-不定积分 及其计算

1、1第五章第五章 一元函数的积分学一元函数的积分学第三节第三节 不定积分及其计算不定积分及其计算一. 不定积分的概念二.不定积分的计算2本讲学习要求 理解原函数与不定积分的概念与性质; 熟练掌握求不定积分的第一类换元法(凑微分法).3上的全体原函数的集合在区间 I )(xf I , )()( | )(xxfxFxF记为上的不定积分在称为 , I )( xf) ( )(d)(为任意常数CCxFxxf的一个原函数；为其中 )( )( ,xfxF称为被积表达式；称为被积函数 d)( , )(xxfxf称为不定积分号； . 称为积分常数C一. 不定积分的概念4 , )( ,的全部原函数的过程称求已知函数

2、习惯上xf . )( 的不定积分为求函数xf .运算求不定积分是求导的逆 例如： ;d2 ,2)(22Cxxxxx ;sin dcos ,cos)(sinCxxxxx.|lnd1 ,1) |(lnCxxxxx每一个求导公式, 反过来就是一个求原函数的公式, 加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.5)( d为常数kCkxxk) 1( 11d1CxxxCxxx|lnd1(1)(2)(3)(4)(5)CxxxedeCaaxaxxlnd6CxxxsindcosCxxxcosdsinCxxxtandsec2Cxxxcotdcsc2(6)(7)(8)(9)Cxxxx secd tan sec(10)C

3、xxxx cscd cot csc(11)7CxxxchdshCxxxshdch(12)(13)Cxxxarctand112Cxxxarcsind112(14)(15)8不定积分与定积分是两个不同的概念. . )(limd)( :10| niiixbaxfxxf限定积分是一种和式的极 ),()( :则算不定积分是求导的逆运xfxF . )(d)(CxFxxf9二.不定积分的计算利用不定积分的性质利用不定积分的性质换元法换元法( 第一、第二第一、第二 )分部积分法分部积分法部分分式法部分分式法101. 利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质.11),()d)(xfxxf,d)()d)(d

4、(xxfxxf,)(d)(Cxfxxf.)()(dCxfxf 逆运算12,d)(d)(d)()(2121xxfbxxfaxxbfxaf . , ,为常数其中ba .函数的和的形式该性质可推广至有限个 线性性质13例1 . d) 12( 33xx求解 d1)6128(d) 12( 24633xxxxxxxxxxxxxdd6d12d8246 . 251278357Cxxxx14例2 . d1132 2xxxx求解) ( 165211322除法xxxxxxxxxxxxd)1652(d11322xxxxxd116d5d2 . | 1|ln652Cxxx绝对值绝对值15例3 . d13 22xxx求解x

5、xxxxxxxxd113d3d1333d1322222 . arctan33Cxx利用加一项、减一项的方法.16例4 . 1d xex求解xeexxeeeexxxxxxxd1dd111d . )1ln(Cexx?利用加一项、减一项的方法.17例5 . )( )(d babxaxx求解xbxaxbabxaxxd111)(d xbxxaxbad1d11 . ln1Cbxaxba部分分式法18例6 . dsincos2cos 22xxxx求解 dsincossincosdsincos2cos222222xxxxxxxxxxxxxdcos1dsin122 . tancotCxx .下面看另一种解法19

6、例6 . dsincos2cos 22xxxx求解xxxxxxxxdsincos42cos 4dsincos2cos2222xxxd)2(sin2cos2 2221vvv . 2sin2Cx 有何想法？两个解法答案不同，你20例7 . sin1d xx求怎么做？怎么做？21例8 . d2 xexx求解Ceexexexxxx )2ln()(2 d)2(d2 . 2ln12Cexxaaaxxln)(22例9 . d | |xex求解 , 0 时当 x , dd1| |Cexexexxx , 0 时当 x , dd2| |Cexexexxx , 其原函数连续由于被积函数连续，故 , )(lim)(l

7、im2010CeCexxxx , 2 21从而即有 CC . 0 , , 0 , 2d| |xCexCexexxx.) (为积分常数C232. 不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的. 现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法. 它是在积分运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分是比较容易积出的.24(1) 不定积分的第一换元法 :公式首先看复合函数的导数 )( ),( 上的可构成区间设可微函数IxuuFy ),()()(xxFxF ),( 则可微的复合函数x

8、Fy 它的微分形式为xxxFxFd)()()(d( ),()( 则记ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF看出点什么东西没有看出点什么东西没有?原函数原函数?被积表达式被积表达式?也是被积表达式也是被积表达式?25定理 , )( )( 上的一个原函数在区间是设IufuF , )( ),()(且上可微在区间又JxuICuf ,)(上有则在区间JIJ .)()(d)(d)()(CxFCuFuufxxxf该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!26例10. dcossin 3xxx求27例11. dsin 3xx求28例12 .dcossin 310 xxx

9、计算29例13解 . cos d 4xx计算 , cos dd tan 2于是，则令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1 ( . tan31tan3133CxxCuuuud)1 (230例14解 . dsec xx求xxxxxxxdsec sec)sec(tan dsecxxxxxdsectan)sec(tan . |sectan|lnCxxCxxCuuuuxxxxxxxx 1sin1sin ln21 11 ln21 1dsin1dcoscos dcos dsec 222则有此题若按下面方式做，Cxfxxfxf | )(|l

10、nd)()( :一般有31例15 . dsectan 35xxx计算32例16 . ln d xxx求 . )ln( d)(d)(ln :xuuufxxxf一般公式33例17解 . d1 4xxx求 ,d2d , 2故则令xxuxu241d21d1uuxxx . arctan21arctan212CxCu . )( d)(1d)( :1nnnxuuufnxxxf一般公式为34例18 . d1 2xeexx求 . )( d)(d)( :xkxkxeuuufxeef一般公式为35例19解 . 1 d 4xxx计算，故，则令xxuxud2d 2241 d211 duuxxxCuu |1 |ln212 . )1 ln(2142Cxx36例20解 . )0( d axxaxa计算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa . arcsi