数字信号处理主要知识点整理复习总结

1、数字信号处理课程数字信号处理课程 知识点概要知识点概要第第1章章 数字信号处理概念知识点数字信号处理概念知识点1、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字信号的特点及相互关系（时间和幅度的连续性考量）信号的特点及相互关系（时间和幅度的连续性考量） 2、数字信号的产生；、数字信号的产生；3、典型数字信号处理系统的主要构成。、典型数字信号处理系统的主要构成。量化、编码量化、编码采样采样模拟信号模拟信号离散时间信号离散时间信号数字信号数字信号 A / D变换器变换器通用或通用或专用专用计算机计算机采样采样保持器保持器D/ A变换器变换器模拟模拟低通低通滤

2、波器滤波器模拟模拟信号信号数字信号数字信号模拟模拟信号信号连续时间连续时间信号信号连续时间连续时间信号信号数字信号处理系统数字信号处理系统1. 周期序列的判断与周期周期序列的判断与周期T的求取。的求取。基本概念题（填空、判断、选择）。基本概念题（填空、判断、选择）。 本章典型题型与习题讲解本章典型题型与习题讲解：02 判 断是 否 为 有 理 数 。2. 判断系统是否是线性非时变系统。判断系统是否是线性非时变系统。Linear system : 齐次性与叠加性齐次性与叠加性即即 y1(n)=Tx1(n) ，y2(n)=Tx2(n) y (n)=Tax1(n) bx2(n) = ay1(n) b

3、y2(n) *加权信号和的响应=响应的加权和。Time-invariant: 时不变特性时不变特性 即即 y(n-n0)=Tx(n-n0)3( )cos()78x nAn1()8( )jnx ne3214,73ww1 2,168ww习题1. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1）（3）解解：（1）（2）这是无理数，因此是非周期序列。A是常数；这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；4. 线性卷积的计算。线性卷积的计算。5.模拟信号数字处理的方法与过程；采样、恢模拟信号数字处理的方法与过程；采样、恢复的概念；采样定理及采样后产生的影响；预复的概念；采样定理及采样后产生的影

4、响；预滤波、平滑滤波的作用；滤波、平滑滤波的作用； 第二部分第二部分 离散时间系统离散时间系统 1、线性时不变系统的判定、线性时不变系统的判定 2、线性卷积、线性卷积 3、系统稳定性与因果性的判定、系统稳定性与因果性的判定 4、线性时不变离散时间系统的表示方法、线性时不变离散时间系统的表示方法 5、系统分类及两种分类之间的关系系统分类及两种分类之间的关系1、线性系统：对于任何线性组合信号的、线性系统：对于任何线性组合信号的响应等于响应等于系统对各个分量的响应的线性组合。系统对各个分量的响应的线性组合。 线性系统线性系统判别准则判别准则 若若11( )( )y nT x n 22( )( )y

5、nT x n 1212( )( )( )( )T ax nbx nay nby n 则则2、时不变系统：系统的参数不随时间而变化，不管、时不变系统：系统的参数不随时间而变化，不管输入信号作用时间的先后，输出信号的响应的形状均输入信号作用时间的先后，输出信号的响应的形状均相同，仅是出现时间的不同相同，仅是出现时间的不同若若 ( )( )y nT x n 则则00()()T x nny nn时不变系统时不变系统判别准则判别准则 ( )( ) ()( )* ( )() ( )( )*( )kky nx k h nkx nh nx nk h kh nx n 3、线性卷积、线性卷积 y(n)的长度的长度

6、LxLh1 两个序列中只要有一个是无限长序列，则卷两个序列中只要有一个是无限长序列，则卷积之后是无限长序列积之后是无限长序列 卷积是线性运算，长序列可以分成短序列再卷积是线性运算，长序列可以分成短序列再进行卷积，但必须看清起点在哪里进行卷积，但必须看清起点在哪里系统系统时域充要条件时域充要条件Z域充要条件域充要条件因果因果h(n)0 (n0)ROC: R1 Z稳定稳定 h(n)n=-ROC: 包含单位圆包含单位圆4、系统的稳定性与因果性、系统的稳定性与因果性5、差分方程差分方程描述系统输入输出之间的运算关系描述系统输入输出之间的运算关系 N阶线性常系数差分方程的一般形式：阶线性常系数差分方程的

7、一般形式： 其中其中 ai、bi都是常数。都是常数。 离散系统差分方程表示法有两个主要用途：离散系统差分方程表示法有两个主要用途： 求解系统的瞬态响应；求解系统的瞬态响应； 由差分方程得到系统结构；由差分方程得到系统结构；01( )()()MNiiiiy na x nib y ni 6、线性时不变离散时间系统的表示方法、线性时不变离散时间系统的表示方法线性常系数差分方程线性常系数差分方程单位脉冲响应单位脉冲响应 h(n)系统函数系统函数 H(z)频率响应频率响应 H(ejw)零极点图（几何方法）零极点图（几何方法）7、系统的分类、系统的分类IIR和和FIR递归和非递归递归和非递归例1. 判断下

