7 空间解几整章

1、第四章第四章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 第二节第二节 向量的乘法运算向量的乘法运算 第三节第三节 平面与直线平面与直线 第四节第四节 曲面与曲线曲面与曲线 向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛的应用的应用.本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算. 空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几何图形联系起来，是数形结合的典范何图形联系起来

2、，是数形结合的典范.本章第二部分，本章第二部分，学习一些空间解析几何的基本知识学习一些空间解析几何的基本知识. 1. 1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 在空间内取定一点在空间内取定一点 O，过点，过点 O作三条具有相同长度单位， 且两两互相垂直的作三条具有相同长度单位， 且两两互相垂直的 x 轴，轴， y 轴，轴，z 轴，这样就称建立了空间直角坐标系轴，这样就称建立了空间直角坐标系Oxyz.点点 O 称为称为坐标原点，坐标原点，x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴统称为坐标轴，又分别叫做横轴统称为坐标轴，又分别叫做横轴，纵轴，和竖轴轴，纵轴，和竖轴.一般规定一般规定 x 轴，轴， y 轴，轴，z

3、轴的正向要遵循右手轴的正向要遵循右手法则，法则， 即以右手握住即以右手握住 z 轴，当轴，当右手的四个右手的四个 手指从正向手指从正向 x 轴轴以以2角度转向正向角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向是轴时，大拇指的指向是 z 轴的正向轴的正向. 4.1.1 向量及其线性运算向量及其线性运算 一、一、 空间直角坐标系空间直角坐标系 zxy图图71 任意两条坐标轴确定的平面称任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面为坐标面.由由x轴和轴和y轴，轴，y轴和轴和z轴，轴，z轴和轴和x轴所确定的坐标面分别叫做轴所确定的坐标面分别叫做xOy面，面，yOz面和面和zOx面面.三个坐标面三个坐标面把空间分隔成八个部

4、分，每个部分把空间分隔成八个部分，每个部分称为一个卦限，依次叫第一至第八称为一个卦限，依次叫第一至第八卦限卦限. 2. 2. 空间内一点的坐标空间内一点的坐标 设点设点 M 是空间一点， 过点是空间一点， 过点 M分别作与三条坐标轴垂直的平面，分别交分别作与三条坐标轴垂直的平面，分别交 x 轴，轴，y 轴，轴，z轴于轴于 P，Q，R.设点设点 P，Q，R 在三条坐标轴的坐标依次为在三条坐标轴的坐标依次为x，y，z，虽然点，虽然点 M 与有序数组与有序数组 x，y，z 之间存在一一对之间存在一一对应的关系（图应的关系（图 7-3）.有序数组有序数组 x，y，z 称为点称为点 M 的坐标，的坐标，

5、又分别叫做横坐标，纵坐标，和竖坐标又分别叫做横坐标，纵坐标，和竖坐标.点点 M 可用坐标点可用坐标点表示为表示为, ,M x y z. O x y z 图图7-2动画演示动画演示3 3 空空 间间 两两 点点 间间 的的 距距 离离 公公 式式 设设 点点1(1, 1, 2),M 2( 1,2,0),M3(1,3,1)M和和22,22,Mx yz是是空空间间两两点点，从从图图 7-4 容容易易看看到到，长长方方体体的的对对角角线线12M M的的长长的的平平方方等等于于三三条条棱棱长长的的平平方方和和，由由此此得得点点 1M和和 2M间间的的距距离离公公式式为为 22212212121M Mxx

6、yyzz xyz图图74zyOPQRx图图73例例 1 1 求点求点, ,M x y z到三个坐标面的距离到三个坐标面的距离. 解解 过点过点 M 作与作与xOy面垂直的直线， 则垂足面垂直的直线， 则垂足 A 的坐标为的坐标为, ,0A x y，且，且MA的长的长 2220MAxxyyzz 就是点就是点 M 到到xOy面的距离面的距离. 同理可得，点同理可得，点 M 到到yOz面，面，zOx面的距离分别为面的距离分别为 x和和 y. 例例 2 2 在在 y 轴上求与点轴上求与点1, 3,7A和和5,7, 5B等距离的点等距离的点. 解解 所求的点在所求的点在 y 轴上，可设为轴上，可设为0,

7、 ,0My.根据题意有根据题意有 MAMB， 即有即有 2221 0370y 22250750y 解得解得 2y ，则所求的点为，则所求的点为0,2,0M. 二、二、 向量与向量的线性运算向量与向量的线性运算 1 1 向量的概念向量的概念 既有大小，又有方向的量称为向量既有大小，又有方向的量称为向量或矢量或矢量.几何上常用的有向线段表示向量， 有向线段的长几何上常用的有向线段表示向量， 有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的起点和终点分别叫做向量的起点和终点有向线段的起点和终点分别叫做向量的起点和终点.以以点点 A

8、 为起点，点为起点，点 B 为终点的向量记作为终点的向量记作 AB .向量也常用向量也常用一个字母表示，如一个字母表示，如, , ,a b c i ，等，等. 向量向量a的大小又称为向量的模， 记作的大小又称为向量的模， 记作 a.模为模为 1 的向的向量叫做单位向量；模为零的向量叫做零向量量叫做单位向量；模为零的向量叫做零向量. 两个向量两个向量a和和b的大小相同， 方向一致， 就称向量的大小相同， 方向一致， 就称向量 a和和b相等，记作相等，记作ab. 将两个非零向量将两个非零向量 a和和 b平移到同一起点，它们所平移到同一起点，它们所在射线间的夹角在射线间的夹角0称为向量称为向量 a与

