现代控制理论第4章

1、2022年年3月月22日日第第4章第章第1页页第第4章第章第2页页2022年年3月月22日日概述概述 能控性（能控性（controllability）和能观测性（）和能观测性（observability) 的概念的概念于 60年代初由卡尔曼提出。年代初由卡尔曼提出。 所谓所谓能控性能控性，指输入，指输入u能否控制状态变化；以便使状态变量沿期能否控制状态变化；以便使状态变量沿期望状态轨迹运动。望状态轨迹运动。 控制器需通过状态反馈来给出合适的控制器需通过状态反馈来给出合适的u，但并非所有的状态变量，但并非所有的状态变量都是能测量的。即需要研究由系统输出的测量值估计状态变量都是能测量的。即需要研究

2、由系统输出的测量值估计状态变量（初始状态）的可能性，即所谓（初始状态）的可能性，即所谓能观性能观性。 系统控制、综合和设计问题，如系统控制、综合和设计问题，如极点配置、观测器设计极点配置、观测器设计、解耦问、解耦问题、最优控制、最优估计等，都与能控性和能观性密切相关。题、最优控制、最优估计等，都与能控性和能观性密切相关。2022年年3月月22日日第第4章第章第3页页第第4章第章第4页页2022年年3月月22日日4.1.1能控性基本概念能控性基本概念实例实例1：如图所示电气网络，输入变量是电压源：如图所示电气网络，输入变量是电压源u(t)，输出变量是端电压，输出变量是端电压y(t)，取取C端电压

3、端电压x(t)作为状态变量。作为状态变量。在在u(t)作用下，由于作用下，由于4个电阻阻值相等，当个电阻阻值相等，当t t0时，有时，有显然，输入显然，输入u(t)不能影响电容不能影响电容C端电压，状态端电压，状态x(t)不能控，即此电路是不能不能控，即此电路是不能控的。控的。0( )( )x tx t 初始状态初始状态第第4章第章第5页页2022年年3月月22日日实例实例2：如图所示电气网络，输入变量是电压源：如图所示电气网络，输入变量是电压源u(t)，输出变量是端电压，输出变量是端电压y(t)，取取C端电压端电压x1(t) 、x2(t)作为状态变量。作为状态变量。 直观可见：由于两并联支路

4、完全相同，若两电容初始状态相同直观可见：由于两并联支路完全相同，若两电容初始状态相同x0=0，则有则有 显然，对于任意的输入显然，对于任意的输入u(t) ，不可能有，不可能有x1(t) x2(t) ，表明电路是部分能，表明电路是部分能控的。控的。1212ccuuxx不能控不能控子空间子空间第第4章第章第6页页2022年年3月月22日日实例实例3：某系统状态结构如下，：某系统状态结构如下， 可知，状态可知，状态x1与输入隔断，其运动形式为初始状态与输入隔断，其运动形式为初始状态x1(0)引起的自由响引起的自由响应，故系统不能控。应，故系统不能控。( )u t( )y t1x2x3 通过以上三例可

5、知，系统内部状态与输入之间，存在是否能控的问通过以上三例可知，系统内部状态与输入之间，存在是否能控的问题。不能控系统，其不能控状态分量与输入既无直接关系，又无间接关题。不能控系统，其不能控状态分量与输入既无直接关系，又无间接关系。为了揭示能控性的本质，并用于分析更一般和更复杂的系统，需要系。为了揭示能控性的本质，并用于分析更一般和更复杂的系统，需要对其进行严格的定义，并导出相应的判断准则。对其进行严格的定义，并导出相应的判断准则。 第第4章第章第7页页2022年年3月月22日日4.1.2 能控性定义能控性定义1、定义、定义对于动力学系统对于动力学系统 xAxBu ,) （A B 如果对于任意给

6、定状态如果对于任意给定状态x(t0)、x(tf)，均存在一个分段连续，均存在一个分段连续（可导）的输入（可导）的输入u(t)，能在，能在t0，tf有限时间内，使系统从有限时间内，使系统从x(t0)转转移到任意的移到任意的x(tf)，则称，则称系统状态完全能控系统状态完全能控，简称系统是，简称系统是能控的能控的。 如果如果tf无论取多大，都不能将无论取多大，都不能将x(t0)转移到转移到x(tf)，则系统不能控。，则系统不能控。 系统能控性与输出无关，故只考虑系统状态方程，即系统能控性与输出无关，故只考虑系统状态方程，即A、B阵，简记为阵，简记为第第4章第章第8页页2022年年3月月22日日2、

7、说明、说明1）若系统状态不完全能控，可能仍有一部分状态能控，另一部分状）若系统状态不完全能控，可能仍有一部分状态能控，另一部分状态不能控。此时，可把它们分解为完全能控子空间和完全不能控子态不能控。此时，可把它们分解为完全能控子空间和完全不能控子空间。空间。2）定义中对输入）定义中对输入u和状态轨迹不加限制，只关心能控状态的分布。和状态轨迹不加限制，只关心能控状态的分布。 u理论上无约束，取值是非唯一的。理论上无约束，取值是非唯一的。3）能控和能达）能控和能达能控：初态能控：初态x(t0)为任意非零点，终态为任意非零点，终态x(tf)为原点。为原点。能达：初态能达：初态x(t0)为原点，终态为原

