数列知识点和常用的解题方法归纳

1、数列知识点和常用的解题方法归纳等差数列的定义与性质定义：an i an d d为常数，a. ai n 1d等差中项：x，A，y成等差数列2A x yai an nn n 1前n项和Sn-najd2 2性质：an是等差数列1 假设m n p q，那么 am a. ap aq ；2 数列a2n - ， a2n ， kan b仍为等差数列;Sn， S2 nSn， S3nS2n仍为等差数列;3假设三个数成等差数列，可设为a d，a，a d；4假设an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，那么ambmS2m 1T2m 15 an为等差数列Sn an2 bn a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数S

2、n的最值可求二次函数 Sn an2 bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，即：当a1 0，d 0,解不等式组an °可得Sn到达最大值时的-值。an 1°an °当a1 °，d 0,由可得Sn到达最小值时的-值。an 1°3，. a n 1如：等差数列 an，Sn18，anan 1an 23，S31，那么na1 a31- 3 3a21，.-a223(由 anan 1an 23an 1又S3an n a2 an 1 n18n 27)、等比数列的定义与性质定义：an-q q为常数，q 0n 1，an agan等比中项：x、G、y成等比数列G2x

3、y，或 Gxyg (q 1)前n项和：Sna1 1 qn要注意!(q 1)1 q性质：an是等比数列(1)假设 mn p q，贝U am anap aq2 Sn , S2n Sn , Ssn S?n仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、由Sn求a. ；n 1时，ai如:1a n满足-2a1122解:n 1时，丄2a12n2 时，1a12122a212 得:12n an练习3、求差商法数列an满足Sn Sn ia212“ an2n 515,二 a1141an 12n 152n12，二 an2 n 1，an51， a14,:求 anSj， n 2 时，an Sn Sn 1)1214

4、 (n 1)2n 1 (n 2)1SnSn4注意到an 1 Sn 1 Sn代入得:又S14，二Sn是等比数列，Sn 4nn 2时，an Sn Sn 1 3 4n 14、叠乘法例如：数列an中，a1 3,乩 n ，求anan n 1a2a3an1解：_a1a2a n 12又a13, an3n5、等差型递推公式2 n1. an 1一5.3 na1 n由anan 1 f (n), ai a。,求an，用迭加法n 2时，a2 a1f(2)a3a2f(3)两边相加，得:an an 1 f(n)an a1f(2) f(3)f(n)ana。f(2) f(3)f(n)练习数列 an , a11, an 3n

5、11 n 2，求1(an 2 3n 1)6、等比型递推公式an can 1 d c、d为常数，c 0， c 1，d 0可转化为等比数列，设anc an 1ancan 1 c 1 x1)x d，. x练习an是首项为a1a1a1数列an满足a1，c为公比的等比数列9， 3an1 an 4，求a.1)7、倒数法2a例如：ai 1, an i n ，求an ,由得:1an 1an 21丄2an2anan 21an为等差数列,1a111,公差为2an2n 1n三、求数列前n项和的常用方法1、公式法:等差、等比前 n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：n 1

6、an是公差为d的等差数列，求k 1 akak 11解:由ak ak 111 d1 ak1ak 1d 0ak akd.n 1n111k 1 akak 1k 1dakak 1111111 1da-1 a2a2a3a nan111da1an 1练习111求和：11212 31 23 n1(anSn2)n 13、错位相减法：假设an为等差数列，bn为等比数列，求数列 anbn 差比数列前n项和，可由Sn qSn求Sn，其中q为bn的公比。如：Sn 1 2x 3x2 4x3 nxn 11Snc 2 小 3,4x 2x 3x 4x1nnx1 x Snx2xn 1nxn1时,Sn1 xn21 xnnx1时,

7、Sn4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。Sna2an 1Snan a n 1a2an相加a12Sna1 ana2 an 1a1 an练习f(x)那么 f(1)f(2)f(3) f13 f(4) f(由 f(x)x22x2x原式 f(1)f(2)f(3)1f(4) f;那么数列an前8项的和为例1设an是等差数列，假设 a2=3, a7 =13，A . 128B. 80C. 64 D . 56 福建卷第 3 题略解： a2 +a 7 = a 1 +a 8 = 16, an前8项的和为64,故应选 C.例2等比数列an满足a1a23, a2as6，贝U a7A 64B.

8、81C. 128D. 243全国I卷第7题答案：A.例3等差数列an 中，a26,a515，假设bna2n，那么数列bn的前5项和等于A. 30B . 45C. 90D. 186北京卷第7题略解： a5-a 2 =3d=9,. d=3 , b1 = a2 6, b5=aw=30,0 的前 5 项和等于 90,例5在数列an中，an4n52，a1a?anan2 bn, n N，那么ab安徽卷第15题答案：1.例6在数列an 中,a2,an11anln(1 -),那么 annA 2ln nB.2(n1)ln nC. 2nln nD.1nIn n江西卷第5题答案：A .例7设数列an 中,a2,an

9、1ann 1，那么通项an略解： S45 S 4d 12,d3,应选B.，其中a,b为.四川卷第常数例4记等差数列的前n项和为Sn，假设S4,S420 ,那么该数列的公差A . 2 B. 3 C. 6D. 7广东卷第4题16题此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住anann 1 中 an i,an 系数相同是找到方法的突破口.略解：ai2, an 1annanan 1 nan 1an 2 an 3a21,a2a11 1 ,a11.将以上各式相加，得ann n 11,故21例8假设(x+ -)n的展开式中前三项的系数成等差数列，那么展开式中2xx4项的系数为()A 6 答案：B .

