变换可表示为x=Py （4） 整理ppt11上式中的矩阵上式中的矩阵P称为该变换的称为该变换的系数矩阵系数矩阵。当。当P P可逆可逆时，（时，（4）称为）称为可逆的线性变换可逆的线性变换；当当P不不可逆时，可逆时，（4）称为不可逆的线性变换。当线性变换（）称为不可逆的线性变换。当线性变换（4）可逆时，线性变换可逆时，线性变换y=P-1x (5) 称为（称为（4

7、）式的）式的逆变换逆变换。 设设x=Py是可逆的线性变换将二次型化为是可逆的线性变换将二次型化为f =(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y。整理ppt12则称矩阵则称矩阵A A、B B合同（或相合合同（或相合），），记为记为 。对。对方阵方阵A进行的运算进行的运算PTAP称为对称为对A的的合同变换合同变换， P称称为为合同因子合同因子。BAPTAP=B 定义定义1.31.3 对于对于n阶矩阵阶矩阵A、B, 如果有如果有n阶阶可逆矩阵可逆矩阵P使得使得 令令 B=PTAP，则，则B是对称矩阵，是对称矩阵，yTBy是新变量是新变量y1,y2, ,yn的一个二次型。变换前后两个二次型矩的一个二次

8、型。变换前后两个二次型矩阵阵A、B间的这种关系间的这种关系称为称为合同关系合同关系。注：注：合同必等价，反之不真。合同必等价，反之不真。整理ppt13 显然，合同矩阵具有如下显然，合同矩阵具有如下性质性质： 2）对称性：若）对称性：若 ，则，则 ; 1）反身性：）反身性： ； 3）传递性：若）传递性：若 ， ,则则 ; 4）若）若 ，则，则R(A)=R(B); 5）若若 ，且，且A为对称矩阵，则为对称矩阵，则B亦为亦为 对称矩阵。对称矩阵。BAAAABCABABABACB整理ppt14f(x)= xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。 显然，如果二次型显然，如果二次型xTA

9、x经可逆的线性变换经可逆的线性变换 x=Py化为二次型化为二次型 yTBy，则必有，则必有 ，即，即BA 合同与相似是两个互相独立的概念。合同合同与相似是两个互相独立的概念。合同的矩阵未必相似，相似的矩阵也未必合同。的矩阵未必相似，相似的矩阵也未必合同。（参见（参见P170(A)3、4题）题）但是，对于实对称矩阵但是，对于实对称矩阵A，当合同因子，当合同因子P是正交矩阵时，由于是正交矩阵时，由于P-1= PT，所以对所以对A的合同变换与相似变换是一致的。的合同变换与相似变换是一致的。整理ppt15 综上所述，综上所述，二次型二次型f(x)= xTAx能用可逆的线能用可逆的线性变换性变换x=Py

10、化为化为yTBy的充分必要条件是有可逆的充分必要条件是有可逆矩阵矩阵P，使，使PTAP=B。整理ppt16 2 2二次型的标准形二次型的标准形 定义定义2.12.1 称只含有平方项称只含有平方项(不含交叉项不含交叉项)的二次型的二次型为二次型的为二次型的标准型（或法式）。标准型（或法式）。2221122nnfyyybbb112212Tnyyyyyynnbbbyy （6）整理ppt17 显然，一个二次型为标准形的充分必要条显然，一个二次型为标准形的充分必要条件是它的矩阵为对角矩阵。件是它的矩阵为对角矩阵。 所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：

11、个可逆的线性变换：11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc yc y xc yc yc yxc y +c y +c y整理ppt18TTTT()()() .fx AxCyA CyyC AC yxCyfx AxT 标标。把化成准型于是即即 定理定理2.12.1 设设A为为n阶对称矩阵，二次型阶对称矩阵，二次型f(x)= xTAx能用可逆线性变换能用可逆线性变换x=Py化为标准化为标准形（形（6）的充分必要条件是存在）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阶可逆矩阵阵P使使PTAP=B=diag(b1,b2, ，bn).整理ppt19 定理定理2.1告诉我们，二次型经可逆

12、线告诉我们，二次型经可逆线性变换化为标准形的问题与对称矩阵化为性变换化为标准形的问题与对称矩阵化为对角矩阵的问题实质上是同一问题。对角矩阵的问题实质上是同一问题。 显然，经可逆变换显然，经可逆变换 x=C y 把把 f 化成化成 yTC TACy ，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。整理ppt20 2.1 2.1 用正交变换化实二次型为标准形用正交变换化实二次型为标准形 定理定理2.22.2 对于任意的对于任意的n元二次型元二次型f(x)= xTAx，必有正交变换必有正交变换x=Py，使，使f化为标准形化为标准形2221122nnf y y y其中其中

13、1,2, ，n恰是恰是A的全部特征值。的全部特征值。（书（书P171P171）整理ppt21 应用定理应用定理2.2求实二次型求实二次型f(x)= xTAx标准型标准型问题，其实质上就是用正交变换化实对称矩阵问题，其实质上就是用正交变换化实对称矩阵A为对角矩阵的问题。为对角矩阵的问题。 其中其中1,2, ，n恰是恰是A的全部特征值。由定的全部特征值。由定理理2.1便知定理成立。便知定理成立。PTAP=P-1AP= diag(1,2, ，n)， 证明证明 由于由于A为为n阶对称矩阵。由第五章定理阶对称矩阵。由第五章定理5.3知有知有n阶正交矩阵阶正交矩阵P，使得，使得整理ppt22用正交变换化二

14、次型为标准形的具体步骤：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 整理ppt23 解解 1）二次型的矩阵为）二次型的矩阵为0111101111011110A，121314232434222222 fx xx xx xx xx xx x为