8、点，终态x(tf)为任意非零点。为任意非零点。 对于线性定常连续系统，由状态转移的可逆性，能控与能达是对于线性定常连续系统，由状态转移的可逆性，能控与能达是等价的。今后分析均按照第一种定义。等价的。今后分析均按照第一种定义。第第4章第章第9页页2022年年3月月22日日4.1.3 能控性判据能控性判据 分析能控性，只需要考虑分析能控性，只需要考虑A阵和阵和B阵。阵。 A阵由系统自身结构、内部参数决定；而控制矩阵阵由系统自身结构、内部参数决定；而控制矩阵B与与控制作用的施加点有关。控制作用的施加点有关。 所以，系统的能控性完全决定于系统本身的结构、参数所以，系统的能控性完全决定于系统本身的结构、

9、参数与控制作用的施加点。与控制作用的施加点。一、一、对角线型、约当标准型判据对角线型、约当标准型判据二、二、秩判据秩判据PBH判据判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据第第4章第章第10页页2022年年3月月22日日非奇异变换不改变系统的能控性非奇异变换不改变系统的能控性 已经证明：线性变换不改变系统的特征值，若第已经证明：线性变换不改变系统的特征值，若第i个状个状态不能控，即：态不能控，即：( )(0)itiix te xite自由分量不能控，即相应特征根的自然模式：自由分量不能控，即相应特征根的自然模式：不能控。不能控。 由于系统线性变换不改变系统的特征值，所以也不改由于系统线性变换不改变系统的

10、特征值，所以也不改变系统的能控性。变系统的能控性。第第4章第章第11页页2022年年3月月22日日1 对角线、约当标准型判据对角线、约当标准型判据1）具有约当标准型的系统的能控性判据）具有约当标准型的系统的能控性判据（1）系统特征根为单根）系统特征根为单根定理：线性定常系统具有互不相同的特征值时，其状态完全能定理：线性定常系统具有互不相同的特征值时，其状态完全能控的充要条件是：控的充要条件是： 系统经非奇异变换后的对角型状态空间描述中，系统经非奇异变换后的对角型状态空间描述中，B阵不包含阵不包含全为零的行。全为零的行。（每个状态至少受一个外力控制）（每个状态至少受一个外力控制）12300nrR

11、R，xxBuxu 第第4章第章第12页页2022年年3月月22日日（2）系统特征根有重根）系统特征根有重根 系统能控的充要条件为：系统能控的充要条件为：B阵中，对应于每个约当块的阵中，对应于每个约当块的最后一行元素不全为零；最后一行元素不全为零；B阵中对应于单根部分不包含全为阵中对应于单根部分不包含全为零的行。零的行。（重根部分第一个状态（重根部分第一个状态xq至少受一个外力控制）至少受一个外力控制）112200nrn rn nllRR，xJxBuxuJBJBJBJB第第4章第章第13页页2022年年3月月22日日注：注： 约当块具有串联结构，若状态约当块具有串联结构，若状态xq能够通过输入被

12、能够通过输入被控，则该状态之后的状态控，则该状态之后的状态xq-1 ， x1都能控；都能控； 若能够直接被控的是后面某一个状态，则该状若能够直接被控的是后面某一个状态，则该状态之前的状态都与输入隔断而不能控，该状态态之前的状态都与输入隔断而不能控，该状态之后的状态则能控。之后的状态则能控。第第4章第章第14页页2022年年3月月22日日2）具有一般形式的系统）具有一般形式的系统引入状态变换引入状态变换 xxBu -1，xTzzT x-1-1-1 zT ATzT BuzT BuyCTz+ Du+=+ 由于线性变换（非奇异变换）不改变系统的能控性由于线性变换（非奇异变换）不改变系统的能控性，所，所

13、以，一般系统其状态完全能控的充要条件是：以，一般系统其状态完全能控的充要条件是：1. 特征值互异，特征值互异，T-1B阵不包含全为零的行。阵不包含全为零的行。2.特征值有重根：特征值有重根： 每个约当块的最后一行元素对应每个约当块的最后一行元素对应T-1B的元素不全为零。的元素不全为零。 互异根部分对应互异根部分对应T-1B的各行元素不全为零。的各行元素不全为零。第第4章第章第15页页2022年年3月月22日日注注： 若在若在T-1AT中，出现两个以上与同一特征根有关的约当块，中，出现两个以上与同一特征根有关的约当块，则：则：1.单输入系统：单输入系统：系统不能控；系统不能控；2.多输入系统：

14、多输入系统：看看 T-1B中与相同特征根对应的约当块的最后中与相同特征根对应的约当块的最后一行元素所形成的向量是否一行元素所形成的向量是否行线性无关行线性无关，线性无关，系统才，线性无关，系统才能控。能控。 第第4章第章第16页页2022年年3月月22日日2.秩判据秩判据1）单输入系统）单输入系统定理：线性定常系统状态完全能控的充要条件是系统能定理：线性定常系统状态完全能控的充要条件是系统能控性判别矩阵满秩，即控性判别矩阵满秩，即n为状态向量的维数。为状态向量的维数。u xxb 当当 ，系统不能控。，系统不能控。ranknMM为为n阶方阵阶方阵21nranknMbAbAbA bM1n1n1n第

15、第4章第章第17页页2022年年3月月22日日2）多输入系统）多输入系统定理：线性定常系统状态完全能控的充要条件是系统能定理：线性定常系统状态完全能控的充要条件是系统能控性判别矩阵满秩，即控性判别矩阵满秩，即21nranknMBABA BABM xxBu 当当 ，系统不能控，系统不能控ranknMM是是nnr矩阵，而不是单输入系统的矩阵，而不是单输入系统的nn矩阵。矩阵。n nn rn rn rn个行向量线性无关个行向量线性无关第第4章第章第18页页2022年年3月月22日日行线性无关。行线性无关。TrankrankMMM 多输入系统中，矩阵多输入系统中，矩阵M为为nnr矩阵，如果阶次矩阵，如