10、使用选择题、B. 7C. 8D. 9 (重庆卷第10题)填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于根底知识和根本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，女口，例4以前的例题.例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一 种特殊函数的理解；例 6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能 力；例8那么考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用.重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国H卷第19题等，都是关于数列的 客观题，可供大家作为练习.例9 an是正数组成的数列，a1=1，且

11、点 an,an 1n N*在函数y=x2+1的图象上(I )求数列an的通项公式；(n )假设数列bn满足bl = 1,bn+1 = bn+2an，求证：bn bn+2V b2n+1.福建卷第 20 题略解：I由，得 an+i-an=l，又ai=1,所以数列 an是以1为首项，公差为1的 等差数列故 an=1+ (n-1) x 1=n.(n )由I知，an= n,从而 bn+1-bn=2n, bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ + b2-b1+b1=2n-1+2n-2+ 2 2+2+1=2n-1 . . bn?bn+2-b n 1 =(2 n-1)(2n+2-1)-(2n+1-

12、1)2= -2n< 0,二 bn bn+2 V bn 1 对于第n小题，我们也可以作如下的证明： b2=1,bn - bn+2- b2 1=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b2 1 =2n+1 -bn+1-2n -bn+1-2n -2n+1 = 2n bn+1-2n+1 =2n bn+2n -2n+1=2n bn-2n= - =2n 6-2=-2 n<0 , bn-bn+2<b2n+1.a例10在数列an中，a11, an12an2n. I设bn 詁证明：数列bn是等差数列；n求数列an的前n项和Sn .全国I卷第19题略解：b1 4哆汁丁 =計，那么4为等差数列

13、，b 1，bn n , an n2n 1.nSn 1 -202-21-(n 1)2n2n 1n22& 121222 (n 1)2n1 n-2n两式相减，得5门么120 212n 1 n2n 2n 1:=(n1)2n1 对于例10第I小题，根本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数.可以用迭代法，但不可由b2-b1=1 ,b3-b2=1等有限个的验证归纳得到bn为等差数列的结论，犯“以偏盖全的错误第n小题的“等比差数列，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列求和时最重要的方法一般地，数学学习中最为重要的内容

14、常常并不在结论本身，而 在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示.例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江 卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为 依托构造新的数列.主要考查等差数列、等比数列等根本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷那么侧重于根底知识和根本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主.例11等差数列a*的各项均为正数，a1 3,前n项和为Sn, bn为等比数列，D

15、1 ,江西卷第 19且 b2S> 64, b3S3 960 (I )求an 与bn ; (n )求和：丄 丄S S2题略解:(I设an的公差为d , bn的公比为q，依题意有S2b2 (6 d)qS3b3(9 3d)q264,960.解之，得8;或6J5 舍去，为什么?403 .)故an3 2(n 1) 2n 1,bn 8nSn(2n1)n(n 2)1 1S1S2n(n 2)1 111112 (1 32435宀2n34 2(n 1)(n 2)“裂项相消使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列， 而是与其他

16、内容相综合， 对解决综合问题的考查力度. 数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，较高能力的考生起到重要的作用.是一些特殊数列求和时常用的方法.以表达出 对合理区分例12设数列an的前n项和为Sn2an 2n I求印，印；n证明:是等比数列;川求an的通项公式.四川卷第21题略解：I：ai S,2a1S2 ,所以a12,S2 .由 2an Sn2n知，2 a n 1Snn 11 2an 1Sn2n 1得an 1Sn2n 1a?S12222 226, S28,a3S2 2338 2316, S324an 12ana4S324n由题设和式知,an1 2an2nSn2n2nJ ?an 12an是

17、首项为2,公比为2的等比数列.川an an2an 12 an 12an2 2n2a22a12n1a12* 1此题重点考查数列的递推公式,利用递推公式求数列的特定项,通项公式等.推移脚标,两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而有针对性地解决问题在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向.2 n2 n例 13 数列 an 满足 a10,a2 2, an 2 (1 cos2冋 4sin2 ,n 1,2,3，,2 2I求a3,a4 ,并求数列 a 的通项公式；ii设Ska1 a3 a2k 1 ,2STk a2 a4 a2k , Wk-(k N )，求使 W 1的所有k的值，并说明理由湖2 Tka2k 112 cos(2k 1)2a2k 14sin 2(2k 1)2a2k 14,即 a2k 1 a2k 14.所以数列a2k 1是首项为0、公差为4的等差数列，因此a2k 14(k 1).当n =2k(k N )时，a2k 2(1 cos2)a2k24sin2 空2a2k,所以数列a2k是首项为2、公比为2的等列，a2k2k.故数列an的通项公式为南卷第20题略解：Ia3(1 cos2 )a122224si na1 4 4, a4