§3.1—复变函数积分的概念

1、 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 积分法是研究复变函数性质和解决实际问题的十分重要积分法是研究复变函数性质和解决实际问题的十分重要方法方法. .解析函数的许多重要性质如解析函数的许多重要性质如“解析函数的导函数连续解析函数的导函数连续”及及“解析函数的各阶导数存在解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分学有关的命题，一般均要使用复积分. . 复变函数积分的概念、性质和计算法复变函数积分的概念、性质和计算法 Cauchuy-Goursat基本定理、复合闭路定理基本定理、复合闭路定理Cauchuy积分公式积分公式高阶导数公式高

2、阶导数公式解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系3.1 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一、积分的定义一、积分的定义二、积分的性质二、积分的性质三、积分存在的条件及其计算法三、积分存在的条件及其计算法3.1 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一、曲线的方向 设设C为为平面上给定的一条光滑平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, ,如如果选定果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向的两个可能方向中的一个作为正方向, ,那么称那么称C为为. .增大的方向为正方向。默认以参数，对于未指明方向的曲线ttiytxtz)()()() 1时针方向。增大方

3、向，同时也是逆其默认正方向是例：闭合曲线，圆逆时针方向为正。对于闭合曲线，默认以ttiRtRtzsincos)()2特别地：二、复变函数积分的定义定义：函数f(z)定义域为D,曲线C在D内, 起点A,终 点B. 1）分割曲线C，A=z0, z1,., zk-1, zk,., zn=BAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO 2）在每个小弧段 上任取一点 ,小弧段向量 ,作乘积：1-DkkkzzzkkzfD)(zzk-1zkkzAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyOzk-1zk 3）求黎曼和(Riemann)4) 取极限 (是最长小弧段的长度) 称此极限是函

4、数f(z)沿曲线C从A到B的积分，记为 若曲线是闭合的，记为 .Dnkkkzf1)(zDnkkkzf10)(limzCdzzf)(f(z)dzC lim0f(zk)Dzkk1n 注意：1、 函数在按段光滑的曲线上连续，则积分一定 存在。2、 若曲线C 就是x轴上的线段a, b，且复变函 数f(z)=u(x)时，dz=dx。复变函数积分就是 一元实变函数定积分。baCdxxudzzf)()(1)( )d( )d ;CCf zzf zz- -(2)( )d( )d ;() CCkf zzkf zzk为常数(3) ( )( )d( )d( )d ;CCCf zg zzf zzg zz12(4)( )

5、d:Cnf zzC CCC f(z)dzC1f(z)dzC2f(z)dzCn.三 积分的性质 即：方向性，线性性质，路径可加性f(z)dzCf(z) dsCML.(5) (5) ( (估值定理估值定理) )设曲线设曲线 C的长度为的长度为L，函数，函数f(z)在在C 上满足上满足f(z) M, f(z)dzCf(z) dsML.C那么那么证明证明: :由于由于 f(zk)k1nDzkf(zk)Dzkk1n1()nkkkfszD两边取极限得两边取极限得MLsMnkkD1kzD是是 与与 两点间的距离，两点间的距离， 是两点是两点之间弧度的长度，则之间弧度的长度，则zkzk-1Dsk四、 积分存在

6、的条件极其计算设光滑曲线 由参数方程： 给出，正方向为参数增加的方向，设 C( )( )i ( )zz tx ty t()t),(),()(,),(yxivyxuzfyixzkkkkkkz),(),(),(),()(,(),()(:kkkkkknknkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuyixivuzfz - - 1111则则:两边再取极限，即两边再取极限，即-CCCudyvdxiyvxuzzfddd)(公式法公式法( (一一) )：化复变函数积分为第二类曲线积分法：化复变函数积分为第二类曲线积分法积分存在的条件积分存在的条件：当：当 是连续函数而是连续函数而 是光滑曲是光滑

7、曲线时，积分线时，积分 是一定存在的是一定存在的.)(zfC( )Cf z dz 先利用自变量与函数的实部虚部先利用自变量与函数的实部虚部x,y,u,vx,y,u,v的形式将的形式将被积分式被积分式化为第二类曲线积分化为第二类曲线积分，再代入曲线的表达式，再代入曲线的表达式化成一元积分。化成一元积分。 - - ttztzftty itxtytxivtytxuttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzftyytxxCd)()(d)()()(),()(),(d)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)()()(分计算：分计算：时，按第二类曲线线积时，按第

8、二类曲线线积当曲线是参数方程当曲线是参数方程)( )( )( d)( )(d)(tiytxtzttztzfzzfC，其中，其中所以有公式法公式法( (二二) )：化复变函数积分为对参数：化复变函数积分为对参数t t的的一元函数积分一元函数积分例例1 1 . 43 : ,d 的直线段的直线段从原点到点从原点到点计算计算iCzzC 解：参数方程解法解：参数方程解法直线方程为直线方程为, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz .2)43(2i d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti2(34 )d2Ciz z iCC-xdyydxydy

9、xdx积分与路积分与路径无关径无关 idy)iy)(dx(xzdzCC 又解又解: 第二类曲线积分法第二类曲线积分法积分与路积分与路径无关径无关注：所以不论注：所以不论 C C 是怎样的连接是怎样的连接 原点到原点到 3+43+4i i 的的曲线，积分值与曲线路径无关！曲线，积分值与曲线路径无关！例例2 . , , ,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn - -解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz - -Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 - - innerizxy

10、or0z 0izzre- , 0 时时当当 n 20d i;2 i , 0 时时当当 n - - 20d)sin(cos ninrin; 0 - - - -rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni-20innderi-20innderi. i1 1 (2) ; i1 (1) : C ,Re(z)dz 32C的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线为其中：计例xxy算xyoi 11i2xy xyoi 11i2xy 解解(1)： 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 解解(2)： 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成xyoi 11i2xy x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 注：本题积分值与路径有关注：本题积分值与路径有关解解： 的方程为的方程为 由性质由性质5知知 例例4 4：设：设 为从原点到点为从原点