16、果阶次n与输入维数与输入维数r较大，判较大，判别矩阵别矩阵M的秩较困难，考虑到的秩较困难，考虑到可通过判别可通过判别M M T这样的这样的nn矩阵来求秩。矩阵来求秩。26617632172213TTrankMMMM101201010010B AB另外，在多输入系统中，有时并不需要求出全部另外，在多输入系统中，有时并不需要求出全部M阵。阵。实际上，多输入系统的能控性条件较易满足。实际上，多输入系统的能控性条件较易满足。第第4章第章第19页页2022年年3月月22日日 在系统已经为对角线、约当型标准型时，可以直接判断；在系统已经为对角线、约当型标准型时，可以直接判断；反 之 ，则 秩 判 据 较为

17、适用，并可根据其算 法 直 接 用反 之 ，则 秩 判 据 较为适用，并可根据其算 法 直 接 用MATLAB编程求解。编程求解。第第4章第章第20页页2022年年3月月22日日4.1.4 输出能控性及判据输出能控性及判据 在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。控制系统的状态能控性与输出能控性之间没有必然联系。控制系统的状态能控性与输出能控性之间没有必然联系。 如果存在一个无约束的控制量如果存在一个无约束的控制量u(t)，在有限时间，在有限时间t0，tf内，使得任一初内，使得任一初始输出始输出y(t0)，能够转移

18、到任意输出，能够转移到任意输出y(tf)，则称这一系统为输出完全能控，则称这一系统为输出完全能控，简称输出能控。简称输出能控。 可以证明，系统输出完全能控的充分必要条件是下列可以证明，系统输出完全能控的充分必要条件是下列 m(n+1)r矩阵满矩阵满秩，即秩，即21nrankmCBCABCA BCABDnrmRRR，xxBuxuyCxDuy 2022年年3月月22日日第第4章第章第21页页第第4章第章第22页页2022年年3月月22日日反馈控制：反馈控制：在现代控制理论中，反馈信息是通过系统的状在现代控制理论中，反馈信息是通过系统的状态变量组合而成。由于并非所有状态变量在物理上都可测态变量组合而

19、成。由于并非所有状态变量在物理上都可测量，于是提出能否通过对输出的测量而获得全部状态变量量，于是提出能否通过对输出的测量而获得全部状态变量的信息，即系统的能观性问题。的信息，即系统的能观性问题。能观性：能观性：研究状态和输出的关系，通过对输出量在有限的研究状态和输出的关系，通过对输出量在有限的时间内的测量，识别系统的状态。实质上，是对系统初始时间内的测量，识别系统的状态。实质上，是对系统初始状态的识别。状态的识别。000( )() ( )()( )tttttttdxxBuyCxDu 第第4章第章第23页页2022年年3月月22日日4.2.1能观性基本概念能观性基本概念1 例子例子 直观可见：由

20、于两并联支路完全相同，电容端电压为直观可见：由于两并联支路完全相同，电容端电压为显然，显然，u(t)=0时，时， y(t)=0，不可能由输出判断电容的初始状态，表，不可能由输出判断电容的初始状态，表明电路是不能观的。明电路是不能观的。1）输入变量是电压源）输入变量是电压源u(t) ，输出变量是端电压，输出变量是端电压y(t) ，取，取C端电压端电压x(t)作为状态作为状态变量。变量。0( )( )x tx t第第4章第章第24页页2022年年3月月22日日2）21112011uy xxx333312ttttttttteeeeeeeeeA设设u(t)0，则，则y(t)仅取决于初始状态仅取决于初始

21、状态x(0)=x0，为，为331003320103331020201( )112ttttttttttttxeeeey texeeeexeexxex Acx第第4章第章第25页页2022年年3月月22日日 故当故当x10=x20时，时，y(t)=0（t0），输出无任何响应，该系统），输出无任何响应，该系统部分不能观测。部分不能观测。31020( )()ty txxe不能观不能观子空间子空间第第4章第章第26页页2022年年3月月22日日3）某系统状态结构如图所示，）某系统状态结构如图所示，由于状态由于状态x1与输出完全隔断，故该系统是不能观测的。与输出完全隔断，故该系统是不能观测的。uy1x2x

22、3第第4章第章第27页页2022年年3月月22日日4.2.2 能观性定义能观性定义 对于线性连续定常系统的对于线性连续定常系统的任意初态任意初态x(t0)，如果对任意，如果对任意输入向量输入向量u(t)，均能根据输出向量，均能根据输出向量y(t)在有限时间区间在有限时间区间t0, t1内的测量值，唯一确定内的测量值，唯一确定x(t0)，则称系统状态完全能观测，则称系统状态完全能观测，简称能观，否则称为不能观测（不完全能观测）。简称能观，否则称为不能观测（不完全能观测）。 nrmRRR，xxBuxuyCxy 第第4章第章第28页页2022年年3月月22日日000( )() ( )()( )ttt

