刚体定轴转动的描述

1、关于刚体定轴转动的描述现在学习的是第一页，共25页 刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。 刚体的平动是指刚体在运动过刚体的平动是指刚体在运动过程中其中任意两点的连线始终保程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向（或者说，在运动持原来的方向（或者说，在运动的各个时刻始终保持彼此平行）。的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任运动轨迹，也

2、具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。一点的运动都可代表整个刚体的运动。平动的刚体可看作质点。平动的刚体可看作质点。刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。现在学习的是第二页，共25页 刚体的定轴转动是指刚体的定轴转动是指刚体上各点都绕同一直线作刚体上各点都绕同一直线作圆周运动，而直线本身在空圆周运动，而直线本身在空间的位置保持不动的一种转间的位置保持不动的一种转动。动。刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点： 1.1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周运动的刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周运动的半径不一

3、定相等。半径不一定相等。 2.2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴线上，这各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴线上，这个平面我们称为转动平面。个平面我们称为转动平面。 3.3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。这条直线称为这条直线称为转轴转轴。现在学习的是第三页，共25页o 描写刚体转动位置的物理量。描写刚体转动位置的物理量。Px 在转动平面内，过在转动平面内，过O O点作一极轴，设极轴的正方向是点作一极轴，设极轴的正方向是水平向右。水平向右。 过过P P作垂直于转轴的横截面作垂直于转轴的横截面（转动平面），转动平面与转

4、轴（转动平面），转动平面与转轴的交点为的交点为O O。1.1.角坐标角坐标 根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从圆心到某定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。一质点矢径的转动情况就足够了。 角称为角称为角坐标（或角位置）角坐标（或角位置）。连接连接OPOP，则，则OPOP与极轴之间的夹角为与极轴之间的夹角为 。现在学习的是第四页，共25页规定：规定：从从oxox轴逆时针到达轴逆时针到达P P点的矢径，角坐标为正值。点的矢径，角坐标为正值。 在定轴转动过程中

5、，角坐在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：标是时间的函数： = = （t t），），叫做叫做转动方程转动方程。单位：单位：弧度，弧度，rad角坐标为标量。但可有正负。角坐标为标量。但可有正负。2.2.角位移角位移描写刚体位置变化的物理量。描写刚体位置变化的物理量。t+tt+t时刻，质点到达时刻，质点到达P P/ /，角坐标为，角坐标为 / /。t t时刻，时刻，质点在质点在P P点，角坐标为点，角坐标为 ，角坐标的增量为角坐标的增量为：称为刚体的称为刚体的角位移角位移xyP p2v1vR现在学习的是第五页，共25页单位：单位：弧度，弧度，rad 角位移的大小表示了刚体在角位移的大小表示了刚体

6、在tt时间内角位置变化的多时间内角位置变化的多少。少。3.3.角速度角速度描写刚体转动快慢和方向的物理量。描写刚体转动快慢和方向的物理量。1. .平均角速度平均角速度t 刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。单位：单位：弧度弧度/ /秒，秒，rad/s, 转转/ /分，分，rev/minrad/s602rev/min1xyRP p2v1v现在学习的是第六页，共25页 角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速时只用角速度的正负

7、数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。度的方向，不必用矢量表示。方向：方向：满足右手定则，沿刚体转满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。动方向右旋大拇指指向。2. .角速度角速度. .用平均角速度代替变化的角速度；用平均角速度代替变化的角速度；. .令令0t取极限；取极限；平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。tt0lim角速度为角坐标对时间的一次导数。角速度为角坐标对时间的一次导数。dtd角速度角速度现在学习的是第七页，共25页描写角速度变化快慢和方向的物理量。描写角速度变化快慢和方向的物理量。1. .平均角加速度平均角加速度t 刚体的角速

