22椭圆的简单几何性质

1、2.2.2椭圆的简单几何性质课前预习学案一、预习目标：预习椭圆的四个几何性质二、预习内容：(i)范围：，椭圆落在组成的矩形中.对称性：图象关于y轴对称.图象关于x轴对称图象关于原点对称.原点叫椭圆的，简称-.x轴、y轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距.(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：,加两焦点共有六个特殊点.aa2叫椭圆的-,BiB2叫椭圆的-长分别为2a,2ba,b分别为椭圆的和-.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点一(4)离心率：椭圆焦距与长轴长之比.eeJi(b)2.0e1aa椭圆形状与e的关系：e0,c0,椭圆变-,直至成为极限

2、位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e。时的特例，e1,ca,椭圆变-,直至成为极限位置线段F1F2,此时也可认为圆为椭圆在e1时的特例*三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：1掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义。2初步利用椭圆的几何性质解决问题。学习重难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e的关系22二、学习过程：探究一观察椭圆与%1(ab0)的形状，a2b2你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1、范围：(1)从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是。椭

3、圆上点的纵坐标的范围是.022(2)由椭圆的标准方程与与1(ab0)知a2b22与1,即a2，匕1;即y22因此与马1(ab0)位丁直线ab和围成的矩形b里。2、对称性(D从图形上看，椭圆关丁对称2'1(ab0)中b22(2)在椭圆的标准方程亳a把x换成-x方程不变，说明图像关丁轴对称把y换成-y方程不变，说明图像关丁轴对称把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，说明图形关丁对称，因此是椭圆的对称轴，是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做3、顶点(1)椭圆的顶点：椭圆与对称轴有个交点，分别为：A(,)A2(,)B1(,)B2(,)(2)线段AA2叫做椭圆的其长度为线段B1B2叫做椭圆的其

4、长度为a和b分别叫做椭圆的和探究二圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近丁圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁,平”程度呢？4、椭圆的离心率(1)定义：叫做椭圆的离心率,用表示,即(2)由丁a>c>0,所以离心率e的取值范围是(3)若e越接近1,则c越接近a,从而b4C2越,因而椭圆越.若e越接近0,则c越接近0,从而bJa2c2越,因而椭圆越接近丁.三、反思总结：下面把焦点在x轴和在y轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：标准力程22xy%1,(ab0)ab22yx&-21，(ab0)ab图形范围对称性顶点坐标焦点坐标轴长短轴长，长轴长.离心率四、当堂检测：

5、1 .对于椭圆9亍+勺'二星，下列说法正确的是().A.焦点坐标是也*)rB.长轴长是5254/=±C.准线方程是4d.离心率是5垂2 .离心率为2、且经过点仁，°)的椭圆的标准方程为().当尹T普十己14或4D.答案：1D2D课后练习与提局2m2A.'3B.C.8D.-233222.椭圆二1的焦点坐标是（）25169A.（土5,0）B.（0,±5）C.（0,±12）D.（土12,0）3.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4,0,）,（0,2）方程是（）、，2.222A.匕1或4匕1B.41616422C.匕1D.164

6、+_14.已知户是椭圆10036上一点，若22匕141622xy1坯斯117P到椭圆右准线的距离是2,距离为F.5.若椭圆工+咐=】的离心率为2,则它的长半轴长是贝Um=x轴上的椭圆,则此椭圆的则P到左焦点的2x1.若焦点在y2皿*、11的离心率为一6.椭圆中心在原点，焦点在了轴上，离心率且OF_LOQ,求椭圆方程.732,它与直线CI交于户，Q两点,+y=ifd>0）#6.设椭圆方程为仪8，由程联立消去，可得5/-跃+4-/=0瓦&十w/o,即心（fa化简得a4r.由直线和椭圆方R毒乃）OP1QQ得以+10,由.韦达定A*Q理得55,解出2,故所求椭圆方程为252.2.2椭圆的

7、简单几何性质【教学目标】1. 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义。2. 初步利用椭圆的几何性质解决问题。教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。教学难点：利用椭圆的几何性质解决问题。【教学过程】预习检查、总结疑惑：察看导学案做的情况情景导入、展示目标：由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质.中：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质.帅：由丁方程f(x,y)=0与函数y=

8、f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，而方程中x、y的关系则较为复杂.),因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质.帅：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质.22合作探究、精讲点拨。探究一观察椭圆二七1(ab0)的形状，ab你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1、范围：(1) 从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是。椭圆上点

9、的纵坐标的范围是.(2)由椭圆的标准方程2x2a2乌1(ab2b0)知2x2-a221,即_x_2，：2b_1；即_一y一因此xy22ab1(ab0)位丁直线_r和_围成的矩形里。2、对称性从图形上看，椭圆关于,对称22(1) 在椭圆的标准方程与与1(ab0)中ab把x换成-x方程不变，说明图像关丁轴对称把y换成-y方程不变，说明图像关丁轴对称把x换成-x,同时把y换成-y方程不变，说明图形关丁对称，因此是椭圆的对称轴，是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做3、顶点椭圆的顶点：椭圆与对称轴有个交点，分别为：A(,)A2(,)Bi(,)B2(,)线段AiA2叫做椭圆的，其长度为线段BiB2叫做椭圆

10、的，其长度为a和b分别叫做椭圆的和探究二圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近丁圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？4、椭圆的离心率(1) 定义：叫做椭圆的离心率,用表示，即(2) 由丁a>c>0,所以离心率e的取值范围是若e越接近1,则c越接近a,从而b后C2越,因而椭圆越若e越接近0,则c越接近0,从而bC2越,因而椭圆越接近丁.例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴、短轴的长，焦点、顶点坐标和离心率，并用描点法画出图形.分析首先应将方程化为标准方程，计算出a,b,c,再根据其几何性质解出即可.(教师可指定一名学生板书.)解原方程化为；+=1这里丑

11、=5b=4,由/=/一任解得ZJ1.0c=3，因此长轴、短轴的长分别为：2a=10,2b=8,焦点为：Fi(-3,0),F2(3,0).顶点A(-5,0),A(5,0),B(0,-4),B2(0,4).离心率是0.6点评：画图时应先画矩形，在第一象限内描出一些点并连成光滑的线，再根据椭圆的对称性画出整个椭圆，如图2-34.Bi-0E£-34变式训练1:椭圆的对称轴是坐标轴，有两个顶点是(5,0)和(0,7),则该椭圆的方程是A.C.22x2y2+49254925=122x2y2B.+4924221或匕+=1492449+六2522D匕+j4925答案D例2我国发射的第一颗人造地球卫星

12、的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点B距地面2384千米，地球半径6371千米，求卫星的轨道方程(如图2-35).图2-35分析：结合图2-35可知近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点.解选取坐标系如图2-35,则a-c=OA-OF=F2A=6371+439=6810a+c=OB-O2=F2B=6371+2384=8755所以a=7782.5,c=972.5,b=7721.5.卫星的轨道近似方程为Xr十二=i-778377223点评：本题是一个实际应用问题，分析出近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点后转化成椭圆问题就好解决了。变式训练2:中心在原点，对称轴在坐标轴，长轴是短轴的5倍，且过点P(7,2)的椭圆方程是答案：工类亡1或竺I上114914912291229反思总结，当堂检测。愉圆乌十宾1(ab0)内切于矩形，且它是以盗敞轴为对称ab轴的轴对称图形，乂是以原点为对称中心的中心对称图形.因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出.(2) 在讨论椭圆性质时，应首先根据方程判断此长轴的位置(即焦点在x轴上，还是在y轴上)，然后再讨论其他性质；(