8、列系统是否为线性系统。5)(3)()();()()();()()();()()(22nxnydnxnycnxnybnnxnya解：(a)()(),()()()()(222111nxTnnxnynxTnnxnynnxny）)()()()()()()()(2211221122112211nxTanxTanyanyannxannxanxanxaT故为线性系统。（b)()(),()()()()(222212112nxTnxnynxTnxnynxny）)()()()()()()()(221122112222112211nxTanxTanyanyanxanxanxanxaT故为线性系统。)()(),()(

9、)()()(222212112nxTnxnynxTnxnynxny）)()(2)()()()()()(212122222121222112211nxnxaanxanxanxanxanxanxaT故不是线性系统。(c)()()()(22112211nxTanxTanxanxaT可见：)()()()(2222112211nxanxanxTanxTa(d)。加即，系统操作为乘）53)(5)(3(),(5)(3)(5)(3)(222111nxTnxnynxTnxnynxny5)()( 3)()(22112211nxanxanxanxaT故不是线性系统。)()()()(22112211nxTanxTan

10、xanxaT22211122115)(35)(3)()(anxaanxanxTanxTa可见：例2 判断系统 是否是移不变系统。其中a和b均为常数bnaxny)()(解：)()()()()()(mnybmnaxmnxTnybnaxnxT故为移不变系统。例3 判断系统 是否是移不变系统。( )( )sin(20.1 )y nx nn解：)1 . 02sin()()()()1 . 02sin()()(系统操作nmnxmnxTnynnxnxT故不是移不变系统。又：1 . 0)(2sin)()(函数操作mnmnxmny显然)()(mnymnxT);1()()()();()()(nxnxnybnnxny

11、a例4. 判断下列系统是否为移不变系统。解：系统操作)()()()()(mnnxmnxTnynnxnxT故不是移不变系统。又：函数操作)()()(mnxmnmny显然)()(mnymnxT（a）) 1()()()() 1()()() 1()()(mnxmnxmnxTnynxnxnxTnxnxny故是移不变系统。又：) 1()()(mnxmnxmny显然)()(mnymnxT（b)一个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统，这一个常系数线性差分方程是否表征一个线性移不变系统，这完全由边界条件决定。完全由边界条件决定。例如：差分方程（c) 边界条件 时，既不是线性的也不是移不变的。)() 1

12、()(nxnayny（a) 边界条件 时，是线性的但不是移不变的。0)0(y（b) 边界条件 时，是线性移不变的。0) 1(y( 1)1y 的情况）解：（0) 1(yb)()(1nnx令1)0() 1()0(11ayyaayy) 1 ()0() 1 (11211)2() 1 ()2(aayy.nannayny)() 1()(11所以：)()(1nuanyn)() 1()(nxnayny) 1()(2nnx又令0) 1() 1()0(22ayy则：.所以：) 1()(12nuanyn1)0()0() 1 (22ayyaayy) 1 () 1 ()2(22122) 1() 1()(nannayny

13、可见 是移一位的关系， 亦是移一位的关系。因此是移不变系统。)()(21nxnx)()(21nyny)()()()()(111nxTnuanynnxn由上述分析可知：)() 1()() 1()(2122nxTnuanynnxn) 1()()(3nnnx又令：代入差分方程，得：1) 10()0() 1()0(33ayy1)0() 1 ()0() 1 (33aayyaaayy233) 1 ()2() 1 ()2(2333)2() 3()2() 3(aaayy.13)(nnaany所以：)()()()()(2113nxnxTnuanuanynn)()()()()(21213nxTnxTnynyny因

14、此为线性系统。3. 判断系统是否是因果稳定系统。判断系统是否是因果稳定系统。 Causal and Noncausal System（因果系统）（因果系统） causal system: (1) 响应不出现于激励之前响应不出现于激励之前 (2) h(n)=0, n0 （线性、时不变系统）（线性、时不变系统）Stable System （稳定系统）（稳定系统） (1) 有界输入导致有界输出有界输入导致有界输出 (2) （线性、时不变系统）（线性、时不变系统） (3) H(z)的极点均位于的极点均位于Z平面单位圆内（因果系统）平面单位圆内（因果系统）nnh|)(| *实际系统一般是因果系统； *

15、y(n)=x(-n)是非因果系统,因n0时的输入;（b）由于 领先于 ，故为非因果系统。 例5 判断下列系统是否为因果系统。)2()()()(nxnxnya) 1()() 1()(nxnxnyb)()()(kxnycnk)()()(nxnyd（a) 为因果系统，由定义可知。) 1( ny)(nx解： 由于 由目前和过去的输入所决定，故为因果系统。)(ny由于 n=-1时，有y（-1）=x(1)；也就是 领先于 ，故为非因果系统。)(ny)( nx )()()(kxnycnk)()()(nxnyd第第2章回顾章回顾要点与难点要点与难点1、Z变换变换Z变换的定义、零极点、收敛域变换的定义、零极点、