9、与 b的夹角的夹角 （图（图 7-5） ，记作） ，记作, a b . 当当,a b 或或,0a b 时，就称时，就称 向量向量 a与与 b平行，记作平行，记作/ab； 当当,2a b 时时 ，就称，就称 a与与b垂垂 直，记作直，记作ab. 规定零向量规定零向量 0与任意向量都平行或垂直与任意向量都平行或垂直. 图图75aab2 2 向量的线性运算向量的线性运算 向量的加法，数与向量的乘法，统称为向量的线性向量的加法，数与向量的乘法，统称为向量的线性运算运算. 向量向量ab与的和的和ab，按图，按图 7-6 的方法确定（称为平行的方法确定（称为平行四边形法则） ， 或按图四边形法则） ， 或

10、按图 7-7 的方法确定 （称为三角形法则）的方法确定 （称为三角形法则） .向量向量ab与的差，按图的差，按图 7-8 的方法确定的方法确定. 图图7-6CbaoABab图图7-7AOC图图7 - 8-bbBa数数 与与向向量量 a的的积积a规规定定为为平平行行向向量量 a的的一一个个向向量量.当当0时时，它它与与 a方方向向相相同同；当当0时时，它它与与 a方方向向相相反反；当当0时时，它它为为零零向向量量.它它的的模模为为aa. 向量的线性运算有以下性质：向量的线性运算有以下性质： (1)交换律交换律 abba； (2)结合律结合律abcabc， aa , 是数；是数； (3)分配律分配

11、律 aaa abab , 是数是数. 3 3 向向量量平平行行的的充充分分必必要要条条件件 定定理理 向向量量 b与与非非零零向向量量 a平平行行的的充充分分必必要要条条件件是是，存存在在惟惟一一的的数数 ，使使 ba. 例例 3 3 已知 平行四边形已知 平行四边形ABCD的对 角线向量的对 角线向量ABa ，BDb ，试用向量，试用向量,a b表示向量表示向量 AB 和和 DA . 解解 设设AC ，BD 的交点为的交点为 O（图（图 7-9） ，由于平行四） ，由于平行四边形对角线互相平行，故边形对角线互相平行，故 1122AOACa ，1122ODBOBDb ， 根据三角形法则，有根据

12、三角形法则，有 12ABAOOBAOBOab 12DAADAOODab BAC图图7 - 9DO三三 向量的坐标表达式及其线性运算向量的坐标表达式及其线性运算 zyOPQRxMyOzxa2 2 用坐标表示向量的线性运算用坐标表示向量的线性运算 设向量设向量,xyzaa a a，,xyzbb b b，则，则 xxyyzzababiabjabk ， 或写成或写成 ,xxyyzzabab ab ab xyzaa ia ja k 或写成或写成 ,xyzaaaa， 其中其中 是数是数. 3 3. .用用坐坐标标表表示示向向量量平平行行的的充充要要条条件件 前前面面已已提提到到向向量量ba与平平行行的的充

13、充要要条条件件为为，存存在在惟惟一一的的数数 使使 ba 引引入入向向量量坐坐标标以以后后，此此条条件件又又能能写写成成 ,xyzxyzb b baaa， 即即 ,xxyyzzbababa 即即 yxzxyzbbbaaa 四、四、 用坐标表示向量的模和方向余弦用坐标表示向量的模和方向余弦 设向量设向量,xyzaa a a，由两点距离公式知，由两点距离公式知，a的模为的模为 222212121222xyzaxxyyzzaaa 向量向量a与三条坐标轴与三条坐标轴 x，y，z 轴正向的夹角轴正向的夹角, 称称为为 a的方向角，三个方向角的余弦的方向角，三个方向角的余弦cos , cos, cos称为

14、称为 a的方向余弦的方向余弦.由图由图 7-12 知，当知，当 是锐角时，直角三角形是锐角时，直角三角形12M M P中，中， 1212,2PM MM PM12121xM Pxxxxa， 12M Ma， yzxPQR图图712M2M1122212cosxxxyzM PaaM Maaaa 当当 是钝角时，上式也成立是钝角时，上式也成立. 类似地，有类似地，有 222cosyyxyzaaaaaa， 222coszzxyzaaaaaa 三个等式平方相加，有三个等式平方相加，有222coscoscos1. 如果以如果以a的三个方向余弦构成一个向量，的三个方向余弦构成一个向量， cos ,cos,cos

15、,yxzaaaeaaa 那么那么e是与是与a方向相同的单位向量方向相同的单位向量. 例例 4 4 已已知知点点21, 1,2M和和12,0,1M，求求向向量量12M M 的的模模和和方方向向余余弦弦. 解解 因为因为 121 2, 1 0,2 11, 1,1M M 所以所以 222121113M M 111cos,cos,cos333 例例 5 5 已知向量已知向量23,5aijkbij ，向量，向量2cab， 求： （求： （1）c； （2）与）与 c方向相同的单位向量方向相同的单位向量. 解解 （1） 2 2,3,11,5,0c 4,6,21,5,0 3,1,2 故故 22231214c

