数学后进生分类

1、1 前 言 上世纪末，我国普遍实行九年义务教育，初中教育不再 是“精英”教育，而是面向全体适龄儿童。当所有适龄少年 儿童都进入初中学习时，学习困难的学生将会大大增加。 【1】 学习困难学生的问题已经成为本世纪初基础教育中的一个大 问题。李岚清副总理在1999 年全国第三次教育工作会议上的 讲话中指出：“只有面向全体学生而不是少数学生，使他们的 基本素质都得到普遍提高，使他们的特长和潜能都得到发展， 使他们都能有适合自身特点的发展方式，才是符合二十一世 纪要求的高质量和高水平的教育，才能达到提高整个中华民 族素质的目的。” 【2】 调查显示，在初中阶段，数学学习困难学生所占的比例， 县城为 22

2、%，乡镇为 29.7%【3】 由此可见，初中数学学习困难 学生涉及面很广。初中生数学知识掌握得不好，不仅影响到 数学后继课程的学习，也影响到相关学科（如物理、化学） 的学习。因此，调查、分析、研究数学学困生的成因，并做 好转化工作，关系到学生的全面发展，关系到“面向全体学 生”的素质教育能否落到实处，关系到“普九”能否顺利实 施的问题。 我国数学学困生问题的真正深入系统研究，开始于全面 贯彻“义务教育法”，实施义务教育以后。由“应试教育”向“素质教育”的转移，极大地推动了学困生问题研究的深入 开展，使得数学学困生转化的目标从注重分数的提高，转到 注重数学素质和人格完善的方向，把这一研究的基础提

3、升到 了一个新的水平。 【4】 目前，我国基础教育界对数学学困生已作了不少的实验 研究，有些研究是大范围的、系统的整体的研究（如山东泰 安师专的935 实验），有些是局性的深度研究，如就某一数学 内容（概念、命题等）的学习或学习者的某一方面如兴趣、 情感、态度、认知、建构等去研究学困生的成因及其转化工 作，但很少关注学困生在数学学习中的理解障碍，以此为突 破口，去对数学学困生进行转化工作的教育实验就更为少见。 而从本质上说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对 【1】 数学课程标准解读，北京师范大学出版社，2002 年5 月第1 版，迎接数学教育新时代，第3 页。 【2】 华国栋，差异教学论

4、，教育科学出版社，2001 年4 月第1 版，前言，第1 页。 【3】 魏立平，杜玉祥，初中数学差生成因的调查与分析，数学教育学报。1995（4）。 【4】 杜玉祥等，数学差生问题研究，华东师大出版社，2003 年5 月第1 版，第145 页。 2 数学知识的理解的过程：他们带着自己原有的知识背景、活 动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括 独立思考、与他人交流和反思等，去建构对数学的理解。 【5】 数学学习中，“理解”无疑是第一位的，它已成为继“问题解 决”之后当今世界数学教育界所关注的又一中心话题。 【6】 初中 生在数学学习中的理解障碍，是数学学困生形成的一个不容 忽视的原

5、因。 本研究试图以初中数学学困生在数学学习中的理解障碍 作为突破口，结合数学教育、心理学理论，以及本人二十多 年的初中数学教学经验，以南宁外国语学校七年级的数学学 困生作为实验对象，分析他们在数学学习中理解障碍的成因、 类型并进行转化实验，最后上升到理论，旨在给我国基础教 育中从事“差生”转化工作的教师提供参考。 【5】 数学理解标准解读，北京师范大学出版社，2002 年5 月第1 版，第49 页。 【6】马复，试论数学理解的两种类型，数学教育学报，2001 年8 月，第10 卷第3 期，第50 页 3 第一章 数学学习困难学生研究概述 1.1 学习困难学生研究的历史和现状简述 1.1.1 学