8、度变化与发生变化所用的时间之比。刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。2. .角加速度角加速度对变速转动，如何确定角加速度？对变速转动，如何确定角加速度？. .用平均角加速度代替变化的角加速度；用平均角加速度代替变化的角加速度；. .令令0t取极限；取极限；4.4.角加速度角加速度tt0limdtd22dtd角加速度为角速度对时角加速度为角速度对时间间 t 的一次导数，或为的一次导数，或为角坐标对时间角坐标对时间 t 的二次的二次导数。导数。t t到到t+tt+t时刻，刚体角速度的增量为：时刻，刚体角速度的增量为：dtd 现在学习的是第八页，共25页单位：单位：弧度弧度/ /秒秒2，rad

9、/s2, 方向：方向：角速度变化的方向。角速度变化的方向。00 角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。加速度的方向，不必用矢量表示。 对于刚体的定轴转动问题，我们可用角坐对于刚体的定轴转动问题，我们可用角坐标、角位移、角速度和角加速度来描述。标、角位移、角速度和角加速度来描述。说明：说明： 角坐标、角位移、角速度和角加速角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体度等角量

10、是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；运动，也可用来描述质点的曲线运动； 位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。的运动。现在学习的是第九页，共25页dtd由由dtd有：有：两边积分两边积分tdtd002. .匀变速转动公式匀变速转动公式t0t0（1）dtd由由dtd有：有：两边积分两边积分dtdt00dttt)(005.5.匀变速转动的计算公式匀变速转动的计算公式1. .特点：特点：1.角加速度为一常量角加速度为一常量C C2.定轴转动。定轴转动。3.初始条件：初始条件：时0t0020021tt（2）现在学习的是

11、第十页，共25页atvv020021attvxx)(20202xxavv与匀变速直线运动计算公式有对应关系：与匀变速直线运动计算公式有对应关系：t020021tt)(2020220021tt（2）由（由（1）、（）、（2）式消）式消 t得：得：)(20202（3）t0（1）现在学习的是第十一页，共25页xo 对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量、可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量、与

12、描写转动的角量之间有什么关系呢？与描写转动的角量之间有什么关系呢？sr刚体转过刚体转过刚体上的一点路程刚体上的一点路程srs（1）1.1.位移与角位移之间的关系位移与角位移之间的关系pp现在学习的是第十二页，共25页rv （2） 质点运动时的速度方向是沿着运动轨道的切线并指向质点运动时的速度方向是沿着运动轨道的切线并指向前进的方向，可表示为：前进的方向，可表示为：将将t取极限取极限rs式两边同除式两边同除2.2.速度与角速度的关系速度与角速度的关系3.3.加速度与角加速度的关系加速度与角加速度的关系vv 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不变（恒为不变（恒为1

13、）但方向不断变化的矢量。）但方向不断变化的矢量。根据加速度的定义，有：根据加速度的定义，有：1. .切向加速度与法向加速度切向加速度与法向加速度rs（1）trtstt00limlimtrt0limdtdr现在学习的是第十三页，共25页 在在 t很小并趋于零时，有：很小并趋于零时，有：dtvdadtvd)(dtdvdtdv代表着质点运动速度大小的变化。代表着质点运动速度大小的变化。dtdvxyP pt+tt+t时刻，速度单位矢量为时刻，速度单位矢量为t t时刻，时刻，速度单位矢量为：速度单位矢量为：增量为增量为：|lim|0td|在在 t趋于零时，趋于零时，d的方向跟的方向跟垂直并指向圆心，垂直

14、并指向圆心，即指向圆周轨道的法向即指向圆周轨道的法向n的方向。的方向。nddvv r|lim0td现在学习的是第十四页，共25页可改写为：可改写为：dtdvdtndvdtdv)(将：将：dtdrv,代入上式，得：代入上式，得：ndtdvdtdvdtdvdtdvanrvdtdv2 可以将作圆周运动的加速度沿圆周轨道可以将作圆周运动的加速度沿圆周轨道的切向和法向分解为两个分量。的切向和法向分解为两个分量。ora ana aa adtdva切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：rvan2ndtdvnddnvnrv 2nr2naaan现在学习的是第十五页，共25页22naaaora ana