16、收敛域逆逆Z变换（部分分式法）变换（部分分式法）Z变换的性质及变换的性质及Parseval定理定理2、离散时间傅里叶变换、离散时间傅里叶变换DTFT的定义、性质的定义、性质DTFT与与Z变换的关系变换的关系DTFT存在的条件存在的条件3、DFTDFT定义，与定义，与Z变换的关系，变换的关系，DFT性质性质4、FFT5、DFT的应用的应用nnjjenxeX)(deeXnxnjj)(212.1节知识点节知识点 1、DTFT的定义：的定义：正变换：正变换：反变换：反变换：l基本性质。基本性质。l常见变换对；常见变换对；l离散时间信号的频域（频谱）为周期函数；离散时间信号的频域（频谱）为周期函数；1(

17、)()2jjnxnXeednjnjenxeX)()(nnx|)(|Condition:(DTFT)序列傅立叶变换(IDTFT)序列傅立叶反变换注注：周期序列不满足该绝对可和的条件，因此它的周期序列不满足该绝对可和的条件，因此它的DTFT不存在。不存在。1. DTFT的计算及其性质。的计算及其性质。方法1：根据定义式求解一般序列)()()(nxnxnxoe共轭对共轭对称序列称序列共轭反对共轭反对称序列称序列)(*)(21)()(*)(21)(nxnxnxnxnxnxoe一般实序列( )( )( )eox nx nxn偶序列偶序列奇序列奇序列1( ) ( )()21( ) ( )()2eoxnx

18、nxnxnx nxn1()()* ()21()()* ()2jjjejjjoXeXeXeXeXeXe方法2：根据DTFT的性质求解（特别是对称性）（a）序列分成实部与虚部时:)()()()( )( )( jojejireXeXeXnjxnxnx其中nnjrrjeenxnxFTeX)()()(nnjiijoenxjnjxFTeX)()()( 序列分成实部与虚部两部分，实部对应的序列分成实部与虚部两部分，实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和具有共轭对称性，虚部和j一起对应的一起对应的FT具有共轭具有共轭反对称性。反对称性。)()()()( )( )( jIjRjoeejXeXeXnxnxnx其中)

19、()(21)(jjjReXeXeX（b）序列分成共轭对称 与共轭反对称 时:)(nxe)(nxo)()(21)(jjjIeXeXejX 序列的共轭对称部分序列的共轭对称部分xe(n)对应着对应着FT的实部的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着对应着FT的虚部的虚部jXI(ej) 。11()1cos122 ( )( )()1 12 1 01 12jjjRejeRHeeeFT hnhnIFT Hennn 例1：若序列h(n)是实因果序列，其DTFT的实部如下式： HR(ej)1+cos 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej).解：000( )()( )(

20、 )2( )0( ) 2(0)(0) 0( )2( )( ) ( )2eeennnh nhnh nh nh nnh nhhnh nh nh nh n为实因果序列时，； 时，010( )2( ) 0( )( ) 0( )01 12( )1 01 121 1( )1 00 ()( )11 1eeenjjnjjnjnh nhnnh nhnnh nnhnnnnh nnnH eh n eeee 时 ， 时 ，时 ，而 有为 其 它 值22cos2je2、Z 变换表示法：变换表示法： 1) 级数形式（定义）级数形式（定义） 2) 解析表达式解析表达式（根据常见公式）（根据常见公式）（注意（注意:表示收敛域

21、上的函数，同时注明收敛域）表示收敛域上的函数，同时注明收敛域）3、Z 变换收敛域的特点：变换收敛域的特点：1) 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到时可向外扩展到，只有，只有x(n)=(n)的收敛域是整个的收敛域是整个Z 平面平面2) 在收敛域内没有极点，在收敛域内没有极点，X(z)在收敛域内每一点上在收敛域内每一点上都是解析函数。都是解析函数。 ( )( )nnX zx n z 4、几类序列、几类序列Z变换的收敛域变换的收敛域 (1) 有限长序列有限长序列:X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2) 0 n1 n n2 0

22、|z| 展开式出现展开式出现z的负幂的负幂 n1 n n2 0 0 |z| 展开式出现展开式出现z的正幂的正幂 n1 0 0|z| Rx n1 0, n2= , Rx|z| 展开式出现展开式出现z的正幂的正幂Z 变换的收敛域包括变换的收敛域包括 点是因果序列的特征。点是因果序列的特征。(3) 左边序列左边序列 X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2, n1 =-) n1 = -, n2 0, |z| 0, 0|z| Rx, Rx|z| Rx Rx Rx , 空集空集5、部分分式法进行逆、部分分式法进行逆Z变换变换1)求极点求极点2)将将X(z)分解成部分分式形式分解成部分分式形式3)

23、通过查表，对每个分式分别进行逆通过查表，对每个分式分别进行逆Z变换变换注：左边序列、右边序列对应不同收敛域注：左边序列、右边序列对应不同收敛域1)将部分分式逆将部分分式逆Z变换结果相加得到完整的变换结果相加得到完整的x(n)序列序列 6、Z变换的性质变换的性质 移位、反向、乘指数序列、卷积移位、反向、乘指数序列、卷积常用序列常用序列z变换（可直接使用）变换（可直接使用）11111( )1 |1 z11( )0 |11( )| |1z1(1) 0 | |1zNNnnzu nzzzRnzzza u nazazaa unzaa 7、DTFT与与Z变换的关系变换的关系采样序列在单位圆上的采样序列在单位