6、习困难研究的历史发展 自从20 世纪60 年代柯克（S. Kirk）首先用学习困难一词 来描述智力正常而在课程学习上有困难的学生以来，世界各 国对学习困难的研究已有超过四十年的历史。尽管对学习困 难问题的研究与探讨是在20 世纪中叶之后才开始，但其理论 与哲学基础却相当久远。学习困难的有关研究可追溯到19 世 纪，其整个发展历史可分为三个阶段。 【1】 第一阶段：奠基阶段（18001930） 学习困难研究起始于神经学家对由于脑损伤而失去阅读 或言语能力的成人的研究。这一阶段的主要研究者是维也纳 的医生高尔（F.Gall），他在1802 年研究大脑某部位的功能与 语言能力的关系时，发现如果大脑的

7、有关部位受损伤，人就 无法用言语来表达情感和意愿。这一阶段具有代表性的成果 是：通过对不能学习阅读儿童的个案研究，提出了“词盲”概念，词盲主要指能读出词，但不理解其含义的现象。 第二阶段：过渡阶段（19301960） 这一阶段的学习困难研究不再限于医学与神经学的范 畴，也不再限于纯粹的理论研究。在这一阶段，心理学家和 教育学家试图把“奠基阶段”所形成的理论与研究成果转变 成治疗的实践。对这种实践进行尝试的第一个研究者是美国 的一位精神病医生奥顿（S. Orton），他提出了一套训练与教育 的方法。本阶段具有代表性的研究是由美国医生史特劳斯（A. Strauss）、心理学家和特殊教育学者韦纳（H

8、. Werner）和凯夫 特（N. Kephart）等人所作的有关知觉及知觉运动功能的 研究，他们的研究被认为是学习困难研究的先驱工作。学习 困难被确立为一个具体的研究领域，为学习困难领域理论和 研究奠定了基础。 第三阶段：整合阶段（1960 年以后） 学习困难的概念在这一阶段被正式提出来。 在这一阶段，除了概念上的整合之外，研究者也逐渐地 认识到学习困难学生群体的多质性，即由于学习困难的形成 原因繁杂、类型众多，学习困难学生群体中的个别差异现象 也非常明显。因此，一个特定的单一缺陷假设或理论，并不 能说明学习困难学生群体潜在的多质性。研究者认为，应放 弃单一症状理论，以更好地描述学习困难学生

9、群体多质性失 调的范围。 1.1.2 学习困难的研究现状 自上个世纪60 年代以来，学习困难便成为基础教育界、 【1】 刘晓明，傅贵芳中学生学业不良的评价与干预，东北师范大学出版社，1999 年10 月第1 版，第10-11 页。 4 教育学和心理学界研究的重要课题，各国学者对此都作了大 量的理论探索和实验研究，取得了丰富的理论和研究成果。 但由于各国学者所处的文化背景不同，各国学校教育的具体情 况不同，他们研究的角度、侧重点也各不相同。基于这种考虑 且限于篇幅，本文仅介绍我国大陆学者对学习困难的研究现状。 （1）教育学领域对学习困难的研究 大陆教育学界主要从以下几方面对学习困难进行了研 究。

10、第一，学习困难的概念及其理解。有的认为，学习困难 学生就是后进生、差生；有的认为，弱智学生、低能学生应 包括在学习困难学生之内。目前，人们对于学习困难的概念 的理解仍存在较大分歧，教育者们尚未达成共识。第二，学 习困难的类型。教育者从不同角度对学习困难进行了分类， 尽管分类不同，但最终都是为了学习困难学生的教育与转化。 第三，学习困难的成因。教育者对学习困难成因的看法基本 上是一致的，即普遍认为造成学习困难的原因有内因和外因 两大因素。内 因即学习困难的自身因素，主要包括遗传、营养不良以及疾 病、神经功能失调、个性不良、 学习动机和方法不当等。外因主要指学校、家庭和社会的影 响。第四，学习困难

11、的教育观。有的学者主张学习困难学生 的教育应强调学校的主导作用，尤其重视教师在学习困难形 成和转化中的作用；有的教育者则认为学习困难学生的教育 应强调学校、家庭和社会的有机结合。也有的学者持折中的 看法，认为对学习困难学生应该进行综合教育，依靠各方面 的力量共同努力，才能有效地促进学习困难学生的转化。 【1】 （2）心理学领域对学习困难的研究 大陆心理学界主要在以下方面对学习困难进行了研究。 第一，学习困难学生的心理特征。在这方面，比较常见的是 经验型和分析型研究。有的学者认为，应付心理、恐惧心里、 厌学心理、自卑心理、逆反心理等是学习困难学生的主要心 理特征。有的学者认为，要求爱抚和得不到温

