同济第三版-高数-(85) 第五节 隐函数求导公式

1、 隐函数是对显函数而言的一个概念，它的隐函数是对显函数而言的一个概念，它的因变量与自变量的关系通常不能由自变量的初因变量与自变量的关系通常不能由自变量的初等函数式给出，而是由方程关系给出。等函数式给出，而是由方程关系给出。 隐函数也是一类常见的函数形式，隐函数隐函数也是一类常见的函数形式，隐函数求导问题就是要在不解出因变量的情形下计算求导问题就是要在不解出因变量的情形下计算函数的导数。函数的导数。 简单地讲，隐函数就是由方程所确定的函数，即由简单地讲，隐函数就是由方程所确定的函数，即由方程解出的函数表达式。由于方程形式的不同，其确定方程解出的函数表达式。由于方程形式的不同，其确定隐函数的情形及

2、相应隐函数的情形及相应隐函数隐函数的形式也有所不同。的形式也有所不同。 由于方程未必总有解，因而由给定的方程未必总能由于方程未必总有解，因而由给定的方程未必总能解出相应的隐函数。解出相应的隐函数。 在方程有解的条件下，其解在方程有解的条件下，其解也未必能由解析式表出也未必能由解析式表出，隐函隐函数求导问题就是要考虑在不解数求导问题就是要考虑在不解出隐函数表达式的情形下，如出隐函数表达式的情形下，如何确定隐函数的导数。何确定隐函数的导数。 设有二元方程设有二元方程 F( x , ,y )= 0，若对于若对于 x 0 ( a , ,b )，总存在总存在 y = y0，使得使得 F( x 0 , ,

3、y0 )= 0 能能成立成立，就称方程就称方程 F( x , ,y )= 0 在区间在区间( a , ,b )内确了一元隐函数内确了一元隐函数 y = f( x ). . 类似地，设有三元方程类似地，设有三元方程 F( x , ,y , ,z )= 0，如果对于如果对于 ( x 0 , ,y0 ) D，总存在总存在 z = z0，使得，使得 F( x 0 , ,y0 , ,z 0 )= 0 能能成成立，就称方程立，就称方程 F( x , ,y , ,z )= 0 在区域在区域 D 内确了一个内确了一个二元二元隐函数隐函数 z = f( x , ,y ). . 隐函数讨论的首要问题也是最基本的一

4、个问题是隐隐函数讨论的首要问题也是最基本的一个问题是隐函数的存在性问题。因为只有在隐函数存在的条件下对函数的存在性问题。因为只有在隐函数存在的条件下对其各种性质的研究才有意义。其各种性质的研究才有意义。 微积分所研究的通常是单值、微积分所研究的通常是单值、可导的函数，因此隐函数讨论首先可导的函数，因此隐函数讨论首先要考虑的问题就是由方程能否确定要考虑的问题就是由方程能否确定单值、可导的隐函数，或者说要先考虑单值、可导的隐函数，或者说要先考虑在什么的条件下，由方程可确定单值、可导的隐函数。在什么的条件下，由方程可确定单值、可导的隐函数。 对于给定的二元方程对于给定的二元方程 F( x , ,y

5、)= 0，考虑在什么条件，考虑在什么条件下，由方程可确定一个单值可导的一元隐函数下，由方程可确定一个单值可导的一元隐函数 y = f( x ). . 从代数角度考虑，此隐函数存在性问题就是对从代数角度考虑，此隐函数存在性问题就是对 x ( a , ,b )，方程方程 F( x , ,y )= 0 总有相应解的总有相应解的 y = f( x )，且解得的且解得的 y = f( x )是是( a , ,b )内的单值、可导的函数。内的单值、可导的函数。 由方程理论知，对于一般的方程由方程理论知，对于一般的方程 F( x , ,y )= 0，其解，其解的存在性判别及求解都存在根本性困难，故从代数角度