24、圆上的Z变换等于该序列的变换等于该序列的DTFT 序列频谱存在的条件序列频谱存在的条件Z变换的收敛域包含单位圆变换的收敛域包含单位圆()( )( )jjjnz enX eX zx n e 8、Parseval定理重要应用定理重要应用计算序列能量：计算序列能量： 即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致221( )|()|2jnx nX ed分析计算题（计算证明、分析问答）。分析计算题（计算证明、分析问答）。 本章典型题型与习题讲解本章典型题型与习题讲解：方法方法2. 幂级数法幂级数法(长除法长除法)左边序列：将左边序列：将X(z)的分子、分母按的分子、分

25、母按Z的升幂排列的升幂排列右边序列：将右边序列：将X(z)的分子、分母按的分子、分母按Z的降幂排列的降幂排列 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。方法方法3. 部分分式展开法部分分式展开法3.逆逆Z变换的计算。变换的计算。方法方法1. 用留数定理求逆用留数定理求逆Z变换变换11Res( ),()( )knnkkz zX z zzzzX z z求逆求逆z z变换时特别需要注变换时特别需要注意收敛域的范围，收敛域意收敛域的范围，收敛域不同，逆不同，逆z z变换的结果是不变换的结果是不同的。如果没有明确告诉同的。如果没有明确告诉收敛域的范围，则求逆收敛域的范围，则求逆z z

26、变变换时需要讨论。换时需要讨论。1132( )11 212X zzz( )X z16. 已知已知:求出对应求出对应的各种可能的序列的表达式。的各种可能的序列的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。0.5z 时，时，（1）当收敛域11( )( )2ncx nX Z zdzj111115757( )( )(1 0.5)(1 2)(0.5)(2)nnnzzF zX z zzzzzzz令令，因为，因为c内无极点，内无极点，x(n)=0；0n ，C内有极点内有极点0，但，但z=0是一个是一个n阶极点，阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极

27、点有改为求圆外极点留数，圆外极点有1n 那么那么0.52( )Re ( ),0.5Re ( ),2(57)(57) (0.5)(2)(0.5)(2)(0.5)(2)1 3 ( )2 2 (1)2nnzznnx ns F zs F zzzzzzzzzzzun (57)( )(0.5)(2)nzzF zzz0.52z（2）当收敛域）当收敛域时，时，1( )Re ( ),0.53 ( )2nx ns F z0n，C内有极点0.5；( )Re ( ),22 2(1)nx ns F zun 1( )3 ( )( )2 2(1)2nnx nu nun 0n ，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成

28、求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，最后得到最后得到(57)( )(0.5)(2)nzzF zzz2z（3）当收敛域）当收敛域1( )Re ( ),0.5Re ( ),23 ( )2 22nnx ns F zs F znN，则L=M）。较短的一个需要补0至L（两个序列的长度要求相等）。循环卷积可以用DFT(FFT)实现；用循环卷积实现线性卷积：LM+N-1 若不满足这个条件，则只在N-1 n M-1范围内两者相等。典型题型与习题讲解典型题型与习题讲解：分析计算题（计算证明、分析问答、判断）。分析计算题（计算证明、分析问答、判断）。 2.4频域采样定理 如果x（n）的长度为M，则只有当频只有

29、当频域采样点数域采样点数N M时时，才有可由频域采样 恢复原序列x（n），否则将产生时域混叠现象。( )( )( )NxnIDFT X kx n)(kX 在z平面的单位圆上的N个等角点上，对z变换进行取样，将导致相应的时间序列周期延拓，延拓周期为N。DFSDFT线性线性线性线性序列移位序列移位循环移位循环移位共轭对称性共轭对称性共轭对称性共轭对称性周期卷积周期卷积循环卷积循环卷积 ()( )()( )mkNnlNDFS x nmwX kIDFS X klw x n DFSDFSxnXkxnXk ( )( )()( )( )mkNnlNNDFT f nwX kIDFT XklRkw x n DF

30、T xnXNk 1010( )( ) ( )( )( )() ()() ()NmNmF kX k Y kf nIDFS F kx m y nmy m x nm 1010( )( ) ( )( )( )() ()( )() ()( )NNNmNNNmF kX k Y kf nIDFT F kx m y nmRny m x nmRn DFT选频性选频性DFT与与Z变换变换DFT与与DTFTDFT形式下的形式下的Parseval定理定理2( )( )kNjkkNNz wX kX zzwe 2 ()2 ()/( )011( )10ojqnjq kjq kNx nenNNkqeX kekq 11*001

31、122001( )( )( )( )1| ( )|( )|( )( )NNnkNNnkx n y nX k YkNx nX kx ny nN 2( )()Njww kwNX kX ewN 重新构造两个长度为重新构造两个长度为L的序列的序列x(n)和和y(n), 方法：方法：末尾补零末尾补零对对x(n)和和y(n)进行圆周卷积：进行圆周卷积：首先对两个序列进行周期延拓首先对两个序列进行周期延拓对延拓后的周期序列进行周期卷积对延拓后的周期序列进行周期卷积对周期卷积的结果取主值区间对周期卷积的结果取主值区间使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是件是L

