传热学课件第2章

1、第第2章章 稳态热传导稳态热传导Steady-state heat conduction第第2 2章作业章作业 2-42-112-172-242-342-422-452-532-76 本章重点内容本章重点内容重点内容：重点内容： 傅里叶定律及其应用；傅里叶定律及其应用； 导热系数及其影响因素；导热系数及其影响因素； 导热问题的数学模型。导热问题的数学模型。 掌握内容：掌握内容： 一维稳态导热问题的分析解法。一维稳态导热问题的分析解法。 了解内容：了解内容： 多维导热问题。多维导热问题。不同物质导热机制不同不同物质导热机制不同气体：气体：固体固体气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果气体分子不规则

2、热运动时相互碰撞的结果导电体：导电体： 自由电子的运动自由电子的运动非导电体：非导电体： 晶格结构的振动晶格结构的振动弹性波弹性波液体：液体： 存在不同的观点存在不同的观点只只研研究究导导热热现现象象的的宏宏观观规规律律 2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律傅里叶定律傅里叶定律一、各类物体的导热机理一、各类物体的导热机理2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律傅里叶定律傅里叶定律稳态温度场（稳态温度场（Steady-state conduction）非稳态温度场（非稳态温度场（Transient conduction）二、温度场（二、温度场（Temperature field）()tf x

3、 y z，0t()tf x y z，0t（2）分类：）分类： （1）定义：）定义： 各时刻空间所有各点温度分布的总称。各时刻空间所有各点温度分布的总称。 温度场是时间和空间的函数温度场是时间和空间的函数()tf x y z，2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律（3）等温面与等温线）等温面与等温线 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点 连接起来所构成的面。连接起来所构成的面。 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平 面上得

4、到一个等温线簇。面上得到一个等温线簇。等温面与等温线的特点：等温面与等温线的特点： 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上。终止与物体的边界上。 物体的温度场通常用等温面或等温线表示。物体的温度场通常用等温面或等温线表示。等温面上没有温差，不会有热等温面上没有温差，不会有热量传递量传递 温度梯度温度梯度 (Temperature gradient ）不同的等温面之间，有温差，不同的等温面之间，有温差，有热量传递。有热量传递。 ttns2.1

5、 2.1 导热基本定律导热基本定律直角坐标系：直角坐标系：注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向. g ra d ttttijkxyztgradtnn温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限，距离比值的极限，gradt2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律（4）温度梯度）温度梯度 2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律三、导热基本定律（三、导热基本定律（Fouriers law of heat conduction）1822年，法国数学家傅里叶（年，法国数学家傅里叶（Fourier

6、）导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的温度梯度，方向与温度梯度相反。于该处的温度梯度，方向与温度梯度相反。 直角坐标系：直角坐标系： 2 -grad Wmqt（Thermal conductivity）热导率（导热系数）热导率（导热系数）: xyztttqq iq jq kijkxyz ; ; xyztttqqqxyz 2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律图图2-22-2 等温线与热流等温线与热流线线四、导热系数四、导热系数2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律导热系数的数值：就是物体中单位温度梯度、单位导热系数的数值：就是物体

7、中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量，时间、通过单位面积的导热量，W/(m.K)W/(m.K)。 物质的重要热物性参数物质的重要热物性参数影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。温度、湿度、压力、密度等。导热系数的数值表征物质导热能力大小。实验测定。导热系数的数值表征物质导热能力大小。实验测定。; 金属非金属固相液相气相bt10qtnn 2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律保温材料：导热系数小的材料。保温材料：导热系数小的材料。我国国家标准规定：凡平均温度不高于我国国家标准规定：凡平均温度不高于350时导热系数

8、不大于时导热系数不大于0.12 W/(m.K)W/(m.K)的的材料。材料。保温材料的种类：保温材料的种类： 岩棉板、膨胀珍珠岩、岩棉玻璃布缝毡等。岩棉板、膨胀珍珠岩、岩棉玻璃布缝毡等。超级保温材料：超级保温材料：采取的方法：（采取的方法：（1）夹层中抽真空。）夹层中抽真空。 （2）采用多层间隔结构（）采用多层间隔结构（1cm 达十几层）达十几层） 特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于 隔热板上的导热系数可达：隔热板上的导热系数可达：104 W/(m.K)。各向同性材料各向同性材料各向异性材料各向异性材料2.2 2.2 导热问题的数学

