数学分析选讲参考答案

1、?数学分析选讲?A/B模拟练习题参考答案一、选择题：共18题，每题3分1、以下命题中正确的选项是A B :A、假设F'(x) f(x)，那么F(x) c是f(x)的不定积分，其中c为任意常数B、假设f (x)在a, b上无界，贝U f (x)在a,b上不可积C、假设f (x)在a, b上有界，贝U f (x)在a, b上可积D假设f(x)在a,b上可积，那么f (x)在a,b上可积2、设 f(x) 3x 4x 2，那么当 x 0 时，有BA. f(x)与x是等价无穷小B. f(x)与x同阶但非是等价无穷小C. f(x)是比x高阶的无穷小D. f(x)是比x低阶的无穷小3、假设f为连续奇

2、函数，那么f sinx为(A )A、奇函数 B、偶函数C、非负偶函数D、既不是非正的函数，也不是非负的函数.4、函数f (x)在a,b上连续是f(x)在a,b上可积的A丨条件A. 充分非必要 B.必要非充分C.充分必要条件D.非充分也非必要条件 5、假设f为连续奇函数,那么f cosx为(B )A、奇函数 B 、偶函数C、非负偶函数D、既不是非正的函数，也不是非负的函数.6 设 f(x) arCtan1 那么 x 0 是 f(x)的BxA. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点7、 设N ,当n N时，恒有anbn ,lim an A, lim bnB.那么正确的选项是(A

3、 )A、A BB、A BC、A B D A和B的大小关系不定.8、函数f(x,y) 在点(x0, y0)连续是它在该点偏导数都存在的AA.既非充分也非必要条件B充分条件C、D不存在.10、局部和数列Sn有界是正项级数 Un收敛的(C )条件n 1A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要11、极限 lim 叱 X (A)x 0 xiiA、e 3 B 、e3C 、e3 D 、不存在.12、与lim冷a的定义等价的是B DnA、0,总有 xn aB、0,至多只有禺的有限项落在(a ,a )之外C、 存在自然数N,对 0,当n N，有xn aD 0(01),存在自然数N,对n N,有xn a1x21

4、3、曲线 y 1 e 2 ( D )1 e xA、没有渐近线B、仅有水平渐近线C、仅有垂直渐近线D、既有水平渐近线，也有垂直渐近线14、 以下命题中，错误的选项是A DA、假设|f(x)在点X。连续，那么f(x)在X。既是右连续，又是左连续B、假设对 0, f(x)在a ,b 上连续，那么f (x)在(a,b)上连续C、 假设f (x)是初等函数，其定义域为(a,b)， x() (a,b)，那么lim f (x) f (x°)x xD函数y f (x)在x0点连续的充要条件是f(x)在xd点的左、右极限存在且相等15、 设an为单调数列，假设存在一收敛子列anj，这时有AA、 lim

5、 anlim an.nj jB、a n不一定收敛C、an不一定有界D当且仅当预先假设了 an为有界数列时，才有A成立16、设f(x)在R上为一连续函数，那么有CA、当I为开区间时f (I )必为开区间B、当f ( I )为闭区间时I必为闭区间C、当f ( I )为开区间时I必为开区间D以上A,B,C都不一定成立 17、以下命题中错误的选项是 ACA、假设lim Un 1，级数 vn收敛，那么 un收敛; n vnn 1n 1B、假设Un Vn(n 1,2)，级数Vn收敛，贝UU“不一定收敛;n 1n 1C、假设un是正项级数，且 N, nn 1N,有归1,那么 un收敛;Unn 1D假设lim

6、 Un 0，那么un发散nn 118、设un为一正项级数，这时有Dn 1A、假设 lim unn0 ,那么 un收敛n 1B、假设Un收敛,那么lim Un 11n 1nunC、假设Un收敛,那么lim n Un 1n 1nD以上A,B,C都不'定成立、填空题：共15题，每题2分1、设 x2 sin y cosy cos2y0,那么2或-21lim (1 -)n=2、nlim (1 $n1= e3、n n4、limx 0 2x5、设(Xn 10)2 收敛，那么 Hm xn = 10n 17、(x,yl)m(0,0)xy,xy 118、sin 4x.x 1139、设 F (x) cos3