32、N+M-1；步骤如下：步骤如下：圆圆 周周 卷卷 积积 与与 线线 性性 卷卷 积积 的的 性性 质质 对对 比比圆周卷积圆周卷积线性卷积线性卷积针对针对FFT引出的引出的一种一种表示方法表示方法信号通过线性系统时，信信号通过线性系统时，信号输出等于号输出等于输入与系统单输入与系统单位冲激响应的卷积位冲激响应的卷积两序列长度必须两序列长度必须相等相等，不等时按要求不等时按要求补足零值点补足零值点两序列长度可以两序列长度可以不等不等如如x1(n)为为 N1点，点，x2(n)为为 N2点点卷积结果长度卷积结果长度与两信号长度相等皆为与两信号长度相等皆为N卷积结果长度为卷积结果长度为N=N1+N2-

33、1 2 2N f 、ssf 、sfNkN变量变量周期周期分辨率分辨率数字频域数字频域模拟频域模拟频域离散频域离散频域时域时域/频域同时采样频域同时采样对有限时宽的信号对有限时宽的信号xa(t)的时域波形和频域波形的时域波形和频域波形同时进行取样，其结果是时域波形和频域的都同时进行取样，其结果是时域波形和频域的都变成了离散的、周期性的波形；变成了离散的、周期性的波形；时域内的离散周期信号为时域内的离散周期信号为 ，频域内离散周，频域内离散周期信号为期信号为 ，它们之间形成，它们之间形成DFS变换对；变换对；分别取它们的一个周期，得到分别取它们的一个周期，得到x(n)与与X(k)，它，它们之间形成

34、们之间形成DFT变换对。变换对。 nN0k0N-N)nT( x) n ( x1 /T)k (X) k (X1-N( )x n ( )X k 第二部分第二部分 快速傅里叶变换快速傅里叶变换FFT 1、FFT计算原理。2、基2时间抽取算法和频率抽取算法。3、DFT、R-2 FFT算法的运算量比较。4、实数序列的FFT高效算法。5、FFT的应用。主要要求掌握的内容主要要求掌握的内容：1、FFT、IFFT的计算方法、特点，DIT、DIF的运算流图。2、FFT应用于频谱分析和快速卷积。3、DFT、FFT的运算量计算。4、FFT减少运算量的途径。本章典型题型与习题讲解本章典型题型与习题讲解：作图题（作图、

35、计算）。作图题（作图、计算）。 N N点的FFTFFT的运算量为复乘: C CM M = =（N/2N/2）M=M=（N/N/2） loglog2 2 N N复加: C CA A =N M=N log =N M=N log2 2 N N1. 画出画出N点（例如点（例如8点、点、16点）点）FFT的运算流图的运算流图2. FFT的特点，的特点，FFT减少运算量的途径。减少运算量的途径。DIT DIF3. FFT的运算量的计算，与的运算量的计算，与DFT运算量的比较。运算量的比较。FFT算法的基本思想、特点、编程方法N N点的DFTDFT的运算量为复乘: C CM M =N =N2复加: C CA

36、 A =N =N（N-1N-1）例1：如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5s,每次复数加需要1s,用来计算N1024点DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢?照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估计可实现实时处理的信号最高频率。 解：N=1024=210直接计算DFT的运算量：复乘: C CM M =N =N21024102422 220次次复加: C CA A =N =N（N-1N-1）102410241023102310475521047552直接计算DFT所用的时间为：-62-65 101024 +1047552 10 =6.290432sDT 用用FFTFF

37、T计算计算DFTDFT的运算量为复乘: C CM M = =（N/2N/2）M=M=（N/N/2） loglog2 2 N N1024/21024/2101051205120复加: C CA A =N M=N log =N M=N log2 2 N N1024102410101024010240用FFT计算DFT所用的时间为：-6-65 105120+10240 10 =35.84msFT 快速卷积时，要计算一次N点FFT（H(k)已经计算好存入ROM中了，不需用FFT计算出H(k)）；N次频域复数乘法（H(k)*X(k)）；一次N点IFFT（也是用FFT实现的）。所以，计算1024点快速卷积

38、的计算时间约为-3-621024 2101024 5 10 =76800 scFTT 次复数乘所需时间35.84所以，每秒种处理的采样点数（即采样速率）为-61024=13333.376800 10fs 次/秒max13333.3=22sff=6666.7.3.实数序列的实数序列的FFT高效算法。高效算法。由采样定理可知，可实时处理的信号最高频率为 实际实现时，fmax要比这个小一些。( )X k( )Y k( )x n( )y n( )X k( )Y k( )x n( )y n3. 已知已知和和是两个是两个N点实序列点实序列和和的的DFT，若要从，若要从和和求求和和，为提高运算效率，试设计用

