(6)(7)开集闭集完备集

1、1 实变函数论实变函数论 第6、7讲 2 开集、闭集与 完备集 3 p进位表数法进位表数法22 、开集、闭集、完备集、开集、闭集、完备集1、概念0(1),EEE若则 称为 开 集(2),EEE 若则 称为 闭 集(3),EEE若则 称为 自 密 集EEE(4)若则称为完备集,( , )EPEN PE存在为开集EE 无孤立点的闭集注：等价定义E自密无为集孤立点的集,PEPEE为闭集必有EE为完备集为自密的闭集例：有限集32、例1: 222(1)R 中集合E=(x,y)|x +y 1是开集?闭集?自密集?完备集?111( 2 )1, ., .?23En呢1 11(3)0,1,.,.?2 3En呢1

2、(4)(0,1)?RE 中点集呢（5）有理数集Q呢？ 例例2 2 证明点集证明点集FFF 为为闭集闭集的充要条件是的充要条件是43、性质性质问：性质（问：性质（1 ）有什么作用？）有什么作用？ （1）开集与闭集的对偶性）开集与闭集的对偶性定理2开集的开集的余余集为闭集，集为闭集， 闭集的闭集的余余集是开集集是开集（3）定理定理4、6任意多个开集的任意多个开集的并并开，有限多个开集的开，有限多个开集的交交开开（2）定理定理3、5任意多个闭集的任意多个闭集的交交闭，闭， 有限多个闭集的有限多个闭集的并并闭闭（4）定理定理1 对任意集合对任意集合E，E的的内部内部开，开，E的的导集导集、E的的闭包闭

3、包闭闭链接1.doc链接3.doc501;EEEE、求点集的诸集1sin,0,1( , )|0,0 xEx yyxx（ ）0(0, )| 11 ;EEyyEEEEE 练习练习64.海涅波雷尔有限覆盖定理（定理海涅波雷尔有限覆盖定理（定理7）：）： ,nR 中有界闭集的开覆盖 必有有限子覆盖证法1-数学分析的反证方法：造闭矩形套，套出一点，一方面不能有限覆盖，另一方面又可以，矛盾，得证（自练）证法2-用数学分析中的有限覆盖定理-开区间集覆盖闭区间（这里的开区间指的是n维欧氏空间中的开矩形）-对n维欧氏空间中的闭区间，若存在一族开区间覆盖闭区间，则能选出有限的开覆盖。（证）121|,nnniiFR

4、GFGFG GGGF设 是中一有界闭集,为开集族 覆盖了即则一定存在有限个开集,使得7,nCFIRIFF因为 有界 所以存在闭区间使得且为开集,CnFRI 令则 覆盖了也覆盖了( , ),PPPIPGPI必有开区间且|,PPPGIPI IGI开区间族覆盖了,GI由数学分析中的有限覆盖定理知, 中必存在有限个开区间将 覆盖12,.,nPPPIII设为1,1,2,.,iiinPPPiFIIGinFG因,CFn若不在这 个开集中问题得证,1CCCFnFFFnF若在这 个开集中由于与 不交 故去掉后剩下个开集仍将 覆盖证明证明 ,pPPIGPG 于是使得85.Cantor三分集(1)0 1E定义， “

5、三等分，去中间”余下的集合为康托三分集1)0,1EE ；（）002)0,10,1)EGCG为闭集；(2)性质3)EEE为自密集；(4)EEE为完备集；(9101112Nova分形13十进制小数 相应于 对0,1十等分二进制小数 相应于 对0,1二等分三进制小数 相应于 对0,1三等分【注1】 对应0,1十等分的端点有两种表示，0. 2000000 0.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数3 p进位表数法进位表数法14例：例：设 E是Cantor三分集，证明： Ec证明： ,xE 用三进制表示的小数表示 x，则 12300.,1,2,.2ixa a aai1230.,021,2,.iEx xa a aai集合或者 ，将集合0,1中的元素x用二进制表示，则1230 .,iyb b bbi0=, = 1 , 2 , . . . ，1可见，12300.,1,2,.2iEx xa a aai与1 2 30 10.,iy ybb bbi0，=, =1,2,.1一一对应0,1所以，E与一一对应，Ec, 所以。15小结:1. 定义：定义： 开集：开集： 闭集闭集: 自密集：自密集： 完备集完备集 ：2