7、 x，那么 F (x)sinx 空 2 12lim 2=& x 12x x 13 C10、设 yex，那么 y(2022)11、幕级数3xn1加1的收敛半径为12、积分3.2x sin x2x2-dx的值为113、曲线y x22x 8与x轴所围成局部的面积为36xxlim14、 x 1 x15、x,yimo,o三、计算题：共15题，每题8分1、求xsin . xdx .解：、.x t,xs in xdx2t2si n tdt2 t2d cost 2t2 cost 4 t costdt2 22t cost 4 td si nt2t cost 4t si nt 4 sin tdt2xcos

8、、x 4 xsin x 4cos x C2、将 f(x)xx 2x2展开成x的幕级数,并指出其收敛域解:f(x) 1亠=丄xn3 1 x 1 2x 3 n 0n1n 1 n n(2x) =1( 1)2 x03 n 1且由2x 13、求 lim(nn 1 n35sin n!)解：原式=0有界量乘以无穷小量4、求COS、X解：令X t，原式=2cos tdt 2sin t C 2sin、x C5、求 lim ln(1X 0X2 X5)cosx25解：原式=lim x 2x2x 0 X6、求极限limX 0Xxeln(1-2 xX)解:lim竺ln(12XX)xe2x2exX xe1(1 x)2x

9、sin-7、设 yx011解：当 x 0 时，y 2xsin- cos;xxx2si n- 0x(sin 1)8、设 f(x)2x sin , x 0xAx 0 ，其中A,a,b为何值时,f (x)在x=0处可导，为什么,并求f'(0)2ax b, x 0解:limx 0f(x) f(o)xlimx 02x sinAxxlim (xsin x 0)lim xsin 0，故要使f' (0)存在，必须A 0x 0x又limf(x)f(0). ax2 b i/b、limlim (ax )x 0xx 0xx 0x要使有导数存在，必须b=0.综上可知，当A=b=0,a为任意常数时，f (

10、x)在x=0处可导，且f'(0) 09、计算以下第一型曲面积分:(x2 y2 z)ds,其中 S为 z 1, x2 y2 1.S解：S由平面构成：S2：z 1,x2 y2 1.(x2 y2 z)dsS2(x2 y2 1)dxdyDo(r2 1) rdr11、o cos2 tdt 叽七n10、xx(1 x)解：x11x(1 x)x1 xxdv1 1()dx lnx 1 xx ln1 xCx(1 x)UA解：由洛必达L' Hospital法那么得limx 02cos tdt 0sin x2cos x limx 0 cosxlim cosx 1x 012、02/-sin2xdxo s

11、in x-cosxdx2 2 2o J-sin2xdxo 2nx-cosx) dx；(cosx sin x)dx2(sin x cosx)dx4cos x)2"4(si nx cosx)04 (si nx2 2 213、sin xcosx dx' 2 2 cos x sin x解：sin xcosx,1sin2x ,1 d cos2x1<cos2x Cdxdx2 2 cos x sin x2cos2x4. cos2x21cosx ,14、dxxsin x解：1cosx ,d xsin xdxlnx sin xCxsin xx sin x15、In In x , dxx解

12、：ln ln xln ln x d ln x ln x ln ln xdxln x ln ln x 1 C xdxx四、证明题共17题，共156分1、6分设函数f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f '(x)0。试证：如果f(a) f(b) 0,贝昉程f (x)0在(a,b)内仅有一个实根。证明：因为f (x)在a, b上连续，在(a,b)内可导，f(a) f (b)0 ,于是由零点存在定理知，至少存在一点a,b使得f( ) 0，又f'(x) 0 ,因此知f x在a,b上为严格格单调增加的，故方程f (x) 0在(a, b)内仅有一个实根。2、 10分指出函数f(x

13、)x2 2xx|(x24)的不连续点,并判定不连续点的类型解：f (x)的不连续点为x 0, x 2又 lim f (x) lim2)x 0 0x 0 0 x (x4)limx 0 0f(x)lim x(x2 2)x 0 0 x(x2 4)呢 f (x)lim x(x 2)1x 2 x(x 2)(x 2)4他 f(x)!im2x(x 2)x(x 2)( x 2)而f (x)在x 2点没有定义，于是知x 0为f (x)的第一类不连续点;x 2为f (x)的第二类不连续点；x 2为f (x)的第三类不连续点。xf(t)dt 3、 10分设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，f'(

14、x) 0,又F(x) 亠x a证明在(a,b)内有F'(x) 0.证明：由于F(x)xaf(t)dtx(x a) f (x) a f (t)dt(x a)2xa(f(X)(xf(t)dta)2使得 f(x) f(t) f ( )(x t) 0，从而在(a,b)内有 F'(x)04、 12 分设 f (x, y)2 2x yxy 2x y02 x2 x2y2y1证明f (x, y)在0，0点连续2求 fx(x,y), fy(x, y)3证明f (x,y)在0, 0点可微解：1令xcossin(x,yim(0,0)f(x, y)lim002 sincos (cos2sin2 )(丁