6、的存在性判别及求解都存在根本性困难，故从代数角度讨论此问题是难以进行的。讨论此问题是难以进行的。 从几何直观考虑，二元从几何直观考虑，二元方程方程 F( x , ,y )= 0 对应于一对应于一个二元函数个二元函数 z = F( x , ,y )，而二元函数而二元函数 z = F( x , ,y )通常通常对应于空间的一张曲面对应于空间的一张曲面 . . 于是于是二元二元方程方程 F( x , ,y )= 0 能否确定单值、可导的隐能否确定单值、可导的隐函数函数 y = f( x )问题可归结为：问题可归结为： 曲面曲面 : :z = F( x , ,y )与与 xOy 平面是否平面是否相交，

7、且其交线是否是一条光滑的曲相交，且其交线是否是一条光滑的曲线线 y = f( x )的问题。的问题。 zOyx zF x y, 由直观容易看出，曲面由直观容易看出，曲面 z = F( x , ,y )若与若与 xOy 平面相平面相交且交线为一条连续曲线，则其必需满足以下条件：交且交线为一条连续曲线，则其必需满足以下条件： 曲面曲面 z = F( x , ,y )与与 xOy 平面至少有一个交点平面至少有一个交点，即存即存在点在点( x 0 , ,y0 )，使得使得 F( x 0 , ,y0 )= 0 . . 为使曲面为使曲面 z = F( x , ,y )与与 xOy 平面能交出一条曲线，平面

8、能交出一条曲线，曲面需在点曲面需在点( x 0 , ,y0 )的某邻域内穿过的某邻域内穿过 xOy 平面平面，故曲面故曲面在该邻域内沿在该邻域内沿 x 轴或轴或 y 轴方向需是轴方向需是“倾斜的倾斜的”。 由偏导数的几何意义知，曲面在一点由偏导数的几何意义知，曲面在一点倾斜的代数条倾斜的代数条件可写作件可写作 Fy( x 0 , ,y0 ) 0 或或 Fx( x 0 , ,y0 ) 0，故，故曲面方程曲面方程z = F( x , ,y )需满足两条件之一。需满足两条件之一。 zOyx zF x y, 为使曲面为使曲面 z = F( x , ,y )与与 xOy 平面的交线平面的交线 y = f

9、( x )是一是一条条光滑曲线，光滑曲线，曲面曲面自身自身在点在点( x 0 , ,y0 )的某邻域内的某邻域内必须是必须是光滑的，曲面光滑的代数条件是其在点光滑的，曲面光滑的代数条件是其在点( x 0 , ,y0 )的某邻的某邻域内具有连续的偏导数域内具有连续的偏导数 Fy( x , ,y )或或 Fx( x , ,y ). . 曲面曲面 z = F( x , ,y )与与 xOy 平面的交线平面的交线 y = f( x )是是光滑曲光滑曲线的分析条件是函数线的分析条件是函数 y = f( x )具有连续导数，且其满足具有连续导数，且其满足通过点通过点( x 0 , ,y0 )，即即 y 0

10、 = f( x 0 ). . 由于由于 y = f( x )满足方程满足方程 F( x , ,y )= 0 ，即有即有 F x , ,y( x )= 0 . . 由多元复合函数求导法则，方程两边对由多元复合函数求导法则，方程两边对 x 求导有求导有 Fx + Fy y ( x )= 0 ，解得解得 设函数设函数 z = F( x , ,y )在点在点( x 0 , ,y0 )的某一邻域内具有的某一邻域内具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数 Fy( x , ,y ), , Fx( x , ,y )，且且 F( x 0 , ,y0 )= 0 , , Fy( x 0 , ,y0 ) 0，则方程则方程 F