16、. （2）与）与 c方向相同的单位向量为方向相同的单位向量为 312,141414e 例例 6 设设向向量量a的的方方向向角角,42为为锐锐角角，且且2a ，求求向向量量a的的坐坐标标表表达达式式. 解解 因为因为 222coscoscos142 解得解得2cos2 （ 是锐角，负的舍去）是锐角，负的舍去）.所以所以 cos2cos2,cos2cos042xyaaaa， 2cos2cos22zaa. 向量向量a的坐标表示式为的坐标表示式为 2,0, 2a . 例例 7 设设向向量量,2,1 ,0, 1,ab，问问, 为为何何值值时时，ab与平平行行？ 解解 由由平平行行的的充充要要条条件件，得

17、得 0121， 即即 10,21 解解得得 10,2 作作业业： 习习题题 7 7- -1 1 3,4,5,9,11,14,15 1.数量积的定义数量积的定义 先看一个实例：设有一个物体在常力先看一个实例：设有一个物体在常力 F的作用沿直的作用沿直线运动，产生了位移线运动，产生了位移 S，实验证明力，实验证明力 F所做的功为所做的功为 cosWF S 其中其中 是力是力 F与位移与位移 S的夹角的夹角. . 上式的右边可看成向量上式的右边可看成向量 F 和和 S进行了某种运算，这种运进行了某种运算，这种运 算叫做向量的数量积算叫做向量的数量积. . Fs 图图7-13定定义义 1 设设,a b

18、 是是两两个个向向量量，它它们们的的模模及及夹夹角角的的余余弦弦的的乘乘积积为为向向量量ab与的的数数量量积积（又又称称点点积积或或内内积积） ，记记做做cos( , )a ba ba b 由由图图 7 7- -1 14 4 知知，数数cos( , )aa b 等等于于 有有向向线线段段OB的的值值，它它称称为为向向量量ab在 上上的的投投影影，记记做做Pr jba，即即 cos( , )Prjbaaa b 类类似似地地，向向量量ba在上上的的投投影影为为cos( , )Prjabba b . . 数数量量积积又又能能表表示示成成prjprjbaa bbaab . . 图图714BabO2.

19、数数量量积积性性质质 （1 1）2a aa ； （2 2）00a ； （3 3）交交换换律律 a bb a ； （4 4）结结合合律律 ()()aba b ，其其中中 是是实实数数； （5 5）分分配配律律 ()abca cb c . . 例例 1 已知已知2( , ),3,4,3a bab 求向量求向量32cab的模的模. 解解 根根据据数数量量积积的的定定义义和和性性质质，有有 22222(32 ) (32 )(32 ) 3(32 ) 29664912cos( , )42912 3 4cos434381 726473cc cabababaabba ab aa bb baba bab 所所以

20、以 73c 3 数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式 设设,xyzxyzaijk bijkaaabbb 利用数量积的利用数量积的性质及性质及, ,i j k 是两两互相垂直的单位向量，有是两两互相垂直的单位向量，有 2221,1,10,0,0i ij jk kijki jj ki kk ij kk j 通过计算通过计算 () ()xyzxyza bijkijkaaabbb 后可得后可得 xxyyzza ba ba ba b 上式称为数量积的坐标表示式上式称为数量积的坐标表示式 222222cos( , )xxyyzzxyzxyza ba ba ba baaabbb 例例 2 设向量设向量,22

21、 ,aij bijk 求求 ,cos( , )prjba baa b . . 解解 ( 1) 2 1 1 0 21a b 因为因为 222222( 1)13( 2)21ab 所以所以 1prj31cos( , )3 2ba baba ba ba b 二二 、向量的向量积、向量的向量积 1.向量积的定义向量积的定义 先看一个实例：设先看一个实例：设 O 为一杠杆的支为一杠杆的支点，有一力点，有一力F作用于杠杆的点作用于杠杆的点 A 处，由力处，由力学知道， 力学知道， 力F对支点对支点 O 的力矩是一个向量的力矩是一个向量M ，它的模为，它的模为 sin( ,)MF OPF OAF OA ， O

22、APF(a)OFM(b)A图图7-15其 中其 中 sin( ,)OPOAF OA 是 力 臂是 力 臂 ( 图图7-15(a)，力矩，力矩M 的方向规定为：的方向规定为：M 同时垂同时垂直于直于F和和OA ，且，且,OA F M 构成右手系，构成右手系，即当右手的四个手指指向即当右手的四个手指指向OA 的方向的方向，握拳握拳转转向向F时时，大母指所指的方向是力矩的方大母指所指的方向是力矩的方向向(图图 7-15(b). 物理力学中常会遇到由两个物理力学中常会遇到由两个已知已知向量按上述方式确向量按上述方式确定另一个向量，数学上称这个向量是两个定另一个向量，数学上称这个向量是两个已知已知向量的