15、aa a大小大小naaan切向加速度与法向加速度的意义：切向加速度与法向加速度的意义：dtdva切向加速度：切向加速度：表示速度大小变化的快慢。表示速度大小变化的快慢。速度方向的变化快慢。速度方向的变化快慢。法向加速度：法向加速度：rvan22. .圆周运动时加速度与角量的关系圆周运动时加速度与角量的关系dtdvarvan2rdtdrrr2)(2rdtdvarvan2现在学习的是第十六页，共25页4.4.角量与线量的关系角量与线量的关系rdtdvarvan22rrsrv 以上我们用线量和角量来描述质点的运动，采用的以上我们用线量和角量来描述质点的运动，采用的直角坐标和角坐标系。在质点作平面运动

16、并且已知运动直角坐标和角坐标系。在质点作平面运动并且已知运动轨道的情况下，用自然坐标系来描述质点的运动将更方轨道的情况下，用自然坐标系来描述质点的运动将更方便。便。现在学习的是第十七页，共25页nn1.1.自然坐标系自然坐标系O0s0s质点质点P P沿已知的平面轨道运动。沿已知的平面轨道运动。 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点O O作为坐标原点，并任意规定一个正方向。作为坐标原点，并任意规定一个正方向。 质点在轨道上的位置可以用从原点质点在轨道上的位置可以用从原点O O算起的弧算起的弧s s来表示，来表示，s s称为称为弧坐标弧坐

17、标。运动方程：运动方程：)(tss 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。切向坐标切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向弧坐标的正方向；沿运动轨迹的切线并指向弧坐标的正方向；法向坐标法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。在质点上建立两个的坐标轴：在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标切向坐标和和法向坐标法向坐标。现在学习的是第十八页，共25页2.2.切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度nnO0s0s强调：强调：自然坐标系是建立在运动质自然坐标系是建立在运动质点上的，它随质点一起运动在轨道点上的，它随质点一起运动

18、在轨道曲线上。轨道上各点的自然坐标系曲线上。轨道上各点的自然坐标系的二个坐标轴的方位是不断变化的。的二个坐标轴的方位是不断变化的。 根据速度的定义，根据速度的定义，dtrdv而而dsrd 说明：说明：dsds是是dtdt时间内弧坐标的增量（不是路程的增量），也就是时间内弧坐标的增量（不是路程的增量），也就是dtdt时时间内位移在切向的投影。其绝对值就是位移的大小。间内位移在切向的投影。其绝对值就是位移的大小。vdtdsvdtdsv 是速度在切向的投影。是速度在切向的投影。|dtdsvv注意与速度公式注意与速度公式 的的区别。区别。vv 现在学习的是第十九页，共25页nnO0s0s 根据加速度的

19、定义，根据加速度的定义，dtvdadtdvdtdvdtvda)( 根据前面的讨论，加速度可表示为：根据前面的讨论，加速度可表示为：naaan其中：其中：dtdvarvan2a由于速度由于速度大小大小变化产生的加速度；变化产生的加速度；na由于速度由于速度方向方向变化产生的加速度。变化产生的加速度。r r 为运动轨迹的曲率半径为运动轨迹的曲率半径。22naaa222rvdtdv大小大小现在学习的是第二十页，共25页例例1 1：质点作半径为质点作半径为R的圆周运动，其速率满足的圆周运动，其速率满足 k为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。小

20、。 kRtv解：解：切向加速度切向加速度dtdva法向加速度法向加速度rvan2kRRkRt2)(22Rtk加速度加速度22naaa2222RtkkR对于平面曲线运动对于平面曲线运动dtvdadtdv现在学习的是第二十一页，共25页求求t=1st=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。解：解：jtti tr)515(52例例2 2、已知质点在水平面内运动，运动方程为：已知质点在水平面内运动，运动方程为：jtidtrdv)1015(5jtti tr)515(522)1015(25tv2)23(12)3(10ttdtdvat=1st=1s)/( 252smajdtvda102522aaan)( 12mavn现在学习的是第二十二页，共25页tvx0(2)gtvvvyx ,0与切向加速度垂直与切向加速度垂直ana gyxov0解：解：20221vgxy ,2