9、描写导热问题的数学描写理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律热力学第一定律化学反应化学反应 发射药熔发射药熔 化过程化过程 一、导热微分方程式一、导热微分方程式假设：假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质。所研究的物体是各向同性的连续介质。 (2)导热系数、比热容和密度等物性参数均为导热系数、比热容和密度等物性参数均为已知。已知。 (3) 物体内具有内热源；强度物体内具有内热源；强度 W/m3; 内热源均匀分布；内热源均匀分布； 表示单位时间、单位体积内的发热量。表示单位时间、单位体积内的发热量。在导热体中取一微元体在导热体中取一微元体 热力学第一定律：热力学第一

10、定律： d 时间内微元体中：时间内微元体中：导入与导出净热量导入与导出净热量 + 内热源发热量内热源发热量 = 热力学能的增加热力学能的增加1、导入与导出微元体的净热量、导入与导出微元体的净热量d 时间内、沿时间内、沿 x 轴方向、经轴方向、经 x 表面导入的热量：表面导入的热量： JxxdQqdydz dQUW 0, WQU 2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向、经轴方向、经x+dx 表面导出的热量：表面导出的热量：d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微

11、元体净热量： JxdxxdxdQqdydz dxxdxxqqqdxx JxxxdxqdQdQdxdydz dx 2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写d 时间内、沿时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量： Jyyy dyqdQdQdxdydz dy Jzzz dzqdQdQdxdydz dz2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写导入与导出净热量导入与导出净热量:傅里叶定律：傅里叶定律：1() Jyxzqqqdxdydzdxyz ; ; xyztttq

12、qqxyz 1()()() Jtttdxdydzdxxyyzz1xxdxyydyzzdzdQdQdQdQdQdQ2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写2、微元体中内热源的发热量、微元体中内热源的发热量 d 时间内微元体中内热源的发热量：时间内微元体中内热源的发热量：3、微元体热力学能的增量、微元体热力学能的增量 d 时间内微元体中热力学能的增量：时间内微元体中热力学能的增量：由由 1+ 2= 3： 导热微分方程式导热微分方程式3 Jtcdxdydz d(d )tmc tdxdydzcd 2dxdydzd ztzytyxtxtc2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写若

13、物性参数若物性参数 、c 和和 均为常数：均为常数： 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力。温度趋向于均匀一致的能力。2 m sac 热扩散率（导温系数）2 拉 普 拉 斯 算 子热扩散率热扩散率 反映了导热过程中材料的导热能力（反映了导热过程中材料的导热能力（ ） 与沿途物质储热能力（与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系。）之间的关系。a 值大，即值大，即 值大或值大或 c 值小，说明物体的某一部分值小，说明物体的某一部分 一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。a

14、czya222222ttxtt2ctat2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。内部各处的温度差别越小。a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量 若物性参数为常数且无内热源：若物性参数为常数且无内热源：若物性参数为常数、无内热源稳态导热：若物性参数为常数、无内热源稳态导热：72521.5 10 m9.45 10 masas铝木材，1 600aa铝木材2222222(); or tttttaatxyz22222220tttt

15、xyz2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写圆柱坐标系圆柱坐标系, ,rzcos ,sin ,xryrzzrtqr 1tqr ztqz 211ttttcrrrrrzz2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写 球坐标系球坐标系, ,r sincos ,sinsin ,cosxryrzrrtqr1 tqr1sintqr 2222111sinsinsinttttcrrrrrr导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律热力学第一定律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 它没有涉及具体

16、、特定的导热过程。通用表达式。它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解。说明条件的唯一解。 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件。单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件。 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界 完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件单值性条件 2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写二、导热过程的单值性条件二、导热过程的单值性条件2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描

17、写1、几何条件、几何条件如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小2、物理条件、物理条件如：物性参数如：物性参数 、c 和和 的数值，是否随温度变化；的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性有无内热源、大小和分布；是否各向同性说明导热体的物理特征说明导热体的物理特征3、时间条件、时间条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件 与时间无关与时间无关说明在时间上导热过程进行的特点说明在时间上导热过程进行的特点 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的