15、 sincosf(0,0)(cos2 sin22)故f (x, y)在0，0点连续。2fx(x,y)4224y(x 4x y y )/ 22、2(x y )lim f(x,0)f(0,0)x 0fy (x, y)42 24、x(x 4x y y )2?(x y)limf(0,y)f(0,0)y 02 2、2x23由于u du x y( x2y2)| x y|x2_y20 x 02y 0即f(x, y)在0, 0点可微.5、 6 分设 f (x)在a,b严格单调递减,f (x)存在,f(b),f(a) ,2 2b2且 f (x) m 0,试证明 cosf(x)dx amf(a)costf(b)1

16、 f (a)证明：令f(x) t，那么由题意有bf (b)1cosf (x)dxcostdtaf f (x) costdt m f (b)1 f (a)1costdt(sin f (a) sin f (b)m f(b)m2m6 (10 分)设 y y(x) y'(0)，其中 yyex 2eysinx 7x 1解：将等式两边对x求导得y'y'ex yex 2ey y'sinx 2eycosx 7 2将x=0代入式解得y(0)0，再将x=0代入2得y'(0)y'(0) 2 7,y'(0)7、(10 分)(x)0打)dt在-1<x<

17、1有意义，证明(x)( x) 2 & )证明：令F(x)1(x)( x)(x )，贝U2dF(x)d (x)d (x) 1d (x2)dxdxdx2dxln(1x)ln(1x)(1) 1ln(12x2) 2xxx2x0F(x)C,即(x)(x)2 (x2)C 1将 x=0 代弋入：1C(0)(0)12(0)但(0)0.C0.(x)(x)1(x2)28、(10分)求幕级数 区¥ 的收敛域n 1 n 2解：由于lim n n 2n £ ,贝U R=2即当2 x 1 2时其绝对收敛又当x+仁2,即x=1时，原级数为丄发散n 1 n当X 12，即x3时，原级数为1收敛n 1

18、 n故原级数的收敛域为3,1)10、 10分设f(x)在0,1上可微，且满足f(1)(0,1)内至少存在一点，使f'()f()9、7 分证明：当 x 0 时，(1 x)ln(1 x) arctanx .证明：设f(x) (1x)l n(1x) arctanx (x 0)，那么f(x)在0,)连续当x 0时,f(x) ln(1xx) 120,那么 f(x)在0,x)单调增加。那么对任意x0有 f(x)f (0)0，即(1 x)ln(1x) arctan x 0(x 0)1证明：由(1)式及积分中值定理知，存在10,丄，使,210f(1)2 1f( 1) -,f(1)1f( 1)(2)2令

19、F(x) xf(x),那么由(2)式及假设可知F(x)在1,1上满足罗尔定理的条件，故存在(1,1)(0,1)使 f'()f()11、(10 分)求 n2xn1的收敛域，并求其和函数.n 1解:设ann2，那么由limnan 1an1)n1 n2都发散,可知n2n 1xn1的收敛域为(1,-1).x再由于0n 2tn 1dt1nnx1x2,x ( 1,1)xf(x)2 n 1 n xn 11 x(1 x)s,x(0 f(t)dt)'(1x)(1,1)12、(10 分)设 f (x)1ex ,x0,x00,试证明:f'(x)在x=0处连续.moH XmoH X_xe mo

20、H X2xex2x412 r r ex x3 一 X1_2xmoH XmoH X2-3X/V flim X0x 012e，1 r 那么 f'(x)茫e x，x 00,x0,2lim f'(x) limx 0x 0ex13、 6分证明由积分确定的连续函数零点定理：设f x在a,b上连续，假设bf x dx 0，贝U x0 a,b，使得 f x00.a证明：用反证法.假设对 x a,b , f x 0,由连续函数的零点定理可知，fxb在a,b a,b上f x 0,由定积分的性质可得f x dx 0,此与条件矛盾,于是,a必 x0a,b，使得 f x°0.a14、 10分设f x在0,a上连续，且满足 f xdx 0.试证：0,a ,使得0.15、 12分设f在0,1上连续,在0,1内可导，且x dx 0 ,记XF x xf t dt,(1)求 F x ;(2)求证:00,1 ,使得 f x dx0解：(1) F xxf t dt xf x ;00f xdxf a t