23、积向量的积. 定义定义 2 两个向量两个向量ab和的向量积（又称叉积或外积）的向量积（又称叉积或外积）是一个向量，记作是一个向量，记作a b，它按下列方式确定：，它按下列方式确定： （1）模模 sin( , )a ba ba b ； （2） 方向） 方向 ,a ba a bb 且且, ,a b a b 构成右手系 （图构成右手系 （图7-16） 2.向向量量积积的的几几何何意意义义 ab与的的向向量量积积的的模模a b等等于于以以, a b 为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积（图图 7-17） baba图图716ba图图7-173.向量积的性质向量积的性质 （1）0,00aaa

24、（2）()b aa b （3）结合律）结合律 ()()()aba bab，其中，其中 是数；是数； （4）分配律）分配律 ()abca cb c . 4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式 设设,xyzxyzaijk bijkaaabbb， 利用向量积的， 利用向量积的性质及性质及, ,i j k 两两互相垂直，且构成右手系，有两两互相垂直，且构成右手系，有 0,i ijjkkijk i kjjik kji ikj 通过计算通过计算() ()xyzxyza bijkijkaaabbb后，可得后，可得 )()()yzzyzxxyxyyxa ba ba b ia ba bja ba b k, 或

25、简写成三阶行列式的形式或简写成三阶行列式的形式 xyzxyzijka baaabbb 上式称为向量积的坐标表示式上式称为向量积的坐标表示式. 解解 （1）211112121110101011ijka bijk ijk （2）a bijk 和和()b aa bijk 都是与都是与 a和和b均垂直的向量，所以与均垂直的向量，所以与 a和和 b同时垂直的单位向量为同时垂直的单位向量为 ,a bea b 而而 2223,( 1)( 1)1a b 因此因此 111(,)333e或或111(,)333e. 解解（1）作向量）作向量,BA BC 则则 ( 1 1,2 1,3 1)( 2,1,2)(0 1,0

26、 1,5 1)( 1, 1,4)BABC 三角形三角形 ABC 的面积为的面积为 12SBA BC 因为因为122221212141411114ijkBA BCijk 663ijk， 所以所以2221966322S . 任何曲面或空间都可看作满足一定任何曲面或空间都可看作满足一定 几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹方几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹方 程叫做曲面或空间曲线的方程程叫做曲面或空间曲线的方程. 1.曲面及其方程曲面及其方程 如果曲面如果曲面 S 与三元方程与三元方程 ( , , )0F x y z 有如下关系有如下关系 (1)曲面曲面 S 上任意一点的坐标满足方程，上任意一点的坐标满

27、足方程， (2)不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足方程，上的点的坐标不满足方程， 那么称方程那么称方程( , , )0F x y z 是曲面是曲面 S 的方程，曲面的方程，曲面 S 称为称为方程方程( , , )0F x y z 的图形（图的图形（图 7-18）. 平面与直线平面与直线 一、一、点的轨迹方程的概点的轨迹方程的概念念 图图 7-18SxOyz( , , )0F x y z 2 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 空间曲线可看作两个曲面的交线（图空间曲线可看作两个曲面的交线（图 7-19）因此空）因此空间曲线的方程是方程组的形式间曲线的方程是方程组的形式.如果空间曲线与方程组如

28、果空间曲线与方程组 ( , , )0,( , , )0F x y zG x y z 有如下关系：在曲线上的坐标满足方程组，不在曲线上有如下关系：在曲线上的坐标满足方程组，不在曲线上的点的坐标不满足方程组，那么称此方程组是曲线的方的点的坐标不满足方程组，那么称此方程组是曲线的方程，曲线是方程组的图形程，曲线是方程组的图形. TOzyx图图 7-19二、平面及其方程二、平面及其方程 1.平平面面的的点点法法式式方方程程 平平面面法法向向量量的的概概念念 凡凡是是垂垂直直平平面面的的向向量量都都称称为为平平面面的的法法向向量量，显显然然，一一个个平平面面的的法法向向量量有有无无穷穷多多个个，它它们们

29、之之间间相相互互平平行行. 现现在在，在在已已知知平平面面 上上一一点点,0000()Mx y z和和一一个个法法向向量量( , ,)nA B C的的几几何何条条件件下下， 建建立立平平面面 的的方方程程. OyxnMz图图 7-20M0 设设点点( , , )M x y z是是平平面面 上上一一点点，因因为为向向量量 0000(,)M Mxxyy zz 在在平平面面 上上，故故0nM M，(图图 7-20) 由向量垂直的充要条件，得由向量垂直的充要条件，得 000()()()0A xB yC zyxz 容易验证，在平面容易验证，在平面 上的点的坐标满足方程，不在上的点的坐标满足方程，不在平面

30、平面 上的点的坐标不满足方程上的点的坐标不满足方程.所以该方程是平面所以该方程是平面 的的方程，它称为平面方程，它称为平面 的点法式方程的点法式方程. 2.平面的一般方程平面的一般方程 在平面的点法式方程中， 另在平面的点法式方程中， 另000()DABCyxz ，那么方程可写成那么方程可写成 0AxByCzD， 反之，设有三元一次方程反之，设有三元一次方程 0AxByCzD 任取一组满足该方程的数任取一组满足该方程的数000,yxz，代入方程后，得，代入方程后，得 0000AxByCzD, 两式相减，得两式相减，得 000()()()0A xxB yyC zz， 它恰是通过它恰是通过000(