18、温度分布内的温度分布时间条件又称为时间条件又称为初始条件初始条件 （Initial conditions）2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写、边界条件、边界条件说明导热体边界上过程进行的特点说明导热体边界上过程进行的特点 反映过程与周围环境相互作用的条件反映过程与周围环境相互作用的条件边界条件一般可分为三类：边界条件一般可分为三类： 第一类、第二类、第三类边界条件第一类、第二类、第三类边界条件（1）第一类边界条件）第一类边界条件已知任一瞬间导热体边界上已知任一瞬间导热体边界上温度值温度值： (Boundary conditions)wstt非稳态导热：非稳态导热： ftw1稳

19、态导热：稳态导热：wtconst 边界面边界面, 边界面上的温度边界面上的温度wt c o n s ts2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写（2）第二类边界条件）第二类边界条件根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：已知物体边界上已知物体边界上热流密度热流密度的分布及变化规律：的分布及变化规律：第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界 面法向的温度梯度值面法向的温度梯度值qw 特例：绝热边界面：特例：绝热边界面： 稳态导热：稳态导热：wqconst0 0wwwttqnn()wntqn ()wnqtn 2wsqqf非稳态导热：非稳态导热： 2wsq

20、qf 2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写（3）第三类边界条件）第三类边界条件当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知 任一时刻边界面任一时刻边界面周围流体的温度周围流体的温度和和表面传热系数表面传热系数 tf, h qw 牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：()wwfqh tt傅里叶定律：傅里叶定律：wwqtn ()wfwtnh tt非非傅里叶傅里叶导热导热:v温度效应温度效应: :极低温度极低温度( (接近于接近于0K)0K)时的导热问题时的导热问题v时间效应时间效应: :当过程的作用时间极短当过程的作用时间极短, ,与材料本身固有与材料

21、本身固有的时间尺度相接近时的时间尺度相接近时v尺度效应尺度效应: :当过程发生的空间尺度极小当过程发生的空间尺度极小, ,与微观粒子与微观粒子的平均自由行程相接近时的平均自由行程相接近时 2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写三、傅里叶定律及导热微分方程的适用范围三、傅里叶定律及导热微分方程的适用范围傅里叶定律傅里叶定律的假定的假定: 热扰动的传递速度是无限大的热扰动的传递速度是无限大的。v热流密度不是很高热流密度不是很高v过程的作用时间足够长过程的作用时间足够长 v过程发生的尺度范围足够大过程发生的尺度范围足够大 wqth一厚为一厚为 的无限大平板，其一侧被加热，热流密的无限大

22、平板，其一侧被加热，热流密度度 为常数，另一侧向温度为为常数，另一侧向温度为 的环境散热，的环境散热，表面传热系数为表面传热系数为 , ,平板导热系数平板导热系数 为常数。试为常数。试列出平板中稳态温度场的微分方程式及边界条列出平板中稳态温度场的微分方程式及边界条件，并求出平板内的温度分布函数。件，并求出平板内的温度分布函数。例题例题 1 12200wxxxd tdxdtqdxdth ttdx解：解： 完整数学描写为：完整数学描写为： 1wqc 2wwqqcthwwqqtxth0 xwqfth、例题例题 2 20axe 00 x a0 x 1ttx 2tt核反应堆的辐射防护壁因受核反应堆的辐射

23、防护壁因受 射线的照射而发热，射线的照射而发热，这相当于防护壁内有这相当于防护壁内有 的内热源，其中的内热源，其中 是是 的表面上的发射率，的表面上的发射率， 为已知常数。已知为已知常数。已知 处处 , , 处处 , , 导热系数为常数。试导出该防导热系数为常数。试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度所在的位置。护壁中温度分布的表达式及最高温度所在的位置。解：解： 其完整数学描写为：其完整数学描写为： 221200d tdxt xtt xt即：即： 2021200axd tedxt xtt xt例题例题 2 2最高温度应满足最高温度应满足: : 0dtdx0122axtec xca 通解通

24、解: : 0211202121attceacta常数常数: : 0002112221axattteextaaa 温度分布函数温度分布函数: : 21200()11lnaa ttexaa 最高温度所在的位置为：最高温度所在的位置为： 2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解1 单层平壁的导热单层平壁的导热o x a 几何条件：单层平板几何条件：单层平板, b 物理条件：物理条件： 、c、 已知；无内热源已知；无内热源 c 时间条件：时间条件： 0 :t稳态导热 d 边界条件：第一类边界条件：第一类一、通过平壁的导热一、通过平壁的导热0dd22xt直接积分，得：直接