23、ttttdxxBu 说明说明1.只有状态空间中所有有限点都是能观测的，系统才是能只有状态空间中所有有限点都是能观测的，系统才是能观的：观的：3.能观测性表示输出反映状态变量的能力，由输入引起的能观测性表示输出反映状态变量的能力，由输入引起的输出响应是已知的（可算出），因此，能观性与输入无直输出响应是已知的（可算出），因此，能观性与输入无直接关系，在定义中可以不涉及输入，令接关系，在定义中可以不涉及输入，令u0，只需从齐次，只需从齐次状态方程和输出方程考虑，简记为：状态方程和输出方程考虑，简记为：( ,) A C2.一旦确定了初始状态，便可根据给定的控制输入一旦确定了初始状态，便可根据给定的控制

24、输入u(t)，利，利用状态转移矩阵求出任意时刻的瞬时状态：用状态转移矩阵求出任意时刻的瞬时状态：第第4章第章第29页页2022年年3月月22日日1( )( )( )( )ttttyCxxCy1n4. （1）若输出）若输出y的维数的维数=x的维数，且的维数，且C阵非奇异，有阵非奇异，有 可由一组可由一组y(t)确定系统状态，无需观测时间。确定系统状态，无需观测时间。 （2）一般情况下，输出）一般情况下，输出y的维数状态的维数状态x的维数，则需测的维数，则需测几组输出数据，构成几组输出数据，构成n个方程，并需要在时间上有一定间隔，个方程，并需要在时间上有一定间隔，即需要观测时间即需要观测时间tft

25、0。5.若系统状态不完全能观，可能仍有一部分状态能观，另一若系统状态不完全能观，可能仍有一部分状态能观，另一部分状态完全不能观。此时，可把它们分解成完全能观子空部分状态完全不能观。此时，可把它们分解成完全能观子空间和完全不能观子空间。间和完全不能观子空间。 第第4章第章第30页页2022年年3月月22日日4.2.3 能观性判据能观性判据例例4.11 判断以下系统的能观性。判断以下系统的能观性。通过测量通过测量y可以预估可以预估x2的初始状态的初始状态x2(0)，但无法估计，但无法估计x1(0)。12(0)21(0)01(0)02xyx，x=x=xx2101ttteeA221212222222(

26、0)1(0)(0)(0)(0)01(0)( )0ttttttxtextexeexexyexx Axx=解：解：第第4章第章第31页页2022年年3月月22日日基本方法：可先化为对角线型或约当型。基本方法：可先化为对角线型或约当型。1、对角型、约当型判据、对角型、约当型判据1）对角型判据（互异特征根）对角型判据（互异特征根）12300nR，xxxyCx定理：线性定常系统定理：线性定常系统A，B，C具有互不相同的特征值，则其状态具有互不相同的特征值，则其状态能观的充要条件是：能观的充要条件是： 系统经非奇异变换后获得的对角型中，矩阵系统经非奇异变换后获得的对角型中，矩阵C不包含有元素全为不包含有元

27、素全为零的列。零的列。 （对应状态至少可通过一个输出观测）（对应状态至少可通过一个输出观测）第第4章第章第32页页2022年年3月月22日日 2）约当型判据）约当型判据121200nmnn nm nlRR，xJxxyCxyJJJCCCCJ定理：若线性定常系统定理：若线性定常系统A，B，C具有相同的特征值，则其状态能观的充具有相同的特征值，则其状态能观的充要条件是：要条件是： 系统经非奇异变换后获得的约当型中，系统经非奇异变换后获得的约当型中，C阵中对应每个约当块的第一阵中对应每个约当块的第一列列元素不全为零，（对应重根部分状态列列元素不全为零，（对应重根部分状态x1至少与一个输出有关），至少与

28、一个输出有关）， C阵阵中对应于单根部分不包含全为零的列。中对应于单根部分不包含全为零的列。 如果系统具有特征值相同的特征块，则除上述条件外，与重特如果系统具有特征值相同的特征块，则除上述条件外，与重特征根对应的征根对应的C矩阵的首列元素必须列线性无关。若单输出系统出现矩阵的首列元素必须列线性无关。若单输出系统出现此现象，系统不能观。此现象，系统不能观。第第4章第章第33页页2022年年3月月22日日注：注： 约当块具有串联结构，若约当块具有串联结构，若x1能够通过输出观测，则驱能够通过输出观测，则驱动该状态前面的状态动该状态前面的状态x2 ， xq都能够观测；都能够观测； 若能够直接观测的是

29、前面某一个状态，则该状态后面若能够直接观测的是前面某一个状态，则该状态后面的状态都与输出隔断而不能观，该状态之前的状态则的状态都与输出隔断而不能观，该状态之前的状态则能观。能观。210021002010 xxyxx2、 x3能观，能观， x1不能观不能观第第4章第章第34页页2022年年3月月22日日2、秩判据、秩判据1nCCANCA定理：线性定常系统状态完全能观的充要条件是系统定理：线性定常系统状态完全能观的充要条件是系统能能观性判别矩阵观性判别矩阵满秩，即满秩，即n为状态向量的维数。为状态向量的维数。00( )t，xxxxyCx 系统不能观系统不能观ranknNranknNm nm n n

30、 n个列向量线性无关个列向量线性无关第第4章第章第35页页2022年年3月月22日日 与能控性判别类似，在系统已经为对角线、约当型标准与能控性判别类似，在系统已经为对角线、约当型标准型时，可以直接判断；反之，则秩判据较为适用，并可根据型时，可以直接判断；反之，则秩判据较为适用，并可根据其算法直接用其算法直接用MATLAB编程求解。编程求解。2022年年3月月22日日第第4章第章第36页页第第4章第章第37页页2022年年3月月22日日4.3.1线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据 对任意给定的一个初始状态对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在有限时间区间，如果在有限时间区间t0