31、,)xy z， 法向量为， 法向量为( , ,)A B Cn的平面方程，的平面方程，方程方程 0AxByCzD 称为称为平面的一般方程平面的一般方程，其中，其中( , ,)A B Cn是平面的法向量，是平面的法向量， 下面讨论一些特殊情况：下面讨论一些特殊情况： （1） 当当0D 时时，显然原点，显然原点(0,0,0)O的坐标满足方的坐标满足方程程 0AxByCz， 因此，它表示的平面通过原点因此，它表示的平面通过原点. （2） 当当0A 时，方程时，方程 0ByCzD 表示的平面的法向量表示的平面的法向量(0, ,)B Cn.由于法向量由于法向量 n 在在 x 轴上轴上的投影的投影0A ，故

32、，故 n 垂直垂直 x 轴，所以平面平行轴，所以平面平行 x 轴，类似轴，类似地，当地，当0B 时或时或0C 时，方程时，方程 0AxCzD 或或 0AxByD 分别表示与分别表示与 y 轴平行和与轴平行和与 z 轴平行的平面轴平行的平面. （3） 当当0A ，0B 时，方程时，方程 0CzD 表示的平面的法向量表示的平面的法向量(0,0,)Cn，这时，这时 n 与与 x 轴，轴，y 轴都轴都垂直，即与垂直，即与xOy面垂直面垂直，因此平面与，因此平面与xOy面平行，类似地，面平行，类似地，当当0A ，0C 或或0B ，0C 时，方程时，方程 0ByD 或或 0AxD 分别表示与分别表示与zO

33、x面和与面和与yOz面平行的平面面平行的平面. 例例 1 求通过点求通过点(1, 2,1)，且与平面，且与平面2310 xyz 平平行的平面方程行的平面方程. 解解 已已知知平平面面的的法法向向量量(1, 2,3)n垂垂直直所所求求的的平平面面，于于是是它它是是所所求求平平面面的的法法向向量量，所所以以平平面面方方程程为为 1(1)2(2)3(1)0 xyz， 即即 2380 xyz. 例例 2 求通过三点求通过三点123(1, 1, 2),( 1,2,0),(1,3,1)MMM 的平面方程的平面方程. 解解 向量向量12M M ，13M M 均在平面上，而向量积均在平面上，而向量积1213M

34、 MM M 同时与同时与12M M ，13M M 垂直，故与平面垂垂直，故与平面垂直，它是平面的法向量，直，它是平面的法向量， 因为因为 12( 2,3,2)M M ，13(0,4,3)M M ， 121323268043M MM M ijkijk 所以，所求平面的方程为所以，所求平面的方程为 (1)6(1)8(2)0 xyz 即即 68110 xyz 一般一般地地， 若平面与向量， 若平面与向量 a 和和 b 都平行， 则向量都平行， 则向量积积ab是是平面的一个法向量平面的一个法向量. 例例 3 求求通通过过点点(1,1,1)A和和(2, 1,1)B，且且与与 z 轴轴平平行行的的平平面面

35、方方程程. 解解 因为平面与因为平面与 z 轴平行，可设它的方程为轴平行，可设它的方程为 0AxByD， 又点又点(1,1,1)A，(2, 1,1)B在平面内，故在平面内，故 020ABDABD 解方程组，求得解方程组，求得 21,33AD BD ，于是，于是 21(1)033Dxy， 注意到平面不通过原点，注意到平面不通过原点，0D ，所以，所求平面方程为，所以，所求平面方程为 211033xy 即即 230 xy. 例例 3 3 也也能能按按例例 2 2 的的方方法法求求解解，平平面面与与z轴轴的的单单位位向向量量(0,0,1)e及及向向量量(1, 2,0)AB 都都平平行行， 故故平平面

36、面的的法法向向量量为为 1202001AB ijkeij 所所以以平平面面方方程程为为 2(1)(1)0 xy， 即即 230 xy. . 解解 设平面方程为设平面方程为 0AxByCzD 将点将点 P，Q，R 的坐标代入方程，得的坐标代入方程，得 0,0,0,AaDBbDCcD 解得解得 ,DDDABCabc 代入方程中，消去代入方程中，消去 D，最，最后求得平面方程为后求得平面方程为 1xyzabc 此方程称为此方程称为平面的截距式方程平面的截距式方程，, ,a b c叫做叫做平面平面在坐标轴上在坐标轴上的截距的截距. 例例4 设 一 平 面 与设 一 平 面 与, ,x y z轴 的 交

37、 点 依 次 为轴 的 交 点 依 次 为( ,0,0),( ,0,0), (0,0, ),(0)P aQ bRcabc ，求它的方程，求它的方程. 三、三、 空间直线及其方程空间直线及其方程 1.直线的一般方程直线的一般方程 空间直线空间直线 l，可看成两个平面，可看成两个平面 11111:0AxB yC zD 与平面与平面22222:0A xB yC zD的交线，所以方程组的交线，所以方程组 1111222200AxB yC zDA xB yC zD 是直线是直线 l 的方程，它称为的方程，它称为直线的一般方程直线的一般方程. 2.直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程与参数方程 方向