25、积分，得：211 cxctcdxdt根据上面的条件可得：根据上面的条件可得：xtxtc)(控制控制方程方程边界边界条件条件代入边界条件：代入边界条件：12121tcttc第一类边界条件：第一类边界条件：102xxtttt2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解ARr线性分布线性分布热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况x o t1 t t2 112txtttttdxdt12代入代入Fourier 定律定律/tq/tA112t xt tt 212ttt x tARr/ t A2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解

26、典型一维稳态导热问题的分析解/dt dx000btbtconstbt 分析：分析： x o t1 t t2 根据傅里叶定律：根据傅里叶定律： dtAdx 0b 0b 0b /dt dx/constdt dxconst若若 ，平壁内的温度分布如何？，平壁内的温度分布如何？ 01 bt2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解若若 ，平壁内的温度分布如何？，平壁内的温度分布如何？ AAxconstx o t1 t t2 t1 t2 t2 t1 constAconstAconst2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解2 多层平壁的导热多

27、层平壁的导热v多层平壁：由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成v例：房屋的墙壁例：房屋的墙壁 白灰内层、水泥沙浆层、红砖白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成（青砖）主体层等组成v假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等上各处的温度相等v 边界条件：边界条件：v 热阻：热阻：nnnrr,1111110nniittxttxi2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解由热阻分析法：由热阻分析法：niiinniinttrttq111111问：现在已经知道了问：现在已经知道了q q，如何，如何计算

28、其中第计算其中第i i层的右侧壁温？层的右侧壁温？第一层：第一层： 11122111)(qttttq第二层：第二层：22233222)(qttttq第第 i 层：层： t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热iiiiiiiiqttttq111)(2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解1 单层圆筒壁的导热单层圆筒壁的导热一维、稳态、无内热源、常物性：一维、稳态、无内热源、常物性：0)dd(ddrtrr假设单管长度为假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的，圆筒壁的外半径小于长度的1/10。ztztrrtrrrtc)()(1)(12圆

29、柱坐标系：圆柱坐标系：第一类边界条件：第一类边界条件：2121ttttrrrr2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解二、通过圆筒壁的导热二、通过圆筒壁的导热对上述方程积分两次对上述方程积分两次:211ln crctcdrdtr第一次第一次积分积分第二次第二次积分积分)ln()ln( 112121rrrrtttt显然，温度呈对数曲线分布显然，温度呈对数曲线分布 212112112121lnln/ln/ttttcctrrrrr2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解圆筒壁内温度分布：圆筒壁内温度分布：v 圆筒壁内温度分圆筒壁内温度分

30、 布曲线的形状？布曲线的形状？112121/ln/lnrrrrtttt1212/ln1rrttrdrdt1212/lnrrttrdrdtq1221/ln)(22rrttlrlq12tt1 2t t 1 2t t 1 2t t 1 2t t 12tt热流密度热流密度 q 与半径与半径 r 成反比！成反比！热流量为定值热流量为定值，与半径无关，与半径无关2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解211ln2trlr 2 多多层圆筒壁层圆筒壁21ln/2rrRl v由不同材料构成的多层圆筒壁，其导由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算。热热流量可

31、按总温差和总热阻计算。33422311241/ln/ln/ln)(2ddddddttl112t xt tt 212ttt x t/ t A211ln/2ddl 322ln/2ddl 433ln/2ddl 213ttt x t214ttt x t思考：思考：1.接触面温度应如何求出？接触面温度应如何求出？2.如两侧为第三类边界条件，如何如两侧为第三类边界条件，如何求取？求取？2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解三、通过球壳的导热三、通过球壳的导热v温度分布温度分布:2212121111rr

32、ttttrrv热流量热流量:1212411ttrr v热阻热阻:121114Rrr2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解四、四、变面积或变导热系数的一维问题变面积或变导热系数的一维问题 求解导热问题分两步：求解导热问题分两步： 求解导热微分方程，获得温度场；求解导热微分方程，获得温度场； (1)根据根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量。定律和已获得的温度场计算热流量。 xtxAtdd)()(当当 (t), A=A(x)时，时， 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热

33、流量。导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。xtAdd一维一维Fourier定律：定律：2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解分离变量后积分，并注意到热流量分离变量后积分，并注意到热流量与与x 无关无关(稳态稳态)，得，得:xtxAtdd)()(2210tta实际上，不论实际上，不论 如何变化，只要能计算出平均导热系如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将是需要将 换成平均导热系数。换成平均导热系数。 22211121212121txttxtt dtttdxt d

