信息光学-傅立叶变换

1、(,)( , )exp2 ()xyxyF fff x yjf xf y dxdyyxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(傅里叶变换傅里叶变换:傅里叶逆变换傅里叶逆变换:f(x,y): 原函数；原函数； F(fx,fy): 像函数或频谱函数像函数或频谱函数F(fx,fy)=Ff(x,y)=F.T.f(x,y), F(fx,fy)=F-1f(x,y)=F.T. -1f(x,y), 傅里叶变换的基本性质和定理傅里叶变换的基本性质和定理原函数原函数频谱函数频谱函数1(fx,fy)(x,y)1(x-x0,y-y0)exp-j2(fxx0+fyy0)exp-j2(ax+by)(f

2、x-a, fy-b)cos2f0 x)cos2f0 x)sin2f0 x)sin2f0 x)xy001 f -f+ f +f2xxxx001+2xxj001 f -f f +f2jx xxx00-+2原函数原函数频谱函数频谱函数rect(x)rect(y)sinc(fx)sinc(fy)(x)(y)sinc2(fx)sinc2 (fy)sgn(x)sgn(y)comb(x)comb(y)comb(fx)comb(fy)exp-(x2+y2)exp-(fx2+fy2)22circxyxyjfjf11221222xyxyJffff 1.6 1.6 线性系统分析线性系统分析u 系统：广义上讲实现函数

3、变换的运算过程系统：广义上讲实现函数变换的运算过程从狭义上讲从狭义上讲物理学系统物理学系统电子系统电子系统光学系统光学系统光电混合系统等等光电混合系统等等u 系统的数学描述系统的数学描述系统的作用可以用一个算符来表示系统的作用可以用一个算符来表示输入输入f输出输出g 系统系统 L(表示系统的作用，某种变换处理)g=Lf系统系统线性线性非线性非线性光学光学系统系统 由光学元器件组成光路系统或仪器由光学元器件组成光路系统或仪器 光在自由空间中的传播光在自由空间中的传播 1.6.1 线性线性系统系统一、定义一、定义1）叠加性若),(),(),(),(112222111221yxfyxgyxfyxgL

4、L),(),(),(),(112111112111yxfyxfyxfyxfLLL),(),(222221yxgyxg则称该系统具有叠加性。叠加性：系统中的一个输入不影响系统对其它输入的影响。2）均匀性若),(),(1122yxfyxgL对任意常数a有下成立式),(),(),(221111yxagyxfayxaf LL均匀性：系统能够保持对输入信号的缩放因子不变。3)线性系统线性系统若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即),(),(),(),(1122111111221111yxfayxfayxfayxfaLLL),(),(22222211yxgayxga则称该

5、系统是线性系统。则称该系统是线性系统。二、线性系统的数学描述（线性系统的脉冲响应或二、线性系统的数学描述（线性系统的脉冲响应或点扩散函数）点扩散函数）1、线性系统分析的基本思想：、线性系统分析的基本思想： 一个复杂的输入信号（函数）f(x,y)，它可以分解成某些简单函数（也称基元函数基元函数）的线性叠加。 若系统对每个简单函数（基元函数）的输出已知（易求得），那么，系统对输入信号的输出响应就等于系统对这些简单函数（基元函数）的输出响应的线性叠加。)( )()(也可是积分nnnxfaxf11)()(12xfLxgnn则)( )()()(也可是积分nnnxgaxfLxg2121.6.2 线性平移不

6、变系统线性平移不变系统一、线性平移不变系统的定义一、线性平移不变系统的定义 平移不变性：若),(),(2211yxgyxfL),(),(02020101MyyMxxgyyxxfL则称该系统具有平移不变性。l 所谓平移不变性就是当输入产生平移时，输出也仅仅发生平移，形式不变。对于空间函数来讲，也称为空间平移不变性。 线性平移不变系统：既具有线性又具有平移不变性线性平移不变系统：既具有线性又具有平移不变性的系统称为平移不变系统。的系统称为平移不变系统。 对于光学成像系统而言，理想成像情况下，平移不变性是指：当物在物面发生平移时，它的像在像面上也仅发生相应平移，其中M是垂轴放大率。 实际的光学系统，

7、总有一定的孔径大小，总存在一定的像差，不满足严格的线性平移不变性，但在一定条件下，可近似为线性平移不变系统。二、线性平移不变系统的脉冲响应或点扩散函数二、线性平移不变系统的脉冲响应或点扩散函数 线性系统的脉冲响应（点扩散函数）为：),(),;,(1122yxLyxh 对于线性平移不变系统),(),;,(,(MyMxhyxhyxL222211如果对输入、输出的取适当的标度，可使M1，则),(,(),;,(221122yxhyxLyxh),(22yxh称为线性平移不变系统的脉冲响应。系统的输出：ddyxhfyxg),(),(),( 2222),(*),(2222yxhyxf的输出响应。点的点脉冲是