38、向量的概念方向向量的概念 凡是与直线平行的非零向量都凡是与直线平行的非零向量都称为直线的方向向量，显然，一条称为直线的方向向量，显然，一条直线的方向向量有无直线的方向向量有无穷多个，它们之间相互平行穷多个，它们之间相互平行. 现现在在已已知知直直线线 l 的的方方向向向向量量( , , )m n ps和和直直线线上上一一点点0000(,)Mxyz的的几几何何条条件件下下，建建立立空空间间直直线线 l 的的方方程程. 设点设点( , , )M x y z是直线是直线 l 上任意一点，由于向量上任意一点，由于向量0000(,)M Mxxyy zz在直线在直线 l 上，它是直线上，它是直线 l 的一

39、的一个方向向量，故个方向向量，故0/M MS（图（图 7-21） 则则 000 xxyyzzmnp 该方程组称为该方程组称为直线直线 l 的对称式的对称式 （或点向式）方程（或点向式）方程. OyMzxs图图7-21M0注注 方程中， 若有个别分母等于零， 应理解为分子也方程中， 若有个别分母等于零， 应理解为分子也为零，例如，为零，例如，0,(0,0)mnp时方程时方程 0000 xxyyzznp 应等价于方程组应等价于方程组0000,xxyyzznp 引入变量引入变量 t，令，令000,xxyyzztmnp 则有则有 000,xxmtyyntzzpt 该方程组称为该方程组称为直线直线 l

40、的参数方程的参数方程，t 叫做参数叫做参数. 解解 取取00,x 代入一般方程，得代入一般方程，得 40,29,yzyz 解方程组，求得解方程组，求得001,4yz，则点，则点(0,1,4)在直线在直线 l 上上,因因为直线与两个平面的法向量为直线与两个平面的法向量12(2, 4,1),(3, 1, 2) nn都垂直都垂直,故向量积故向量积12nn与直线与直线 l 平行平行,它是直线它是直线 l 的一个的一个方向向量方向向量,而而 122419710312ijknnijk 例例 5 把直线把直线 l 的一般方程的一般方程 240,3290 xyzxyz化为对称式方程和参数方程化为对称式方程和参

41、数方程. 所以所以,直线直线 l 的对称式方程为的对称式方程为 14,9710 xyz 参数方程为参数方程为 9 ,1 7 ,4 10 .xtytzt 例例 6 求通过点求通过点( 3,2,5),且与两个平面且与两个平面3xz和和251xyz都平行的直线方程都平行的直线方程. 解解 直直线线与与两两平平面面的的法法向向量量1(1,0,1),n2(2, 1, 5) n都都垂垂直直,则则向向量量积积12nn与与直直线线平平行行,它它是是直直线线的的方方向向向向量量,因因为为 121017215 ijknnijk 因因此此,所所求求直直线线的的方方程程为为, 325,171xyz 一一般般,若若直直

42、线线与与两两个个向向量量a和和b都都垂垂直直,则则向向量量积积 ab是是直直线线的的一一个个方方向向向向量量. 四、平面与直线间的夹角四、平面与直线间的夹角 1.平面的夹角平面的夹角 两平面法向量的夹角中的锐角两平面法向量的夹角中的锐角,称称为为两平面的夹角两平面的夹角. 设平面设平面1和和2的方程依次为的方程依次为 11110AxB yC zD和和22220A xB yC zD 则平面夹角的余弦为则平面夹角的余弦为 121212coscos(,)n nn nn n 121212222222111222A AB BC CABCABC 3.直直线线与与直直线线的的夹夹角角 两两直直线线方方向向向

43、向量量夹夹角角中中的的锐锐角角称称为为两两直直线线的的夹夹角角. 设设直直线线 1l与与 2l的的方方向向向向量量依依次次为为1111(,)m n ps和和222(,)m np2s,则则直直线线的的夹夹角角余余弦弦为为 12121212222222111222coscos( ,)m mn np pmnpmnps s 2.平面平行、垂直的充要条件平面平行、垂直的充要条件 (1)平面平面1和和2平行的充分必要条件为法向量平行，平行的充分必要条件为法向量平行，即有即有 111222ABCABC. (2)平面平面1和和2垂直的充分必要条件为法向量垂直，垂直的充分必要条件为法向量垂直，即有即有 1212

44、120A AB BC C 4.两直线平行、垂直的充要条件两直线平行、垂直的充要条件 (1) 两直线两直线 1l和和 2l平行的充分必要条件是方向向量平行的充分必要条件是方向向量平行，即有平行，即有 111222mnpmnp, (2) 两直线两直线 1l和和 2l垂直的充分必要条件是方向向量垂直的充分必要条件是方向向量垂直，即有垂直，即有 1212120m mn np p 图图7-22lnl1 5. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当直线当直线 l 和平面和平面 不垂直时，直线不垂直时，直线 l 与它在平面与它在平面 的投影直线的投影直线 1l的夹角的锐角的夹角的锐角 (图图 7-22)， 称