34、tttAtttt=2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：为了增加传热量，可以采取哪些措施为了增加传热量，可以采取哪些措施?W 112121AhAAhttff（1）增加温差（）增加温差（tf1 - tf2），但受工艺条件限制。），但受工艺条件限制。（2）减小热阻：）减小热阻： a) 金属壁一般很薄、热导率很大，导热热阻可忽略。金属壁一般很薄、热导率很大，导热热阻可忽略。b) 增大增大h1、h2，但提高，但提高h1、h2并非任意的。并非任意的

35、。c) 增大换热面积增大换热面积 A 也能增加传热量。也能增加传热量。2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热换热设备中，换热面上加装肋片是增大换热量换热设备中，换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段的重要手段肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面1 通过等截面直肋的导热通过等截面直肋的导热已知：已知： 矩形直肋矩形直肋 肋根温度为肋根温度为t0，且，且t0 t 肋片与环境的肋片与环境的表面传热系数表面传热系数为为 h ，h和和Ac均保均保持不变持不变 求：求：温度场温度场 t 和和 热流量热流量 2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热分析：分析：严格地说，

36、肋片中的温度场是三维、稳态、无严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无 内热源、常物性、第三类边界条件的导热问内热源、常物性、第三类边界条件的导热问 题。但由于三维问题比较复杂，故此，在忽略题。但由于三维问题比较复杂，故此，在忽略 次要因素的基础上，将问题简化为一维问题。次要因素的基础上，将问题简化为一维问题。简化：简化：a 宽度宽度l and H肋片长度方向温度均匀肋片长度方向温度均匀 l = 1 b 大、大、 H，认为温度沿厚度方向均匀，认为温度沿厚度方向均匀 边界：边界：肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热 求解：求解：这个问题可以从两个方面入

37、手：这个问题可以从两个方面入手： a 导热微分方程导热微分方程 b 能量守恒能量守恒Fourier law2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热能量守恒：能量守恒：dxxxdFourier 定律：定律：xtAcxddxxtAxxcxxxxxdddddd22d)(ttPdxhdNewton冷却公式：冷却公式：0)(dd22ttAhPxtc关于温度的二阶非关于温度的二阶非齐次常微分方程齐次常微分方程xxtAxxcxxxxxdddddd22d2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热0)(dd22ttAhPxtc导热微分方程：导热微分方程：边界条件：边界条件：0dd000 xHxttx时，时

38、，引入过余温度引入过余温度 令令ttconstcAhPm222ddmx则有：则有：2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热方程的通解为：方程的通解为：mxmxecec21应用边界条件得：应用边界条件得：mHmHmHmHmHmHeeeceeec0201肋片内的温度分布：肋片内的温度分布：xxxxxxxxeeeexeexeex)( th;2)(ch ;2)(sh双曲余弦函数双曲余弦函数双曲正切函数双曲正切函数双曲正弦函数双曲正弦函数mHchHxmcheeeemHmxmHmx022012.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热稳态条件下肋片表面的散热量稳态条件下肋片表面的散热量 = 通过肋基导

39、入肋片通过肋基导入肋片的热量的热量)(th)(th000mHmhPmHmAdxdAcx肋端过余温度，即 x H 时：)(ch1)(ch)(ch00mHmHxHm2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热几点说明：几点说明：(2)上述分析近似认为肋片温度场为一维。上述分析近似认为肋片温度场为一维。 当当Bi=h / 0.05 时，误差小于时，误差小于1%。对于短而厚。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面传热系数肋片表面传热系数h不是均匀一致的不是均匀一致的数值计算。数值计算。(1) 上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）

40、。上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取：若必须考虑肋端散热，取：Hc=H + /2 。2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热2 肋效率肋效率 mHmHhPHmHmhP)(th)(th00fcAhPm 2322HHhHllhHAhPmHcf肋效率肋效率基温度下的散热量假设整个肋表面处于肋实际散热量flPl22.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热23212322HAhHHhmHLLAH 肋片的纵截面积肋片的纵截面积可见，可见， 与参量与参量 有关有关f2321HAh

