离散型随机变量的均值

1、2.3.1离散型随机变量的均值与方差-期望值教学目标教学目标 1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望 理解公式“E（a+b）=aE+b”，以及“若 B（n,p），则E=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 学习重点：学习重点：离散型随机变量的期望的概念 学习难点：学习难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望设离散型随机变量设离散型随机变量 可能取的值为可能取的值为 12,ix xx1x2xixP1p2pip为随机变量为随机变量 的的概率分布列概率分布列，简称为，简称为 的的分布列分布列. . 取每一个值取每一个值 的概率的概率 则称则称表表 ()

2、iiPxp (1,2,)ix i 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律了随机变量取值的统计规律. .但在实际应用中，我们还但在实际应用中，我们还常常希望常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有征，最常用的有期望与方差期望与方差. .思考下面的问题思考下面的问题: 4 5 6 7 8 9 100.020.02 0.040.04 0.060.060.090.09 0.280.28 0.290.29 0.220.22某射手射击所得环数某射手射击所得环数 的分布列如

3、下：的分布列如下： P在在100次射击之前次射击之前,试估计该射手试估计该射手100次射击的平均环数次射击的平均环数. .分析：分析：平均环数平均环数= =总环数总环数 100所以所以, ,总环数约等于总环数约等于（40.02+50.04+60.06+ +100.22) 100.故故100100次射击的平均环数约等于次射击的平均环数约等于 40.02+50.04+60.06+ +100.22=8.32.一般地一般地, , 一般地：一般地： 对任一射手对任一射手, ,若已知他的所得环数若已知他的所得环数 的分布列，即已的分布列，即已知知 则可以预计他任意则可以预计他任意n次射击的次射击的平均环数

4、是平均环数是 记为记为 ()(0,1,2,10),Pi i 0(0) 1(1)10(10)PPP 我们称我们称 为此射手射击所得环数的为此射手射击所得环数的期望期望，它刻划，它刻划了所得环数随机变量了所得环数随机变量 所取的平均值。所取的平均值。( )EE更一般地更一般地结论一证明结论一证明结论二证明结论二证明数学期望的定义数学期望的定义:一般地，随机变量一般地，随机变量 的概率分布列为的概率分布列为 则称则称1122iinnEx px px px p 为为 的的数学期望数学期望或均值，简称为或均值，简称为期望期望. . 它它反映了离散型随反映了离散型随机变量取值的平均水平机变量取值的平均水平

5、.P1x2xnx1p2pnp ixip结论结论1： 则则 ; ;,ab若若EaEb结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E= np. 练习一练习一 (巩固定义巩固定义)()(),1,2,3iiPaxbPxi所以，所以， 的分布列为的分布列为11221 12212()()()(nnnnnEaxb paxb paxb pa x px px pb pE abaEppaEbb 即即结论结论1： 则则,ab若若EaEbP1axb2axbnaxb1p2pnpiaxbip 练习一练习一 (巩固定义巩固定义)练习二练习二1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E= .

6、 2 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E= . 5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a= b= .0.40.11.1.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 3 个红球和个红球和2 2个黄球，从个黄球，从中同时取中同时取2 2个，则其中含红球个数的数学期望是个，则其中含红球个数的数学期望是 . .1.21.22.2.（1 1）若）若 E()=E()=4.54.5, ,则则 E(E()=)= . . （2 2）E(E(E)=E)= . . ( (详细解答过程见课本例详细解答过程见课本例1)1)-4.5-4.50 0 这是一个特殊

7、的二项分布的随机变量的期望这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望, ,那那么一般地么一般地,若若B(n，p)，则，则E=?E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0P(=k)= Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0( k Cnk =n Cn-1k-1)结论结论2：

8、若：若B(n，p)，则，则E= np期望在生活中的应用广泛期望在生活中的应用广泛, ,见课本第见课本第7272页例页例2.2.例例3 3 不一定不一定, ,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多次类似的测试中, ,他的平均成他的平均成绩大约是绩大约是9090分分思考思考1思考思考2例例2 2. .一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成个选择题构成, ,每个选择题有每个选择题有4 4个个选项选项, ,其中有且仅有一个选项正确其中有且仅有一个选项正确, ,每题选对得每题选对得5 5分分, ,不选不选或选错不得分或选错不得分, ,满分满分100100分分. .学生甲选对任一题的概率为学生甲

9、选对任一题的概率为0.9,0.9,学生乙则在测验中对每题都从学生乙则在测验中对每题都从4 4个选项中随机地选个选项中随机地选择一个择一个. .求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. .解解: :设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是个数分别是和和, ,则则 B(20B(20, ,0.9)0.9), ,B(20B(20, ,0.25)0.25)，所以所以EE20200.90.91818， EE20200.250.255 5 由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这次测验分，学生

10、甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是中的成绩分别是55和和5.5.这样，他们在测验中的成绩这样，他们在测验中的成绩的期望分别是的期望分别是E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525思考思考: :学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗? ?他的他的均值为均值为9090分的含义是什么分的含义是什么? ?思考思考1.1.某商场的促销决策：某商场的促销决策： 解解: :因为商场内的促销活动可获效益因为商场内的促销活动可获效益2 2万元万元设商场外的促销活动可获效益设商场外的促销活动可获效益 万元万元, ,则则 的分布列的分布列P 10 40.6 0.4所以所以E =100.6(-4) 0.4=4.4因为因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销所以商场应选择在商场外进行促销. .1 1、本节课学习了离散型随机变量、本节课学习了离散型随机变量的期望及公式：的期望及公式：（1 1）E( (a+b)=)=aE+b; ; （2 2）若）若B（n, ,p），则），则E=np 2 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。思考思考2.2. 有场赌博