31、，tf内，存在一个无约束的控制向量内，存在一个无约束的控制向量u(t0, tf)，使，使 x(tf)=0，则称系统在则称系统在t0时刻是状态完全能控的，简称系统在时刻是状态完全能控的，简称系统在t0时刻是时刻是能控的。能控的。 时变系统与定常系统能控性定义基本上是一致的。由于时变系统与定常系统能控性定义基本上是一致的。由于A(t)、B(t)是时变矩阵，其状态向量的转移与初始时刻是时变矩阵，其状态向量的转移与初始时刻t0的选的选取有关，因此取有关，因此时变系统需要强调系统在时变系统需要强调系统在t0时刻是能控的时刻是能控的。1.定义定义000( )( ) ,( ),tttt tJ xAxBuxx

32、第第4章第章第38页页2022年年3月月22日日2. 判据判据 由于由于A(t)、B(t)是时变矩阵，线性连续时变系统无法直接用是时变矩阵，线性连续时变系统无法直接用A(t)、B(t)来来判断能控性。线性时变系统的能控性判别准则有好几种，但它们在代数上判断能控性。线性时变系统的能控性判别准则有好几种，但它们在代数上是等价的。是等价的。 定理定理 线性时变系统在线性时变系统在t0时刻状态完全能控的充分必要条件是下列格拉时刻状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆姆(Gram)矩阵为非奇异矩阵。矩阵为非奇异矩阵。00000( ,)( , ) ( )( )( , )ftTTcfftt tttdtt，W

33、BB 格拉姆矩阵由系统状态矩阵格拉姆矩阵由系统状态矩阵A(t)和控制矩阵和控制矩阵B(t)决定。因此系统决定。因此系统的能控性是由系统自身结构、参数决定的固有特性，与系统的具体的能控性是由系统自身结构、参数决定的固有特性，与系统的具体瞬时特性无关。瞬时特性无关。 由于时变系统状态转移矩阵的求解的困难，能控性格拉姆矩阵由于时变系统状态转移矩阵的求解的困难，能控性格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。判据主要用于理论分析。第第4章第章第39页页2022年年3月月22日日推论推论 假设矩阵假设矩阵A和和B是是n-1次连续可微的，在时间区间次连续可微的，在时间区间t0，tf上，若有上，若有 本推论对于时变系

34、统是充分条件，即不满足此条件的时变系统本推论对于时变系统是充分条件，即不满足此条件的时变系统不一定是不能控的；而对于线性定常系统则为充分必要条件。不一定是不能控的；而对于线性定常系统则为充分必要条件。011( )( )( )( )rank()nftttttnMMMMM01( )( )d( )( )( )( ),0,1,2,2dtkkktttttt kn MBMAMM则系统在则系统在t0时刻是状态完全能控的，其中分块矩阵为时刻是状态完全能控的，其中分块矩阵为第第4章第章第40页页2022年年3月月22日日4.3.2 线性时变系统的能观性判据线性时变系统的能观性判据 若对状态空间中的任一时刻若对状

35、态空间中的任一时刻t0的状态的状态x(t0)，存在一有限时间，存在一有限时间t0，tf，使得由控制输入，使得由控制输入u(t0，tf)和输出和输出y(t0，tf)的信息足以确定的信息足以确定x(t0)，则，则称时变系统在称时变系统在t0时刻是完全能观测的。时间区间时刻是完全能观测的。时间区间t0，tf是识别初始状是识别初始状态所需要的观测时间，对于时变系统，此时间区间的大小与初始时态所需要的观测时间，对于时变系统，此时间区间的大小与初始时刻刻t0的选择有关。的选择有关。 实际上，考虑实际上，考虑u=0，若，若t0时刻的初始状态时刻的初始状态x(t0)引起的系统输出有引起的系统输出有1.定义定义

36、000( )( ) ,( ),( )( )tttt tJtt xAxBuxxyCxDu000( )( ) ( , ) ( ),ttt tttt0yCx 则则x(t0)为为t0时刻不可观测的状态。时刻不可观测的状态。第第4章第章第41页页2022年年3月月22日日2. 判据判据定理定理 线性时变系统在线性时变系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格拉姆时刻能观测的充要条件是下列格拉姆矩阵为非奇异矩阵矩阵为非奇异矩阵 0000( ,)( , )( ) ( ) ( , )ftTToftt ttt dWCC 能观性格拉姆矩阵，它由系统状态矩阵能观性格拉姆矩阵，它由系统状态矩阵A(t)和输出矩阵和输出矩阵

37、C(t)决定。决定。因此系统的能观性是由系统自身结构、参数决定的固有特性，与系统因此系统的能观性是由系统自身结构、参数决定的固有特性，与系统的具体瞬时特性无关。的具体瞬时特性无关。 与时变系统能控性判别类似，采用本判据判断系统能观性必须先与时变系统能控性判别类似，采用本判据判断系统能观性必须先求出状态转移矩阵，计算量较大；若转移矩阵无闭合解，此判据将失求出状态转移矩阵，计算量较大；若转移矩阵无闭合解，此判据将失效。为寻求更为实用的方法，根据本判据推出下列推论。效。为寻求更为实用的方法，根据本判据推出下列推论。第第4章第章第42页页2022年年3月月22日日推论推论 如果线性时变系统的如果线性时