41、L)()(0fttPHh影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 、肋片、肋片表面与周围介质之间的表面传热系数表面与周围介质之间的表面传热系数 h、肋片的几、肋片的几何形状和尺寸（何形状和尺寸（P、A、H）散热量：散热量： 2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热3 通过环肋及三角形截面直肋的导热通过环肋及三角形截面直肋的导热 为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形量基本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。截面直肋是其中的两种。 对于变截面肋片来讲，由于

42、从导热微分方程求对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了，书中图，书中图2-19和和2-20分别给出了三角形直肋和矩形分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线。剖面环肋的效率曲线。2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热图图2-19 矩形及三角形直肋的效率曲线矩形及三角形直肋的效率曲线2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热图图2-20 矩形剖面环肋的效率曲线矩形剖面环肋的效率曲线2.4 2.4 通过肋片的导

43、热通过肋片的导热4 肋面总效率肋面总效率 fth0tfArA肋面总效率肋面总效率:rffrffoorfAAAAAAArffoofooofoAAA h ttAh ttArofffofA h ttAh tt ofrffh ttAA2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热5 肋片的选用与最小重量肋片肋片的选用与最小重量肋片 W 112121AhAAhttfffth0tfArA2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热/1ihBh 0.25iB 若若加肋总是有利的加肋总是有利的例题例题 3 3mxmxecec2101c根据肋片导热的分析知，肋片根据肋片

44、导热的分析知，肋片温度分布函数为：温度分布函数为： ,对于长肋片，由于肋端温度对于长肋片，由于肋端温度为有限大小，则只有为有限大小，则只有 ，所以其温度分布函数简化为所以其温度分布函数简化为:解：解： AtBt200A100At 25t一种利用对比法测定材料导热系数的装置示意图如附一种利用对比法测定材料导热系数的装置示意图如附图所示。用导热系数已知的材科图所示。用导热系数已知的材科A及待测导热系数的及待测导热系数的材料材料B制成相同尺寸的两个长圆柱体，并垂直地安置制成相同尺寸的两个长圆柱体，并垂直地安置于温度为于温度为 的热源上，采用相同的方法冷却两个柱体，的热源上，采用相同的方法冷却两个柱体

45、，并在离开热源相同的距离并在离开热源相同的距离 处测定两柱体的温度处测定两柱体的温度 及及 。已知。已知 W/(m.K)， ， ， ， 。试确定。试确定 之值。之值。st100st65Bt B1xmxec2ttss2BAABlnlnttttttttss0 x当当 时，时，mxsett)( 则则对于柱体对于柱体A和和B，分别得：，分别得：上两式联立，解得上两式联立，解得:与该题类似，也可以在柱体与该题类似，也可以在柱体A和和B上测得温度相同的上测得温度相同的点，进而确定另一柱体的导热系数，同学们可根据以点，进而确定另一柱体的导热系数，同学们可根据以上方法进行求解。上方法进行求解。 A 1A()m

46、 xstttte 1B)(Bxmsetttt例题例题 3 36. 接触热阻接触热阻实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触完全的和平整的面接触 给导热带来额外的热阻给导热带来额外的热阻当界面上的空隙中充满导热当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出接触热阻的影响更突出 接触热阻接触热阻当两固体壁具有温差时，接合处当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体的热传递机理为

47、接触点间的固体导热和间隙中的空气导热，对流导热和间隙中的空气导热，对流和辐射的影响一般不大和辐射的影响一般不大（1）当热流量不变时，接触热阻）当热流量不变时，接触热阻 rc 较大时，必然较大时，必然 在界面上产生较大温差在界面上产生较大温差（2）即使接触热阻）即使接触热阻 rc 不是很大，若热流量很大，不是很大，若热流量很大， 界面上的温差是不容忽视的界面上的温差是不容忽视的13ABcAA Bttqr13()ABcAA Bttqr6. 接触热阻接触热阻7. 求解求解导热问题的方法导热问题的方法（1）导热微分方程边界条件初始条件）导热微分方程边界条件初始条件（2）热力学第一定律傅立叶定律）热力学

48、第一定律傅立叶定律（3）热阻分析法）热阻分析法（4）傅立叶定律两侧直接积分）傅立叶定律两侧直接积分一维、一维、无无内热源、内热源、稳态稳态一维、无一维、无内热源、内热源、稳态稳态适用适用面广面广适适用用面面广广2.5 2.5 具有内热源的一维导热问题具有内热源的一维导热问题fthx平壁具有均匀的内热源平壁具有均匀的内热源 ，其两侧同时与温度为其两侧同时与温度为 的流的流体发生对流换热，表面传热体发生对流换热，表面传热系数为系数为 ，现在要确定平板，现在要确定平板中任一中任一 处的温度及通过该处的温度及通过该截面处的热流密度。截面处的热流密度。数学描写数学描写: 22000,()fd tdxdt