39、一次N点IFFT来完成。)()()()()(kFkFkjYkXkFopep)(Im)(Re)()(nfjnfkFIFFTnf( )x n( )y n( )X k( )Y k( )Y k解：因为解：因为和和均为实序列，所以，均为实序列，所以，和和为共轭对称序列，为共轭对称序列，j为共轭反对称序列。可令为共轭反对称序列。可令( )X k( )Y k)(kF和和j分别作为复序列分别作为复序列 分量和共轭反分量和共轭反对称分量，即对称分量，即计算一次计算一次N点点IFFT得到得到)()()()(Im)()()()(RenjykjYIDFTkFIDFTnfjnxkXIDFTkFIDFTnfopep)()

40、(21)()()(21)(nfnfjnynfnfnx由由DFT的共轭对称性可知，的共轭对称性可知，故故2.6节知识点节知识点n连续信号的频谱分析连续信号的频谱分析 (利用利用DFT的选频性的选频性)过程：采样截短过程：采样截短DFT效应：混叠效应：混叠原因：采样、频谱泄漏原因：采样、频谱泄漏 泄漏泄漏原因：截短原因：截短 栅栏效应栅栏效应原因：原因：DFTpDFT的分辨率的分辨率 DFT的应用（频谱分析、分段卷积）。的应用（频谱分析、分段卷积）。频谱分析：频谱分析：DFT代替频谱分析引起的误差（混叠现象、栅代替频谱分析引起的误差（混叠现象、栅栏效应、截断效应栏效应、截断效应频谱泄漏、谱间干扰频

41、谱泄漏、谱间干扰）；提高谱分辨）；提高谱分辨率的方法；分段卷积（重叠相加法、重叠保留法）率的方法；分段卷积（重叠相加法、重叠保留法）50FHzminN15. 用微处理机对实数序列作谱分析用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率要求谱分辨率，信号最高频率为，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：，试确定以下各参数：（3）最少采样点数）最少采样点数（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。值。minpT；（1）最小记录时间）最小记录时间maxT（2）最大取样间隔）最大取样间隔；第第3章回顾章回顾要点与难点要点与难点(1)数字滤波

42、器频响应能模仿模拟滤波器频响数字滤波器频响应能模仿模拟滤波器频响 jsasH)(互为映射关系互为映射关系 jezzH )(2)因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因果稳定的因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因果稳定的0Re)( sasH互为映射关系互为映射关系1)( zzHS到到Z平面的映射关系满足条件平面的映射关系满足条件 主要内容主要内容：1、 数字滤波器的分类及特性。2、 数字信号系统的信号流图。3、 IIR滤波器的结构和信号流图：直接型；级联型；并联型。4、 FIR数字滤波器的结构和信号流图：直接型；快速卷积型、频率采样型。3.1 数字滤波器的结构数字滤波器的结构本章主要要求掌握的内

43、容本章主要要求掌握的内容：1、数字信号系统的信号流图描述方法。2、 IIR滤波器的信号流图：直接型；级联型；并联型。3、 FIR数字滤波器的实现流图：直接型；级联型；线性相位型。1.画出滤波器的实现结构（实现流图）。画出滤波器的实现结构（实现流图）。IIR数字滤波器的直接数字滤波器的直接I型结构型结构两条延时链中对应的延时单元内容完全相同两条延时链中对应的延时单元内容完全相同,可合并可合并,得得)(1zH)(zHM2、FIR数字滤波器：非递归结构，无反馈，但在频率数字滤波器：非递归结构，无反馈，但在频率采样结构等某些结构中也包含有反馈的递归部分。采样结构等某些结构中也包含有反馈的递归部分。（1

44、）直接型（卷积型、横截型）直接型（卷积型、横截型）（2）级联型）级联型（3）线性相位型）线性相位型（4）频率采样型）频率采样型 直接型的转置直接型的转置： FIR数字滤波器数字滤波器要点与难点要点与难点1、线性相位：系统的相频特性是频率的线性函数、线性相位：系统的相频特性是频率的线性函数群时延群时延: gd ( )d 20) 1( N 20) 5 . 0( N2 偶对称偶对称)(nh 奇对称奇对称)(nh2、四种线性相位、四种线性相位FIR滤波器滤波器四种线性相位四种线性相位FIR DF特性特性第一类第一类 ，h(n)偶、偶、N奇，四种滤波器都可设计。奇，四种滤波器都可设计。第二类第二类 ，

45、h(n)偶、偶、 N偶，可设计低、带通滤波器偶，可设计低、带通滤波器 不能设计高通和带阻。不能设计高通和带阻。第三类第三类 ， h(n)奇、奇、 N奇，只能设计带通滤波器，奇，只能设计带通滤波器， 其它滤波器都不能设计。其它滤波器都不能设计。第四类第四类 ， h(n)奇、奇、 N偶，可设计高通、带通滤波偶，可设计高通、带通滤波 器，不能设计低通和带阻。器，不能设计低通和带阻。小结小结1、相位特性只取决于、相位特性只取决于h(n)的对称性，而与的对称性，而与h(n)的的值无关。值无关。2、幅度特性取决于、幅度特性取决于h(n)。3、设计、设计FIR数字滤波器时，在保证数字滤波器时，在保证h(n)