38、变系统的A(t)和和C(t)是是(n-1)阶连续可微的，若存在一阶连续可微的，若存在一个有限的个有限的tf t0，使得：，使得：则系统在则系统在t0时刻能观测的，其中时刻能观测的，其中011( )( )rank( )nttntNNN01( )( )d( )( ) ( )( ),0,1,2,2dtkkktttttt knNCNNAN 本推论对于时变系统是充分条件，即不满足此条件的时变系统不本推论对于时变系统是充分条件，即不满足此条件的时变系统不一定是不能观的；而对于线性定常系统则为充分必要条件。一定是不能观的；而对于线性定常系统则为充分必要条件。2022年年3月月22日日第第4章第章第43页页第

39、第4章第章第44页页2022年年3月月22日日定义定义n阶线性定常离散系统状态空间描述为阶线性定常离散系统状态空间描述为采样周期采样周期T为常数。为常数。(1)( )( ),( )( )( ),nrmkkkRRkkkRxGxHuxuyCxDuy第第4章第章第45页页2022年年3月月22日日4.4.1离散定常系统能控性定义及判据离散定常系统能控性定义及判据1. 能控性定义能控性定义 对于任意给定的一个初始状态对于任意给定的一个初始状态x(0)，如果在有限的采样周，如果在有限的采样周期内，存在容许控制向量序列期内，存在容许控制向量序列u(0)，u(1)，u(l-1)，ln，使系统在第，使系统在第

40、l步到达零状态，即步到达零状态，即x(l)=0，那么就称此状态是，那么就称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统能控。完全能控的，简称系统能控。 第第4章第章第46页页2022年年3月月22日日 可以证明，对于单输入可以证明，对于单输入n阶线性定常系统，若在第阶线性定常系统，若在第n步步不能某任意非零状态转移到零，则在不能某任意非零状态转移到零，则在n+1以至以后任意步都以至以后任意步都无法转移到零。而多输入离散系统，无法转移到零。而多输入离散系统，l的取值可以小于的取值可以小于n。综。综合考虑上述两

41、种情况，统一规定合考虑上述两种情况，统一规定l=n。2. 能控性判据能控性判据 线性定常离散系统能控的充分必要条件是线性定常离散系统能控的充分必要条件是nnr型能控判型能控判别矩阵别矩阵M满秩，即满秩，即21nnranknMHGHGHGHM第第4章第章第47页页2022年年3月月22日日4.4.2 离散定常系统能观测性定义及判据离散定常系统能观测性定义及判据1. 能观测性定义能观测性定义n维离散定常系统，考虑输入为零时，其解为维离散定常系统，考虑输入为零时，其解为( )(0)( )(0)kkkkxG xyCG x 对于离散系统，若能依据在有限个采样瞬间上测到的输对于离散系统，若能依据在有限个采

42、样瞬间上测到的输出序列出序列y(0)，y(1)，y(l)，唯一地确定出任意初始状态，唯一地确定出任意初始状态x(0)，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测。，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测。第第4章第章第48页页2022年年3月月22日日2. 能观测性判据能观测性判据n维线性定常离散系统，系统有维线性定常离散系统，系统有m个输出，则系统能观测的充要条件个输出，则系统能观测的充要条件为为mnn维能观性判别矩阵满秩，即维能观性判别矩阵满秩，即21nmn nranknCCGNCGCGN 注意，只有当观测时间注意，只有当观测时间l满足满足ln/m，系统才能观，对于单输入系统，则必，系统才能观

43、，对于单输入系统，则必须有须有ln，即最小能观测时间为，即最小能观测时间为n个采样周期。而对于多输入离散系统，个采样周期。而对于多输入离散系统，l的的取值可以小于取值可以小于n。综合考虑上述两种情况，统一规定。综合考虑上述两种情况，统一规定l=n。第第4章第章第49页页2022年年3月月22日日4.4.3 连续系统的能控性、能观性与离散系统的能控性、能观连续系统的能控性、能观性与离散系统的能控性、能观性之间的关系性之间的关系 比较连续系统和离散系统的能控性与能观性判据可知，比较连续系统和离散系统的能控性与能观性判据可知，把连续系统中的矩阵把连续系统中的矩阵A，B分别替换为离散系统的分别替换为离

44、散系统的G，H即为即为离散系统的相应判据。但是，连续定常系统的能控性与能达离散系统的相应判据。但是，连续定常系统的能控性与能达性是一致的，而离散系统只有在性是一致的，而离散系统只有在G为非奇异时，其能达性与为非奇异时，其能达性与能控性才一致。能控性才一致。 根据经典控制理论可知，如果采样周期选择不当，稳定根据经典控制理论可知，如果采样周期选择不当，稳定的连续系统经过采样离散化后，也可能不稳定。与此类似，的连续系统经过采样离散化后，也可能不稳定。与此类似，将原来完全能控、能观的连续系统离散化后，采样周期的不将原来完全能控、能观的连续系统离散化后，采样周期的不当选择也可能造成离散系统变成不能控或者

45、不能观。相关结当选择也可能造成离散系统变成不能控或者不能观。相关结论如下：论如下：第第4章第章第50页页2022年年3月月22日日1.结论一结论一 如果连续系统如果连续系统(A，B，C )不能控（不能观），则对任不能控（不能观），则对任意采样周期意采样周期T离散化后的系统离散化后的系统(G，H，C)也是不能控（不能也是不能控（不能观）的。或者，如果离散化后的系统是能控（能观）的，则观）的。或者，如果离散化后的系统是能控（能观）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观）的。离散化前的连续系统一定是能控（能观）的。第第4章第章第51页页2022年年3月月22日日2.结论二结论二设系统设系统(A，B