49、xdxdtxh ttdx，一、一、具有内热源的平板导热具有内热源的平板导热 2122txc xc 12202fccth22()2ftxthdtqxdx 22()2wtxt2.5 2.5 具有内热源的一维导热问题具有内热源的一维导热问题2.5 2.5 具有内热源的一维导热问题具有内热源的一维导热问题二、二、具有内热源的圆柱体导热具有内热源的圆柱体导热 rr1r1t1r一半径为一半径为 的圆柱体的圆柱体,具有均具有均匀的内热源匀的内热源 ,导热系数导热系数 为为常数常数,外表面维持在均匀而且外表面维持在均匀而且恒定的温度恒定的温度 。试确定圆柱。试确定圆柱体中的体中的温度分布及最高温度温度分布及最

50、高温度。1t数学描写数学描写: 111000,ddtrr drdrdtrdrrr tt，2.5 2.5 具有内热源的一维导热问题具有内热源的一维导热问题二、二、具有内热源的圆柱体导热具有内热源的圆柱体导热 0dtdr221114ttrr温度分布温度分布: 温度最高点应满足温度最高点应满足: 则则: 0r 21114maxttr本章小结本章小结tqgradtnn ztzytyxtxtc211ttttcrrrrrzz2222111sinsinsinttttcrrrrrr1.1.傅里叶定律：傅里叶定律：2.导热微分方程：导热微分方程：圆柱坐标：圆柱坐标： 球坐标：球坐标：直角坐标：直角坐标：本章小结

51、本章小结 ftw1 fntw2fwwtthnt3.定解条件：定解条件： 第二类：第二类：第三类：第三类：初始条件：物体初始时刻的温度分布。初始条件：物体初始时刻的温度分布。 边界条件：边界条件：第一类：第一类：4.工程中的几个典型例子：工程中的几个典型例子：平壁平壁 圆筒壁圆筒壁 球壳球壳 肋片肋片5.求解导热问题的方法：求解导热问题的方法：例题例题 2-5 2-5对于无限大平板内的一维稳态导热问题，试说明对于无限大平板内的一维稳态导热问题，试说明在三类边界条件中，两侧边界条件的哪些组合可在三类边界条件中，两侧边界条件的哪些组合可以使平板中的温度场获得确定的解。以使平板中的温度场获得确定的解。

52、 2+2除外的所有组合除外的所有组合 解：解： 例题例题 2-5 2-5例题例题 2-5 2-5例题例题2-122-12在某一产品的制造过程中，厚为在某一产品的制造过程中，厚为1.0mm的基板上的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为0.2mm，薄膜，薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为表面上有一股冷却气流流过，其温度为20，对，对流换热表面传热系数为流换热表面传热系数为40 W/(m2.K)。同时，有。同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。基板的另一面维持在温度上，如附图所示。基板的另一面维持

53、在温度t130。生产工艺要求薄膜与基板结合面的温度。生产工艺要求薄膜与基板结合面的温度t0应为应为60，试确定辐射热流密度，试确定辐射热流密度q应为多大。薄应为多大。薄膜的导热系数膜的导热系数f =0.02 W/(m.K)，基板的导热，基板的导热系数系数s0.06 W/(m.K)。投射到结合面上的辐。投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。薄膜对射热流全部为结合面所吸收。薄膜对60的热辐的热辐射是不透明的。射是不透明的。 解：解： 例题例题2-122-12q1q2q120q qq以结合面为研究对象，在稳态以结合面为研究对象，在稳态条件下根据热力学第一定律：条件下根据热力学第一定律： 12q

54、 qq011fffttqh012ssttq一直径为一直径为d d、长为长为l 的圆杆，两端分别与温度为的圆杆，两端分别与温度为t1及及t2的表面接触，杆的导热系数为常数。试对下列两的表面接触，杆的导热系数为常数。试对下列两种稳态情形列出杆中温度的微分方程式及边界条种稳态情形列出杆中温度的微分方程式及边界条件，并求之：件，并求之：（1）杆的侧面是绝热的；）杆的侧面是绝热的；（2）杆的侧面与四周流体间有稳定的对流换热，）杆的侧面与四周流体间有稳定的对流换热，平均表面传热系数为平均表面传热系数为h，流体温度，流体温度tf小于小于t1及及t2。例题例题2-202-20解：解： 210220ttttdx

