大学高等数学_15二重积分概念_二重积分的计算_三重积分

1、第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章 解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常

2、代变, 近似和, 求 极限” D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量平面薄片

3、的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 , 则M若),(yx非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .D机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回

4、结束 yx两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积

5、分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D

6、上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于),(),

7、(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质6 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 比较下列积分的大小:d)(

8、,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 D 位, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方, 故在 D 上 1y2xo1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解: 分积分域为,321DDD则原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想结果为负

9、但不好估计 .舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoD8. 设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf

10、在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动 目录 上页 下页 返回 结束 xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 ydcxo)(2yx)(

11、1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 结束

12、内容小结内容小结1. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;

13、)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 证明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 为.10, 10yx解解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(22222

14、1DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yox1D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业5 . 04 . 0I备用题备用题1. 估计 的值, 其中 D 为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最

15、小值,4252 I故yox2D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 220yx 0)ln(22 yx2. 判断的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx当时，故0)ln(22 yx又当时，1 yx于是2)(yx 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 0dd)ln(122yxyxyx1111xyoD*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在D

16、上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法

17、仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxy说明说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy211xy o221d y例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及

18、yx 所围的闭区域. x解法解法1. 将D看作X型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y

19、2y2y2 xy及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy

20、222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计

21、算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrr kkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr机动 目录 上页 下页 返回 结束 kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD

22、则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别, 对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初

23、等函数 , 故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上, 当D 为 R2 时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的结果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1

24、 (3322033a)322(3323aoxyza2机动 目录 上页 下页 返回 结束 baxxfd)() )(txtttfd)()(定积分换元法*三、二重积分换元法三、二重积分换元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的 ,vuvuJdd),(ovuDoyxDT机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyxDovuD证证: 根据定理条件可

25、知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 ,坐标面上在vou 直线分割区域 ,D任取其中一个小矩T形, 其顶点为),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令则12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux机动 目录 上页 下页 返回 结束 14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy当h, k 充分小时,曲边四边

26、形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线2 yx所

27、围成的闭域. 解解: 令,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov机动 目录 上页 下页 返回 结束 ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例9. 计算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所围成的闭区域 D 的面积 S .解解: 令Duvopqab则bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd3

28、1vuJDdd)(31abpq机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 试计算椭球体1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则D 的原象为20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),

29、(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为ddrrDo)(

30、1r)(2r在变换下机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxf

31、xxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 交换积分顺序ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2)

32、 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax备用题备用题1. 给定改变积分的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 3261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx2. 计算其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线, 03yx解：解：平面闭区域.0

33、3 xysin2 roxy2436d机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设,),( , ),(zy

34、xzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 .

35、 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxf

36、dd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化

37、成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”

38、),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy

39、10d xx481面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz例例2. 计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(z

40、yxM)0 ,(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddxyzodd机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中为由例例3. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20d

41、azz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 o oxyz例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面42rzvdddd原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo如图所示, 在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面22