46、，C )能控能观，若采样周期能控能观，若采样周期T满足如下条件：满足如下条件：对对A满足满足Re0,1,2,iji j的一切特征值，成立的一切特征值，成立2,1, 2,Im()ijkTk 则以则以T为采样周期的离散化系统也是能控能观的。本定为采样周期的离散化系统也是能控能观的。本定理为充分条件，但对于单输入单输出系统，本定理是充分理为充分条件，但对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。必要的。2022年年3月月22日日第第4章第章第52页页第第4章第章第53页页2022年年3月月22日日 一个系统的能控性等价于其对偶系统的能观性一个系统的能控性等价于其对偶系统的能观性，反之，反之亦然。亦然。

47、 可以把对一系统的能控性分析转换为其对偶系统的可以把对一系统的能控性分析转换为其对偶系统的能观性分析。从而沟通最优控制和最优估计之间的关系。能观性分析。从而沟通最优控制和最优估计之间的关系。第第4章第章第54页页2022年年3月月22日日4.5.1线性系统的对偶关系线性系统的对偶关系给定线性系统给定线性系统1（A1,B1,C1），），2（A2,B2,C2），若），若 TTT222111=，AABCCB则称系统则称系统1、2是互为对偶的。画出其状态结构图，如下是互为对偶的。画出其状态结构图，如下x1A1+B1u1C1y11 xnrmnnn+A2=A1TC2=B1TB2=C1Tu2y22 xx2r

48、nnmnn第第4章第章第55页页2022年年3月月22日日1、对偶关系的含义、对偶关系的含义输入输入-输出互换，信号传递方向相反，信号引出点和相加点互输出互换，信号传递方向相反，信号引出点和相加点互换，对应矩阵转置。换，对应矩阵转置。2、对偶系统特征方程与特征值相同、对偶系统特征方程与特征值相同3、对偶系统传递函数阵互为转置、对偶系统传递函数阵互为转置x1A1+B1u1C1y11 xnrmnnn+A2=A1TC2=B1TB2=C1Tu2y22 xx2rnnmnn第第4章第章第56页页2022年年3月月22日日4.5.2 对偶原理对偶原理定理：若线性系统定理：若线性系统1（A1,B1,C1），）

49、，2（A2,B2,C2）互为对偶系统，则）互为对偶系统，则 1能控性等价于能控性等价于2能观性；能观性；1能观性等价于能观性等价于2能控性。能控性。证明：由已知条件证明：由已知条件-1111111TTT-1 TT22222TT-1 T22222222-1222rank()rankrank()rank()()rankrank()nnnnMBABABCA CACCC AC ACC AC AN(AB)T=BTAT第第4章第章第57页页2022年年3月月22日日意义意义1）能够由分析一种结构体系（能控性）转化为分析另一结构）能够由分析一种结构体系（能控性）转化为分析另一结构体系（能观性）；体系（能观性

50、）；2）建立系统控制问题和估计问题的基本结构间的对应关系；）建立系统控制问题和估计问题的基本结构间的对应关系；3）既有理论上的重要意义，又有应用上的实际意义，能控性）既有理论上的重要意义，又有应用上的实际意义，能控性和能观性的仿真程序可以通用。和能观性的仿真程序可以通用。4）对偶原理对线性定常系统、时变系统、离散系统均适用。）对偶原理对线性定常系统、时变系统、离散系统均适用。5）利用对偶原理，某些复杂问题的研究可转化为研究其对偶）利用对偶原理，某些复杂问题的研究可转化为研究其对偶系统的对偶性质，而后者可能是相对简单或者已经解决的问系统的对偶性质，而后者可能是相对简单或者已经解决的问题。题。20

51、22年年3月月22日日第第4章第章第58页页4.6 能控标准型与能观标准型能控标准型与能观标准型第第4章第章第59页页2022年年3月月22日日1、单输入系统能控标准型、单输入系统能控标准型 2、单输出系统的能观测标准型、单输出系统的能观测标准型 非奇异变换不改变系统的能控性与能观性，只有状态完非奇异变换不改变系统的能控性与能观性，只有状态完全能控（能观）的系统才能化为能控标准型（能观标准型）。全能控（能观）的系统才能化为能控标准型（能观标准型）。介绍如何由一般形式化为能控、能观标准型的方法介绍如何由一般形式化为能控、能观标准型的方法第第4章第章第60页页2022年年3月月22日日4.6.1单

52、输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型 若系统完全能控，若系统完全能控，M阵中至少有阵中至少有n个线性无关的列向量，从个线性无关的列向量，从nr个列向量中个列向量中选择选择n个线性无关的列向量，组成变换矩阵个线性无关的列向量，组成变换矩阵，可导，可导出系统的能控标准型。出系统的能控标准型。1.单输入系统：单输入系统：能控性判别矩阵只有唯一一组能控性判别矩阵只有唯一一组n个线性无关的列个线性无关的列向量，故当组合规律确定后，其能控标准型的形式是唯一的；向量，故当组合规律确定后，其能控标准型的形式是唯一的；2.多输入系统：多输入系统：能控性判别矩阵有多个能控性判别矩阵有多个n个线性无关的列向量