46、对称的条对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当注意：当H()用用H()表示时，当表示时，当H()为奇对为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移称时，其相频特性中还应加一个固定相移3、线性相位、线性相位FIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性 )1()(nNhnh 11 zHzzHN零点必须是互为倒数的共轭对零点必须是互为倒数的共轭对作图题作图题典型题型与习题讲解典型题型与习题讲解：1. 设系统用下面的差分方程描述：设系统用下面的差分方程描述：311( )(1)(2)( )(1)483y ny ny nx nx n试画出系统的直接型、级联型和并联型结

47、构。试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。311( )(1)(2)( )(1)483y ny ny nx nx n121311( )( )( )( )( )483Y zY z zY z zX zX z z112113( )31148zH zzz解：解：将上式进行将上式进行Z变换变换（1）按照系统函数）按照系统函数( )H z，画出直接型结构如图（一）所示。 112113( )31148zH zzz11111311(1)(1)24zzz( )H z（2）将）将的分母进行因式分解的分母进行因式分解 按照上式可以有两种级联型结构：1111113( )11(1)(1)24zH zzz1111113(

48、 )11(1)(1)24zH zzz(a) (b) 画出级联型结构如画出级联型结构如图图（二）（二）（b）所示所示画出级联型结构如图（二）（a）所示级联型结构图（二）（a）级联型结构级联型结构图（二）（图（二）（b）111113( )11(1)(1)24zH zzz1( )31111()()2424zH zABzzzzz11103()11123()()224zAzzzz1173()11143()()424zBzzzz 107( )331124H zzzz( )H z（3）将）将进行部分分式展开进行部分分式展开111071073333( )1111112424zzH zzzzz根据上式画出并联型

49、结构如图（三）所示。第第2部分部分要点与难点要点与难点(1)数字滤波器频响应能模仿模拟滤波器频响数字滤波器频响应能模仿模拟滤波器频响 jsasH)(互为映射关系互为映射关系 jezzH )(2)因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因果稳定的因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因果稳定的0Re)( sasH互为映射关系互为映射关系1)( zzHS到到Z平面的映射关系满足条件平面的映射关系满足条件 主要内容主要内容：1、数字滤波器的设计方法：IIR的设计方法分类。2、理想滤波器的特性及逼近方法：理想滤波器的特性；连续函数逼近方法。3、模拟滤波器设计：几种逼近函数及特点；模拟滤波器逼近函数设计方法。

50、4、模拟滤波器的数字仿真：冲激响应不变法；双线性变换法。5、数字滤波器的频率变换。 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计主要要求掌握的内容主要要求掌握的内容：1、数字滤波器的概念、技术指标、设计过程、设计方法。2、 IIR数字滤波器的设计与模拟滤波器设计的关系；转换方法：冲激响应不变法；双线性变换法；3、 Butterworth数字低通滤波器的设计。4、 IIR数字滤波器频带变换方法（由低通，设计高通、带通、带阻滤波器）5、IIR滤波器的特点。综合设计题（计算）。综合设计题（计算）。 本章典型题型与习题讲解本章典型题型与习题讲解：)()()( nThthnhanTta 某某种种变变换换)(t

51、ha1( )NiaiiAHsss 1( )( )iNs taiih tAe u t 1( )()( )iNsTniih nA eu n 11( )1iNis TiAH zez 思路：思路：脉冲响应不变法脉冲响应不变法sTze 脉冲响应不变法的脉冲响应不变法的映射关系映射关系,STsejz ,jTezrerT j 0T 3T 3T T )Im( zj)Re( z0S 平面平面Z 平面平面: 脉冲响应不变法满足变换的映射条件，但映射关系脉冲响应不变法满足变换的映射条件，但映射关系不是一一对应不是一一对应的的。l脉冲响应不变法脉冲响应不变法优点：优点：时域脉冲响应的模仿性能好时域脉冲响应的模仿性能好

52、频率坐标的变换是线性的，频率坐标的变换是线性的，与与是线性关系。是线性关系。l脉冲响应不变法脉冲响应不变法缺点：缺点：p有频谱周期延拓效应有频谱周期延拓效应. 只能用于带限的频响只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通；特性，如衰减特性很好的低通或带通；0j1j 0T/T/S1平面平面RezImzj10Z平面平面S平面平面T/ T/ 1tan(/2)cT 1tanh(/2)scs T1s Tze 一一对应一一对应双线性变换法双线性变换法 优点：优点：S平面与平面与Z平面是单值的一一对应关系平面是单值的一一对应关系与与成成非线性非线性关系关系缺点缺点: 不会产生混叠现象；不会产生混叠现

53、象； 映射关系映射关系112 11zsTz1(/2)1(/2)TszTs22tgT 畸变：畸变：经经双线性变换双线性变换后，频率发生了非线性变化，后，频率发生了非线性变化， 相应地，数字滤波器的幅频特性相应地，数字滤波器的幅频特性在临界频率在临界频率点会发生非线性变化。这种频率点的畸变可点会发生非线性变化。这种频率点的畸变可以通过以通过预畸预畸来加以校正。来加以校正。注意：预畸不能在整个频率段消除非线性畸变，只注意：预畸不能在整个频率段消除非线性畸变，只能消除模拟和数字滤波器在特征频率点的畸能消除模拟和数字滤波器在特征频率点的畸变。变。 22iitgT 设计步骤：设计步骤：)2(2)2(2Tt