11、( x , ,y )= 0 在点在点( x 0 , ,y0 )的某一的某一邻域内邻域内恒能唯一确定一个单值、连续且具有连续导数的恒能唯一确定一个单值、连续且具有连续导数的函数函数 y = f( x )，它满足条件，它满足条件 y0 = f( x0 )，并有，并有 隐函数存在定理不仅指出了可导隐函数的存在性隐函数存在定理不仅指出了可导隐函数的存在性, ,也给出了求隐函数导数的公式和方法。在应用中用得也给出了求隐函数导数的公式和方法。在应用中用得更多的常常并不是隐函数导数公式更多的常常并不是隐函数导数公式 y = - -Fx/ /Fy 本身，本身，而是推导该导数公式的方法，即复合函数求导法：而是推

12、导该导数公式的方法，即复合函数求导法： 求导公式是将方程求导公式是将方程 F x , ,y( x )= 0 左端视作左端视作二元二元复合函数求导而导出的。复合函数求导而导出的。 需注意的是，该导数公式中的需注意的是，该导数公式中的 Fx , ,Fy 均是二元函均是二元函数数 z = F( x , ,y )对中间变量的导数，而不是二元复合函对中间变量的导数，而不是二元复合函数数 F x , ,y( x )对自变量的导数。对自变量的导数。 定理中隐函数是以定理中隐函数是以 y = f( x )的形式叙述的，若将定的形式叙述的，若将定理条件理条件 Fy( x 0 , ,y0 ) 0 改成改成 Fx(

13、 x 0 , ,y0 ) 0 ，其几何意其几何意义是义是曲面曲面 z = F( x , ,y )沿沿 x 轴方向是倾斜的，此时由方轴方向是倾斜的，此时由方程程 F( x , ,y )= 0 可确定相应的隐函数可确定相应的隐函数 x = ( y )，它，它满足满足条件条件 x 0 = ( y0 )，并有并有 Oyzx zF x y, 若若 z = F( x, ,y )具有二阶连续偏导数，则由二元方具有二阶连续偏导数，则由二元方程程 F( x, ,y )= 0 确定的隐函数确定的隐函数 y = f( x )也具有二阶连续也具有二阶连续偏导数，其计算过程如下：偏导数，其计算过程如下： 此法的错误在于

14、错误地理解方程中的变量身份，此法的错误在于错误地理解方程中的变量身份，将将 y 当作自变量对待了。当作自变量对待了。 因为已知隐函数因为已知隐函数 y = f( x )满足满足方程方程 F( x, ,y )= 0，故方程中的二元函数形式故方程中的二元函数形式 F( x, ,y )实际是关于实际是关于 x 的一元的一元复合函数复合函数 F x , ,y( x )，而方程两边求导所进行的应实，而方程两边求导所进行的应实际是关于两个中间变量，一个自变量的一元复合函数际是关于两个中间变量，一个自变量的一元复合函数对自变量对自变量 x 求导求导。此时此时 y 是是中间变量，不是中间变量，不是自变量，自变

15、量，因而因而求导时不能视作常数求导时不能视作常数。 比照一元隐函数存在定理可写出以下结果：比照一元隐函数存在定理可写出以下结果： 设三元函数设三元函数 F( x , ,y , ,z )在点在点( x 0 , ,y0 , ,z 0 )的某一邻的某一邻域内具有一阶连续的偏导数域内具有一阶连续的偏导数 Fx( x , ,y , ,z ), , Fy( x , ,y , ,z ), ,Fz( x , ,y , ,z )，且且 F( x 0 , ,y0 , ,z 0 )= 0 , , Fz( x 0 , ,y0 , ,z 0 ) 0，则方程则方程 F( x , ,y , ,z )= 0 在点在点( x0

16、 , ,y0 , ,z0 )的某一邻域内的某一邻域内恒恒能唯一确定一个单值、连续且具有连续能唯一确定一个单值、连续且具有连续偏偏导数的二元函导数的二元函数数 z = f( x , ,y )，它满足条件它满足条件 z 0 = f( x 0 , ,y0 )，并有，并有 假定由方程假定由方程 F( x , ,y , ,z )= 0 可确定可导的二元隐函可确定可导的二元隐函数数 z = f( x , ,y )，将其代入方程有将其代入方程有 F x , , y , , f( x , ,y )= 0 则此二元方程左端为以则此二元方程左端为以 u = x , , v = y , , w = f( x , ,