53、的个线性无关的列向量的组合，故其能控标准型的形式不是唯一的。组合，故其能控标准型的形式不是唯一的。 xAxBuyCx21nrankranknMBABA BABnnr第第4章第章第61页页2022年年3月月22日日为各项系数为各项系数 uy xAxbcxuyxAxbcx01-1naaa、 、1110nnnaaaIA定理：线性系统定理：线性系统如果系统是完全能控的，那么存在线性非奇异变换如果系统是完全能控的，那么存在线性非奇异变换使原状态空间描述转换为能使原状态空间描述转换为能控标准型状态空间描述控标准型状态空间描述-1，ccxT xxTx为系统特征多项式为系统特征多项式1-1-223121100

54、0100101nnncnaaaaaaTA Ab bA Ab bA Ab bb bnnnn与与a0无关无关nn单输入单输出系统：单输入单输出系统：第第4章第章第62页页2022年年3月月22日日0-1-111011010000011nccccnaaaccc ，ATATbT bTATbT bccTccT能控标准型为能控标准型为可直接写出系统传递函数为可直接写出系统传递函数为分子系数分子系数1212101110( )( )( )nnnnnnncscsc scY sW sU ssasa sa第第4章第章第63页页2022年年3月月22日日4.6.2单输出系统的能观测标准型单输出系统的能观测标准型 若系

55、统完全能观，若系统完全能观，N阵中至少有阵中至少有n个线性无关的行个线性无关的行向量，从向量，从nm个行向量中个行向量中选择选择n 个线性无关的行向量个线性无关的行向量，组成变换矩阵，可导出系统的能观标准型。组成变换矩阵，可导出系统的能观标准型。nmn1.单输出系统：单输出系统：能观性判别矩阵只有唯一一组能观性判别矩阵只有唯一一组n个线性无个线性无关的行向量组，故当组合规律确定后，其能观标准型的形关的行向量组，故当组合规律确定后，其能观标准型的形式是唯一的；式是唯一的；2.多输出系统：多输出系统：能观性判别矩阵有多个能观性判别矩阵有多个n个线性无关的行个线性无关的行向量的组合，故其能观标准型的

56、形式不是唯一的。向量的组合，故其能观标准型的形式不是唯一的。第第4章第章第64页页2022年年3月月22日日单输入单输出系统单输入单输出系统 使原状态空间描述转换为能观测标准型状态空间描述。使原状态空间描述转换为能观测标准型状态空间描述。 定理：线性系统定理：线性系统如果是完全能观测的，那么存在线性非奇异变换如果是完全能观测的，那么存在线性非奇异变换uy xAxbcx-1oo，xT xxTxuyxAxbcx11111111nnonaaa 0cATcAcnnnnnn第第4章第章第65页页2022年年3月月22日日01110111001001001oonoonaaaccc，A TATbT bccT

57、1110nnnaaaIA为系统特征多项式为系统特征多项式01-1naaa、 、为各项系数为各项系数可直接写出传递函数为可直接写出传递函数为1212101110( )( )( )nnnnnnncscsc scY sW sU ssasa sa2022年年3月月22日日第第4章第章第66页页第第4章第章第67页页2022年年3月月22日日n阶系统：阶系统： rankM=n1（n1n），状态空间由一个），状态空间由一个n1维能控子空维能控子空间和一个间和一个n - n1维不能控子空间构成。维不能控子空间构成。 rankN=n2（n2n），状态空间由一个），状态空间由一个n2维能观子空维能观子空间和一个

58、间和一个n - n2维不能观子空间构成。维不能观子空间构成。第第4章第章第68页页2022年年3月月22日日分解为四个子系统：分解为四个子系统：1）能控能观子系统）能控能观子系统2）能控不能观子系统）能控不能观子系统3）不能控能观子系统）不能控能观子系统4）不能控不能观子系统）不能控不能观子系统1:cox2:cox4:cox3:cox能控能控不能控不能控能观能观可以通过非奇异变换将系统按照能控性与能观性进行结构分解。可以通过非奇异变换将系统按照能控性与能观性进行结构分解。1122334410001020000030300040 xxxxuxxxx 12340210 xxyxx不能控不能控能控能

59、控4.7.1 基本概念基本概念第第4章第章第69页页2022年年3月月22日日 任何不完全能控又不完全能观的系统都可以分解为以上四个子任何不完全能控又不完全能观的系统都可以分解为以上四个子系统。将系统按照能控性与能观性综合分解，称为系统的系统。将系统按照能控性与能观性综合分解，称为系统的结构分解结构分解或标准分解或标准分解。系统的结构分解是状态空间分析中的一个重要内容，。系统的结构分解是状态空间分析中的一个重要内容，它揭示了状态空间的本质特性，为系统最小实现问题提供了详实的它揭示了状态空间的本质特性，为系统最小实现问题提供了详实的理论依据；同时，在工程实际中，与系统的状态反馈、观测器设计理论依

60、据；同时，在工程实际中，与系统的状态反馈、观测器设计等问题的解决也有密切的联系。等问题的解决也有密切的联系。 考虑到一般系统并不是对角线型，这些子系统（子空间）并没考虑到一般系统并不是对角线型，这些子系统（子空间）并没有明显地被分解出来，并不能明确地判断任意一个状态能控与否或有明显地被分解出来，并不能明确地判断任意一个状态能控与否或能观与否，通过适当的非奇异变换可将系统按照能控性与能观性进能观与否，通过适当的非奇异变换可将系统按照能控性与能观性进行结构分解。可以证明，行结构分解。可以证明，系统的非奇异变换不改变系统的能控性与系统的非奇异变换不改变系统的能控性与能观性，也不改变系统不完全能控和不