8、系统对输入面坐标原其中),(),(1122yxyxh 上式表明：对于线性平移不变系统，其性质完全可以由位于坐标原点的响应h(x2,y2)决定，即对于任意输入函数，其输出就等于该函数与h(x2,y2)的卷积。线性平移不变系统的本征函数式中式中a a为一复常数为一复常数, ,yxafyxfF,若若的本征函数的本征函数yxf,则则称为算符称为算符 F光学中常用的本征函数光学中常用的本征函数复指数函数复指数函数yxj2exp余弦或正弦函数余弦或正弦函数yx002cos1-7 光波的数学描述单色光波场的复振幅表示光场随时间的变化关系光场随时间的变化关系: 由频率由频率n n表征表征.光振动是空间点光振动

9、是空间点 (P)和时间和时间(t)的实简谐函数的实简谐函数, 可表为可表为:u(P,t) = a(P)cos2 n nt - j j(P)振幅振幅频率频率初位相初位相可见光可见光: n n 1014Hz严格单色光严格单色光: n n为常数为常数光场随空间的变化关系体现在光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同空间各点的振幅可能不同(2) 空间各点的初位相可能不同空间各点的初位相可能不同, 由传播引起由传播引起.光场变化的空间周期为光场变化的空间周期为l l. .光场变化的时间周期为光场变化的时间周期为1/ n. n.将光场用复数表示将光场用复数表示,有利于简化运算有利于简化

10、运算单色光波场的复振幅表示光场随时间的变化光场随时间的变化e -j2nnt不重要不重要: u(P,t) = a(P)cos2nnt - j j(P) = ea(P)e-j2nnt -j j(P) n n 1014Hz, 无法探测无法探测n n为常数为常数,线性运算后亦不变线性运算后亦不变对于携带信息的光波对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分感兴趣的是其空间变化部分.故引入复振幅故引入复振幅U(P):将光场用复数表示将光场用复数表示,有利于简化运算有利于简化运算= ea(P) e jj j(P). e -j2nnt 复数表示有利于复数表示有利于将时空变量分开将时空变量分开U(P) =

11、a(P) e jj(P)#单色光波场的复振幅表示: 说明 U(P)是空间点的复函数是空间点的复函数, 描写光场的空间分布描写光场的空间分布, 与时间无关与时间无关;U(P) = a(P) e jj j(P) U(P)同时表征了空间各点的振幅同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|和相对位相和相对位相arg(U)= j j(P) 方便运算方便运算,满足叠加原理满足叠加原理 实际物理量是实量实际物理量是实量. 欲恢复为真实光振动欲恢复为真实光振动:# 光强分布光强分布: I = UU* 光强是波印廷矢量的时间平均值光强是波印廷矢量的时间平均值, 正比于电场振幅的平方正比于电场振幅的

12、平方 u(P,t)= eU(P)exp(-j2nnt) 即可即可球面波 : 空间分布点光源或会聚中心点光源或会聚中心球面波球面波: 等相面为球面等相面为球面, 且所有等相面有且所有等相面有共同中心共同中心的波的波k = | k |=2 /l l , 为波数为波数. 表表示由于波传播示由于波传播, 在单位长度在单位长度上引起的位相变化上引起的位相变化, 也表明也表明了光场变化的了光场变化的“空间频率空间频率”(P(x,y,z)0zyx源点S(rk设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r, k: 传播矢量#球面波的等位相面球面波的等位相面: kr=c 为球面为球面jkreraPU0)

13、(则则P点处的复振幅点处的复振幅:j j(P) = k . rk : 传播矢量传播矢量球面波球面波: k/ra0: 单位距单位距离处的光振离处的光振幅幅球面波 : 空间分布会聚球面波会聚球面波jkreraPU0)(距离距离 r 的表达的表达若球面波中心在原点若球面波中心在原点: 222zyxr(P(x,y,z)会聚点会聚点S(r若球面波中心在若球面波中心在 S (x0, y0, z0): 202020)()()(zzyyxxr#0zyxk球面波 : 在给定平面的分布以系统的光轴为以系统的光轴为z轴轴,光沿光沿 z 轴正方向传轴正方向传播播.所考察的平面垂直于所考察的平面垂直于z 轴轴令点光源位

14、于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处. 考察与其距离为z的x - y平面上的光分布Sx0zxy0y02/ 1220202/ 122020)()(1 )()(zyyxxzzyyxxr需要作近轴近似#球球面波面波 : 近轴近似近轴近似只考虑只考虑 x - y平面上对源点平面上对源点S张角不大的范围张角不大的范围, 即即1)()(22020zyyxxzyyxxzr2)()(2020可以作泰勒展开可以作泰勒展开(1+D D)1/2 1+ D D /2一级近似一级近似二级近似二级近似对振幅中对振幅中r 的可作一级近似的可作一级近似. 但因为但因为 k 很大很大, 对位相中的对位相中的 r 须作二级