55、tdlxx112txlttt（1） 解方程得温度分布函数为：解方程得温度分布函数为：例题例题 5 5210220)(4ttttttdhdxtdlxxfftt flxfxttttdhdxd221102204)()()(21mlchmxshlxmch（2） 引入过余温度引入过余温度则：则：解上述方程，得：解上述方程，得：例题例题2-252-25内、外径各为内、外径各为0.5m及及0.6m的球罐，其中装满了具有的球罐，其中装满了具有一定放射性的化学废料，其容积发热率为一定放射性的化学废料，其容积发热率为105W/m3。该罐被置于水流中冷却，表面传热系数该罐被置于水流中冷却，表面传热系数h=1000

56、W/(m2.K) ，流体温度，流体温度tf=25。试：。试：（1）确定球罐的外表面温度；）确定球罐的外表面温度；（2）确定球罐的内表面温度。）确定球罐的内表面温度。例题例题2-322-3201bt00某种平板材料厚某种平板材料厚25mm，两侧面分别维持在，两侧面分别维持在40及及85。测得通过该平板的热流量为。测得通过该平板的热流量为1.82kW，导热面积，导热面积为为0.2m2。试：。试： (1)确定在此条件下平板的平均导热系数。确定在此条件下平板的平均导热系数。 (2)设平板材料的导热系数按设平板材料的导热系数按 变化变化(其中其中t为局部温度为局部温度)。为了确定上述温度范围内的。为了确

57、定上述温度范围内的 及及b值，值，还需要补充测定什么量？给出此时确定还需要补充测定什么量？给出此时确定 及及b的计算式的计算式。12ttA 12/ A tt （1）则：则：解：解： 例题例题2-322-3213/2ttA 13/2A tt12012ttb13012ttb3t（2）补充测量中心截面的温度，设测得的温度为）补充测量中心截面的温度，设测得的温度为则：则：根据导热系数随温度的变化关系，有根据导热系数随温度的变化关系，有0上两式联立，即可解得上两式联立，即可解得 及及b。试建立具有内热源试建立具有内热源 、变截面、变导热系、变截面、变导热系数的一维稳态导热问题的温度场微分方程。数的一维稳

58、态导热问题的温度场微分方程。 x例题例题2-392-39xx dxc xdtt A xdx xx dxxddxdx x A x dx cfhU x dx tt fddtt A xx A xhU xttdxdxdx对微元对微元 ，有：，有：代入整理，得：代入整理，得：解：解： 例题例题2-392-390 x x12fftt、12hh、1212ffh htt= 、=1221ffh htt= 、一厚一厚 的大平板具有均匀的内热源的大平板具有均匀的内热源 , , 及及 处的表面分别与温度为处的表面分别与温度为 的流体进行对流换热，的流体进行对流换热，表面传热系数分别为表面传热系数分别为 , , 试导出

59、平板中温度试导出平板中温度分布的解析表达式，并据此得出平板中温度最高点分布的解析表达式，并据此得出平板中温度最高点的位置。对于的位置。对于 及及 的情形的情形定性地画出平板中的温度分布曲线。定性地画出平板中的温度分布曲线。解：解： 完整数学描写为：完整数学描写为：210110220fxxxfxtthdxdttthdxdtdxtd1dtxcdx 2222112212ffhhttchhh222212121212fffhhttcthhhh0dtdx1xc通解：通解： 代入边界条件，得：代入边界条件，得：温度最高点满足温度最高点满足例题例题2-392-39则：则：2122cxcxt222122222222hhxchh222211222222ffhhttxchh（1）（2）1212ffh htt= 、=1221ffh htt= 、例题例题2-392-391221ffh htt= 、1212ffh htt= 、=例题例题2-392-39例题例题2-552-55用一柱体模拟燃气轮机叶片的散热过程。柱长用一柱体模拟燃气轮机叶片的散热过程。柱长9cm，周界为周界为7.6cm，截面积为，截面积为1.95 cm2，柱体的一端被，柱体的一端被冷却到冷却到305(见附图见附图)。815的高温燃气吹过该柱的高温燃气吹过该柱体，假设表