45、为直线称为直线 l 与平面与平面 的夹角的夹角. 当直线当直线 l 和平面和平面 垂直时垂直时,规定规定2. 设直线的方向向量设直线的方向向量( , , )m n ps,平面平面 的法向量的法向量( , ,)A B Cn,则直线则直线 l 与平面与平面 的夹角的正弦为的夹角的正弦为 222222sincos( , )AmBnCpABCmnps ns ns n 注注 所谓直线所谓直线l在平面在平面 上的投影直线上的投影直线 1l,是过直线是过直线l且垂且垂直于直于 的平面的平面 1的交线的交线. 例例 7 求两平面求两平面260 xyz和和250 xyz的夹角的夹角. 解解 因为因为 22222

46、21 2( 1) 12 11cos21( 1)2211 所以夹角所以夹角3. 解解 过直线过直线 l 作平面作平面1与平面与平面 垂直垂直,则直线则直线 l 的方向向的方向向量量(2, 1,2)s及平面及平面 的法向量的法向量(2, 1,0)n都与平面都与平面1平平行行,故向故向量积量积sn是平面是平面1的法向量的法向量,因为因为 21224210ijksnij 又直线又直线 l 上的点上的点(1, 1,0)在平面在平面1上上,于是平面于是平面1的方程为的方程为 2(1)4(1)0 xy 即即 210 xy 所以投影直线方程为所以投影直线方程为210,20,xyxy 例例 8 求直线求直线11

47、:212xyzl在平面在平面:20 xy的的投影直线方程投影直线方程. 曲面与曲线曲面与曲线 一、一、几种常见的曲面及其方程几种常见的曲面及其方程 1. 球面球面 空间一动点到定点的距离为定值，动点的轨迹为空间一动点到定点的距离为定值，动点的轨迹为球球面面，定值叫做，定值叫做半径半径，定点，定点叫叫做做球心球心. 球心为球心为0000(,)Mxy z，半径为，半径为 R 的球面方程为的球面方程为 2222000()()()xxyyzzR （此方程曲面两点距离公式易推得）特别地，球心在原（此方程曲面两点距离公式易推得）特别地，球心在原点点(0,0,0)O，半径，半径为为 R 的球面方程为的球面方

48、程为 2222xyzR 例例 1 1 方程方程22242210 xyzxyz 表示怎样表示怎样的曲面？的曲面？ 解解 通过配方，方程写成通过配方，方程写成 222(2)(1)(1)5xyz 所以，它表示从点所以，它表示从点(2, 1,1)为球心，半径为为球心，半径为5的球面的球面. 2.柱面柱面 一动直线一动直线 L 沿曲线沿曲线 C 移动，且始终与定移动，且始终与定直线直线 l 平行，动直线的轨迹称为柱面平行，动直线的轨迹称为柱面, 定曲线定曲线 C 称为柱称为柱面的准线，动直线面的准线，动直线 L 称为柱面的母线称为柱面的母线. 现在讨论母线平行于现在讨论母线平行于 z 轴， 准线是轴，

49、准线是 xOy面上的曲线面上的曲线C： ( , )00F x yz 的柱面方程的柱面方程. 设设( , , )M x y z是是柱柱面面上上任任意意一一点点，过过点点 M 作作与与 z 轴轴平平行行的的直直线线，交交准准线线 C 于于点点1M（图图 7-24）.显显然然，点点1M和和点点M 有有相相同同的的横横坐坐标标及及纵纵坐坐标标，由由于于点点1( , ,0)M x y在在准准线线 C上上，它它的的坐坐标标满满足足准准线线 C 的的方方程程( , )0F x y ，而而方方程程中中不不出出现现z， 所所以以点点( , , )M x y z， 也也满满足足此此方方程程， 即即方方程程( ,

50、)0F x y 是是母母线线平平行行于于 z 轴轴，准准线线是是 曲曲线线 C 的的柱柱面面方方程程. y图图7-24zxOM(x,y.z)F(x,y)=0DM1(x,y,0)类类似似地地，母母线线与与 x 轴轴平平行行，准准线线 是是yOz面面上上的的曲曲线线 C ( , )00G y zx 的的柱柱面面方方程程为为( , )0G y z ； 母母线线与与 y 轴轴平平行行，准准线线是是zOx面面 上上的的曲曲线线 C( , )00H x zy的的柱柱面面方方程程 为为( , )0H x z . 例如，母线与例如，母线与 z 轴平行，准线为轴平行，准线为xOy面上的圆周面上的圆周222xya

51、的的圆柱面圆柱面（图（图 7-25）的方程为）的方程为 222xya 母线与母线与 y 轴平行，准线是轴平行，准线是zOx面的抛物线面的抛物线21zx 的的抛抛物柱面物柱面（图（图 7-26）的方程为）的方程为 21zx zxyOa图图7-25Ozyx图图7-26xyzO图图7-27MM1所以所以( , , )M x y z的坐标满足方程的坐标满足方程 22(, )0fxyz 它就是曲面它就是曲面 S 的方程，类似地，旋转轴为的方程，类似地，旋转轴为 y 轴，准线仍轴，准线仍是曲线是曲线 C 的旋转面方程为的旋转面方程为 22( ,)0f yxz 用同样的方法，可推得，准线是用同样的方法，可推