15、近似须作二级近似#二、球面波二、球面波 : 近轴近似近轴近似已将球面波中心取在已将球面波中心取在 z = 0的平面的平面, 且光波沿且光波沿 z 轴正方向传播轴正方向传播.如果如果 z 0, 上式代表从上式代表从 S 发散的球面波发散的球面波.如果如果 z 0, 上式代表向上式代表向 S 会聚的球面波会聚的球面波.20200)()(2exp)exp(),()(yyxxzkjjkzzayxUPU对给定平面对给定平面是常量是常量随随x, y变化的二次位相因子变化的二次位相因子球面波特征位相球面波特征位相#)(2exp)exp(),(220yxzkjjkzzayxU球面波中心球面波中心在原点在原点:

16、光波的数学描述光波的数学描述三、三、 平面波平面波: 空间分布空间分布等相面为平面等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量且这些平面垂直于光波传播矢量 k.等相平面的法线方向等相平面的法线方向 k (kcos , kcos , kcosg g)k 的方向余弦的方向余弦, 均为常均为常量量以以 k 表示的等相平面方程为表示的等相平面方程为 k .r = const.故平面波复振幅表达式为故平面波复振幅表达式为:)coscoscos(exp )exp(),(gzyxjkajazyxUrk线性位相因子#常量振幅#光波的数学描述三、平面波: 在给定平面的分布在x-y平面上的等位相线 xcos + y

17、cos = const为平行直线族)coscos(exp ),(yxjkAyxU在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:g22coscos1cos )coscos(exp)coscos1exp(),( 22zyxjkjkzazyxU随x,y线性变化的位相因子常数幅相因子, A四、平面波的空间频率在与原点相距为在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布的平面上考察平面波的位相分布.等位相线是等位相线是平行直线族平行直线族. 为简单计为简单计, 先看先看k在在x-z平面内平面内: cos =0等位相面是平行于等位相面是平行于y 轴的一系列平面轴的一系列平面, 间隔为间隔为l lz等位

18、相面与等位相面与x-z平面相交平面相交形成平行直线形成平行直线等位相面与等位相面与x-y平面相交平面相交形成平行于形成平行于y轴的直线轴的直线)cosexp( ),(jkxAyxU复振幅分布复振幅分布:沿沿x方向的等相线方向的等相线间距间距:lcoscos2kX#四、平面波的空间频率四、平面波的空间频率)cosexp( ),(jkxAyxU复振幅分布复振幅分布:lcos1Xfx定义定义 复振幅分布在复振幅分布在x方向的空间频率方向的空间频率: lcos1Xfx#复振幅分布可改写为复振幅分布可改写为:)2exp( ),(xfjAyxUxY = , fy=0对于在对于在x-z平面内传播的平面波平面

19、内传播的平面波, 在在y方向上有方向上有:平面波的空间频率平面波的空间频率: 一般情形一般情形定义定义:复振幅变化空间周期的倒数称为空间频率复振幅变化空间周期的倒数称为空间频率平面波在平面波在x和和y方向的空间频率分别为方向的空间频率分别为:llcos1 ;cos1YfXfyxcos , cos 为波为波矢的方向余弦矢的方向余弦若波矢在若波矢在x-z平面或平面或y-z平面中平面中, 又常用它又常用它们的余角们的余角q qx (q qy)表示表示,故故:lqlqyyxxYfXfsin1 ;sin1)coscos(exp ),(yxjkAyxU引入空间频率概念后引入空间频率概念后, 单色平面波在单

20、色平面波在xy 平面的复振平面的复振幅分布可以表示为幅分布可以表示为 )(2exp ),(yfxfjAyxUyx#平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念空间频率的单位空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周周/mm, 条数条数/mm 等等空间频率的正负空间频率的正负:表示传播方向与表示传播方向与x(或或y)轴的夹角小于或大于轴的夹角小于或大于90 在给定的坐标系在给定的坐标系, 任意单色平面波有一组对应的任意单色平面波有一组对应的fx和和fy,它仅决定于光波的波长和传播方向它仅决定于光波的波长和传播方向.反之反之, 给定一组给定一组fx和和fy, 对

21、于给定波长的单色平面波就能对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向确定其传播方向cos =l,l,fx , , cos =l,l,fy 要与光的时间频率严格区分开要与光的时间频率严格区分开空间比时间更具体空间比时间更具体,更直观更直观,是有形的是有形的如果在如果在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布周期分布,则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.二维二维F.T.在光学上的意义在光学上的意义:#yxyxyxdfdfyfxfjffGyxg)( 2exp)(),(,五、复振幅分布的

22、空间频谱(角谱)即即: 把把U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合看作频率不同的复指数分量的线性组合, 各分各分量的权重因子是量的权重因子是A(fx, fy). dxdyyfxfjyxUffAyxyx)(2exp),( ),(A(fx, fy) 称为称为xy平面上复振幅分布的频谱平面上复振幅分布的频谱对对xy平面上单色光场的复振幅分布平面上单色光场的复振幅分布U(x,y)进行傅里叶分析进行傅里叶分析:yxyxyxdfdfyfxfjffAyxU)(2exp),(),( 物理上物理上, expj2 (fxx+fyy) 代表传播方向余弦为代表传播方向余弦为cos =l lfx, cos =l lfy 的的单色平面波在单色平面波在xy平面的复振幅分布平面的复振幅分布,