17、y )为中间为中间变量，变量，x、y 为为自变量复合函数。自变量复合函数。 由假设由假设 F( u , ,v , ,w )具有连续偏导数，方程两边分别具有连续偏导数，方程两边分别对自变量对自变量 x 、y 求导有求导有 00uvwuvwuvwFFFxxxuvwFFFyyy ,. 由于由于 Fu = Fx，Fv = Fy，Fw = Fz，故有，故有 于是有于是有故求得故求得 dd10ddfuuxvwzxxxxxxx , , , dd01ddyfuvvwzyyyyyyy , , . . 100010uvwuvwzFFFxzFFFy ,. 00 xzyzzFFxzFFy ,. 隐函数存在定理隐函数存

18、在定理 2 2 不仅指出了可导的二元隐函数不仅指出了可导的二元隐函数的存在性，也给出了求隐函数导数的公式和方法。的存在性，也给出了求隐函数导数的公式和方法。 应用中用得更多的常常并不是隐函数导数公式本应用中用得更多的常常并不是隐函数导数公式本身，而是这种求导的方法，即复合函数求导法。身，而是这种求导的方法，即复合函数求导法。 求导公式是将方程求导公式是将方程 F x , , y , , f( x , ,y )= 0 左端视作左端视作复合函数求导而导出的。其中复合函数求导而导出的。其中 Fx , ,Fy , ,Fz 均是三元函均是三元函数数 u = F( x , ,y , ,z )对中间变量对中

19、间变量 x , ,y , ,z 的导数，而不是复的导数，而不是复合函数合函数 F x , , y , , f( x , ,y )对自变量对自变量 x , ,y 的导数。的导数。例：例：设设 条件给出了一个条件给出了一个 x 、y 、z 的三元方程的三元方程，由隐由隐函函z = f( x , ,y ). . 作辅助函数作辅助函数 由隐函数求导公式，为求由隐函数求导公式，为求 z / / x， z / / y，只需求，只需求 Fx，Fy，Fz . . 对三元函数对三元函数 u = F( x , ,y , ,z )而言，而言，x、y、z 都是独都是独立的变量，故这三个偏导数计算均是简单函数求导。立的

20、变量，故这三个偏导数计算均是简单函数求导。 lnxzzzzyxy : .: .求求, , lnxzuF x y zzy,. .视视 y，z 为常数求得：为常数求得： 视视 x，z 为常数求得：为常数求得： 视视 x，y 为常数求得：为常数求得： 于是于是求得求得11ln0 xxxzFzyzz;21ln0 yyyxzzFzyzyy ; 222111lnzzyxzxxFxzzyzyzzzz ;21 xzzFzzxFzxzxz ; 221 .yzFzzzyFyxzyxz 若方程若方程 F( x , ,y , ,z )= 0 确定了隐函数确定了隐函数 z = f( x , ,y )，则将此则将此隐函数

21、代入隐函数代入方程有方程有 F x , ,y , , f( x , ,y )= 0 对方程左端的复合函数对方程左端的复合函数 F x , ,y , , f( x , ,y ) 而言，变而言，变量量 x 、 y 既充当自变量，又充当中间变量。因此若方程既充当自变量，又充当中间变量。因此若方程两边分别对自变量两边分别对自变量 x、y 求导，则导数式必是求导，则导数式必是 z / / x、 z / / y 的线性式，从导数式可解出这的线性式，从导数式可解出这两个偏导数两个偏导数。 仍视仍视 z = f( x , ,y )为为 x 、 y 的函数的函数，将求得的，将求得的偏导数偏导数 z / / x 再再对自变量对自变量 y 求导便可求得二阶导数求导