54、gTTtgTssppsp 预预畸畸和和阻阻带带临临界界频频率率一一：对对通通带带临临界界频频率率)(,sHspsp转转移移函函数数求求出出模模拟拟滤滤波波器器的的为为目目标标参参数数，二二：以以预预畸畸后后参参数数 三：通过变量代换求三：通过变量代换求H(z)置换过程置换过程: 频响频响：11112112 1( )( )1aazsTzzH zH sHTz222()()2jaatgTH eHjHjtgT 1. IIR滤波器的设计与实现。滤波器的设计与实现。 冲激不变法（或称为脉冲响应不变法）冲激不变法（或称为脉冲响应不变法）步骤：步骤：（1）将模拟滤波器的传递函数Ha（s）展开成部分分式的形式：

55、1( )NkakkAHsssNkTskzeTAzHk111)(（2）将由第（1）步所得到的sk代入到下式中：（3）设一个T值，并将T值和zej代入到上式中即可得到数字滤波器的频率响应。 T的选取应按照滤波器最高截止频率的的选取应按照滤波器最高截止频率的2倍以上倍以上选取（选取（T过大时，频率混叠现象严重。）过大时，频率混叠现象严重。）3. IIR模拟滤波器到数字滤波器的转换方法模拟滤波器到数字滤波器的转换方法（1）确定数字低通技术指标：）确定数字低通技术指标： 通带截止频率通带截止频率 、通带衰减、通带衰减 、 阻带截止频率阻带截止频率 、阻带衰减、阻带衰减 ；（2）将数字低通指标转换成模拟低

56、通指标：）将数字低通指标转换成模拟低通指标： （ 和和 不变不变 ） 边界频率的变换关系：边界频率的变换关系：pspsps)2tan(2T频率预畸变频率预畸变双线性变换法步骤：双线性变换法步骤：（3）设计模拟低通滤波器；）设计模拟低通滤波器；（4）转换成数字低通滤波器：）转换成数字低通滤波器： 这里的采样间隔这里的采样间隔T可任意选取可任意选取 通常取通常取 T=1或或T=211112| )()(zzTsasHzH4. IIR模拟滤波器到数字滤波器转换特性与模拟滤波器到数字滤波器转换特性与对应关系对应关系脉冲响应脉冲响应不变法不变法Ha(s)的极点si映射到z平面，其极点变为eSiT稳定条件：

57、 TreT 产生频率混叠现象，不适合高通、带阻滤波器的产生频率混叠现象，不适合高通、带阻滤波器的设计。设计。sTze（S Z）0 () z 1isTisse的实部左半平面的单位圆内11( )1kNks TkTAH zez0, 00,)(9 .0ttethta例：.设h(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应，用脉冲响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器（h(n)表示单位取样响应，即h(n)ha(nT)）。确定系统函数H(z)，并把T作为参数，证明：T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。0.901( )0.9tstaHseedtsHa(s)的极点s10

58、.9，数字滤波器系统函数应为110.9111( )11s TTHzezezH（z)的极点为0 .90 .9111 0 1 TTzezeTz，当时 ，( )H z 满足稳定条件。画出T=0.5和T=1时的幅频响应，由图可以看出数字滤波器近似是低通滤波器。（S Z）双线性变换法双线性变换法11112| )()(zzTsasHzH12tan()2TrearcT sTsTz22稳定条件： 消除了频率混叠，但产生了频率畸变现象，需要消除了频率混叠，但产生了频率畸变现象，需要预畸变处理。预畸变处理。0 () z iss的实部左半平面的单位圆内21( )1aHsss 21( )231aHsss5. 已知模拟

59、滤波器的传输函数为：已知模拟滤波器的传输函数为：（2）试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设滤波器，设T=2s。（1）21( )1aHsss ( )aH s130.52sj 230.52sj 解：（1）用脉冲响应不变法方法方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，直接按脉冲响应不变法设计公式， 的极点为：的极点为：3333( )33( 0.5)( 0.5)22ajjHssjsj 33( 0.5)( 0.5)11223333( )11jTjTjjH zezez( 13)1( 13)13333( )11jjjjH zezez 11

60、11222 3sin331 2cos 3z ez ee z代入T=2s22( ),()abHsc csab222213131()()()2422ssss 22213/22 3( )1313()()22aHsssss ( )aHs( )aHs方法方法2 直接套用直接套用4题题(2)所得公式，为了套用公式，先对所得公式，为了套用公式，先对为一常数，为一常数，的分母配方，将的分母配方，将 化成化成4题中的标准形式：题中的标准形式：由于所以13,22ab11222 3sin()( )T=2312cos()aTaTaTz ebTH zebT zez1111222 3sin331 2cos 3z ez e