52、得，准线是xOy面上的曲线：面上的曲线： ( , )00g x yz旋转轴分别是旋转轴分别是 x轴和轴和 y轴的旋转曲面方程分别轴的旋转曲面方程分别是是22( ,)0g xyz和和22(, )0gxzy;准线是准线是zOx面面上的曲线：上的曲线：( , )0,0,h x zy旋转轴分别是旋转轴分别是 x 轴和轴和 z 轴的旋转曲轴的旋转曲面方程分别是面方程分别是22( ,)0h xyz和和22(, )0hxyz. 例例 2 2 将将yOz面上的椭圆面上的椭圆22221yzab分别绕分别绕 z 轴和轴和 y 轴轴旋转，求所形成的旋转曲面方程旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解解 绕绕 z 轴旋转而

53、形成的旋转曲面（图轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程）方程为为 222221xyzab， 即即 2222221xyzaab. 绕绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为轴旋转而形成的旋转曲面方程为 222221yxzab， 即即 2222221xyzbab. yxzaab图图7-28xyz图图7-29zyxO图图7-30二、二、 二次曲面二次曲面 三元二次方程表示的曲面称为三元二次方程表示的曲面称为二次曲面二次曲面.给定一个给定一个三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形状和特征，三元二次方程，要研究表示的二次曲面的形状和特征，可采用可采用“截痕法截痕法”, ,即用平行于坐标面的截面去截曲面

54、，即用平行于坐标面的截面去截曲面，考察它们的交线（叫做截痕）的形状，然后综合分析考察它们的交线（叫做截痕）的形状，然后综合分析. 1.1.球面球面 方程方程2222221xyzabc表示的曲面称为表示的曲面称为椭球面椭球面., ,a b c叫做叫做椭球面的半轴，椭球面的半轴，原点叫做原点叫做椭球面的中心椭球面的中心.当当abc时，方程变为时，方程变为 2222xyza， 它是球心在原点，半径为它是球心在原点，半径为 a 的球面方程的球面方程. 椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与三个坐标面的交线： 222210 xyabz ，222210 xzacy，222210yzbcx 分别是三个坐标面上的

55、椭圆分别是三个坐标面上的椭圆. 用平行于用平行于xOy的平面的平面()zh hc去截椭球面，交线为去截椭球面，交线为 2222221xyhabczh ， 它是它是zh的一个椭圆的一个椭圆.当当h由由 0 逐渐增大到逐渐增大到 c 时， 椭圆逐渐时， 椭圆逐渐变小，最后变成一点，这些椭圆形成了球面变小，最后变成一点，这些椭圆形成了球面. 用平行于用平行于yOz的平面的平面()xd da或平行于或平行于zOx的平的平面面()yk kb分别去截椭球面时，也有类似的结果分别去截椭球面时，也有类似的结果.椭球椭球面的形状如图面的形状如图 7-31 所示所示. yxz图图7-31hO2 2. .椭椭圆圆抛

56、抛物物面面 方方程程 22( ,)22xyz p qpq同号 所所表表示示的的曲曲面面称称为为椭椭圆圆抛抛物物面面.0,0pq时，z0，它它在在xOy面面上上方方，0,00,pqz时，它它在在xOy面面下下方方，原原点点是是椭椭圆圆抛抛物物面面似似的的最最高高或或最最低低点点，称称为为顶顶点点. 设设0,0pq， 用平行于， 用平行于xOy面的平面面的平面(0)zh h去去截椭圆抛物面，交线为截椭圆抛物面，交线为 22122xyphqhzh， 它是平面它是平面zh上的一个椭圆上的一个椭圆.当当 h 逐渐由小变大时， 椭圆逐渐由小变大时， 椭圆也逐渐有小变大，这些椭圆就形成了椭圆抛物面也逐渐有小

57、变大，这些椭圆就形成了椭圆抛物面. 椭圆抛物面与椭圆抛物面与yOz面及面及zOx面的交线分别为面的交线分别为 220yqzx ， 220 xpzy 旋转它们分别是旋转它们分别是yOz面及面及zOx面的抛物线面的抛物线. 用平行于用平行于zOx的平面的平面yk去截椭圆抛物面，交线为去截椭圆抛物面，交线为 222 ()2kxp zqyk 它是平面它是平面yk上的一条抛物线上的一条抛物线.同样，用平行于同样，用平行于yOz面面xd去截椭圆抛物面， 交线也是抛物线的图形， 如图去截椭圆抛物面， 交线也是抛物线的图形， 如图 7-32 和图和图 7-33 所示所示. p0,q0,q0的情形的情形图图7-

58、32yOxz三、空间曲线三、空间曲线 1.曲线方程曲线方程 如果曲线如果曲线 的方程是方程组的方程是方程组 ( , , )0,( , , )0,F x y zG x y z 此方程组成为此方程组成为曲线曲线 的一般方程的一般方程. 如果曲线如果曲线 上任意一点上任意一点( , , )M x y z的坐标都用参数的坐标都用参数 t表示，表示， ( ),( ),( ),xx tyy tzz t 此方程组称为此方程组称为曲线曲线 的参数方程的参数方程. 例例 5 5 方程组方程组22225,3,xyzz 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 解解 因为因为22225xyz表示球心在原点，半径为表示球心在原点，半径为5 的球面，方程的球面，方程3z 表示通过点表示通过点(0,0,3)，且与，且与 xOy面平面平行的平面， 所以方程组表示球面与平面