15、标化准形.（P171例例2.1）整理ppt242)0,AEA 由求 的特征值：1111111111111)1 (111111111111AE整理ppt252111(1) 012021 1000212022101111)1 (222(1) (23)(1) (3)(1)0.得得A的特征值为的特征值为1 1=-3=-3，2=3= 4=1，整理ppt26311111111311131 131131113111131113AE11111111022001100220004402240000 由由(A- -E) )x =0,求求A的全部特征向量，当的全部特征向量，当1=- -3时，时，解方程解方程(A-

16、-3E)x =0.整理ppt271 1111 0 010 11 00 1 01,0 0110 0 110 0000 0 00111,11 得基础解系得基础解系单位化，得单位化，得1111,121p整理ppt281111111 111110000,1111000011110000A E,.xxxxxxxxxx1234223344解得23410.AEx当，（）解方程由整理ppt291223434111100010001xxkkkxx ，即k2,k3,k4不同时为零不同时为零.整理ppt30234101101,.011011 234101101221,.011222011ppp 取取单位化，得单位化

17、，得整理ppt31222212343fyyyy . 1122334411102221110222,11102221110222xyxyxyxy（4）令）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交变换于是得正交变换x=Py,即即5）用正交变换）用正交变换x=Py将将f化成标准形化成标准形整理ppt32例例2 2 试求实二次型试求实二次型 322132186),(xxxxxxxf 的标准形。不要求给出所用的可逆线性变换。的标准形。不要求给出所用的可逆线性变换。解解 实二次型实二次型 f 的矩阵为的矩阵为 040403030A依题意，只要求出依题意，只要求出A的特征值就可以了。由的特征值就可以了。

18、由（P173例例2.3）整理ppt33.55 055 )25(40430322213212yyfAAE 的的一一个个标标准准形形为为于于是是二二次次型型，的的特特征征值值为为知知 整理ppt34 2.2 用拉格朗日配方法化二次型为标准形用拉格朗日配方法化二次型为标准形22212311322522623 f=x + x + x + x x + x x + x x标标可可逆逆线线性性变变换换例3.用配方法化二次型成准形，并求出所用的. 解解 由于由于 f 中含有的平方项，故把含有中含有的平方项，故把含有 x1 的项的项归为一类，配方得：归为一类，配方得：整理ppt35232232123322223

19、21322322323121232221)2()()2 ()2 (2)(44222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfyxxxyxxyx112322333,2, 令令112322333,2,.xyyyxyyx y即整理ppt36 所用的线性变换为所用的线性变换为112233111012.001xyxyxy则该变换把则该变换把f化成标准形为化成标准形为2212. fyy整理ppt37,xyyxyyxy11221233 解解 在在f中不含有平方项，由于含有中不含有平方项，由于含有x1,x2的乘积的乘积项，故令项，故令成标准型，并求出所用的可逆的线性变换成标准型，并求出所用的可逆的线

20、性变换.121323226fx xx xx x 例例4.4. 用配方法化二次型用配方法化二次型（P175例例2.5）整理ppt38代入可得代入可得221213232222211332233322213233224824228862()2(2)6f yyy yy yyy yyyy yyyyyyyy11322333,2,zyyzyyzy 令整理ppt3911322333,2,yzzyzzyz 即1111222233331 1 01 0 111 00 1 2,0 0 10 0 1xyyzxyyzxyyz 和整理ppt40所用的线性变换为所用的线性变换为则该变换把则该变换把f化成标准形化成标准形222

21、123226. fzzz123123123110101110012001001113111,001zzzz zzxxx整理ppt41说明：说明：用配方法化二次型为标准形的用配方法化二次型为标准形的 关键在于消去交叉项。关键在于消去交叉项。 一般有以下两种情形：一般有以下两种情形：（1）二次型中含某变量）二次型中含某变量 的平方项和交叉项，先集中的平方项和交叉项，先集中含含 的交叉项，然后与的交叉项，然后与 配方，化成完全平方，令新配方，化成完全平方，令新变量代替各个平方项中的变量，即可作出可逆的线性变换，变量代替各个平方项中的变量，即可作出可逆的线性变换，同时立即写出她的逆变换（即用新变量表示

22、旧变量的变同时立即写出她的逆变换（即用新变量表示旧变量的变换），换），需要注意的是需要注意的是： 每次只能对一个变量配平方，余下的项中每次只能对一个变量配平方，余下的项中不应再出现此变量，以保证所做的变换是可逆变换。不应再出现此变量，以保证所做的变换是可逆变换。 再对剩下的变量同样进行，直到各项都化为平方项为止。再对剩下的变量同样进行，直到各项都化为平方项为止。2ixixix整理ppt42（2）二次型中没有平方项，只有交叉项，则先利）二次型中没有平方项，只有交叉项，则先利用平方差公式构造可逆线性变换，化二次型为含平用平方差公式构造可逆线性变换，化二次型为含平方项的二次型，如当方项的二次型，如当

23、 的系数的系数 时，则令时，则令）处处理理。情情形形（再再按按项项代代入入二二次次型型后后出出现现平平方方1,),( 22jijiijkkjijjiiyayajikyxyyxyyx 0 ijajixx整理ppt43说明说明: 任何二次型都可以用配方法化为标准形任何二次型都可以用配方法化为标准形.定理定理2.32.3 任何二次型必可经过可逆线性变换化任何二次型必可经过可逆线性变换化 为标准形为标准形.定理定理2.42.4 任何对称矩阵必可合同于对角矩阵任何对称矩阵必可合同于对角矩阵.整理ppt44将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问