12、暖的矛盾、渴 望尊重和得不到尊重的矛盾、争强好胜与地位低下的矛盾， 要求上进与意志薄弱的矛盾是学习困难学生的主要心理矛 盾。有的学者则认为，学习困难学生的共同特征是缺乏社会 性，对学习的不安倾向显著，情绪不稳定，自卑感重，有神 经质的倾向，学习方法拙劣，易遭挫折，且对挫折的忍耐力 差，缺乏努力学习的意志等等。第二，学习困难学生的心理 表现。这方面较常见的是描述性研究，大多数学者认为学习 困难学生的心理表现是模仿心理、比较心理、从众心理、逆 反心理、侥幸心理等，并用经验性的材料加以论证。第三， 学习困难学生的个性特征。有的学者认为固执、懒惰、马虎、 【1】 刘晓明、傅贵芳中学生学业不良的评价与干

13、预第16 页。 5 无责任心等是学习困难学生个性的突出表现。第四，部分学 者从信息加工过程角度来研究学习困难学生的注意力缺陷， 知觉失调等。当然，心理学者的研究与教育学者的研究有交 叉，心理学者对学习困难的含义、成因、分类、评价与教育 也进行了广泛而深入的研究。尽管国内对学习困难已有广泛 的研究，但研究仍处于起步阶段，有待进一步系统深入地研 究。 【2】 1.2 数学学习困难学生的界定 1.2.1 学习困难学生的界定 至今为止，关于“学习困难学生”国内还没有统一的、 公认的定义，其名称各异，有“差生”、“后进生”、“学业不 良学生”、“其潜能还没得到开发的学生”，其含义也不尽相同。 差生概念的

14、最大缺陷。一是含义不确切，二是有损学生 人格或打击学生积极性。因而有些学者和教育工作者主张用“其才能未被开发的人”、“后进生”等词来取而代之。这些 概念首先明确肯定了这一部分学生存在着发展的潜能，同时 认为他们目前存在着明显的不足，处于暂时的学习落后状态。 另一方面，主张继续使用差生这一概念的教育工作者和研究 者，已倾向于摒弃“成绩、品行双差”这一概念，但要包容 学习障碍者。例如钟启泉认为：现代的差生概念有所拓展， 它不仅指传统意义上的“学业不良”，也包括了近几十年来越 来越受国际教育界关注的“学习失能”，这是另一种原因造成 的学业不良。它们的共同点是：智力属正常范围，但由于各 自不同的原因，

15、不能适应普通学校教育条件下的学习生活， 最终导致“学力不振”或“学力不良”。这种“不振”或“不 良”是可逆的或基本可逆的，在一定补救教育的条件下是可 以转化的。这些特点有利于其他特殊教育的对象。 【3】 钱在森等人根据我国大陆中小学实际情况，结合上述意 见，提出了一个操作性定义：所谓学习困难学生，指的就是 智力正常，但学习效果低下，达不到国家规定的教育大纲要 求的学生。 1.2.2 数学学习困难学生的界定 关于数学学习困难学生（以后简称数困生）存在下列几 个基本看法： 【4】 （1）对数学学习 绝对无能的数困生是不存在的。正如前苏联教育心理学家克 鲁捷茨基指出的：“在恰当的教学下，每个正常的心

16、理健康的 学生是能够或多或少地顺利掌握中小学数学课程的，是能够 获得中学课程范围内的知识和技能的”。 （2）数学学困生是相对的。如克鲁捷茨基在学生数学能 力比较研究中所描述的那样，有些学生相对于有较强能力和 能力中等的学生而言，他们“学习数学显得困难重重”，是“理 【2】 刘晓明，傅贵芳中学生学业不良的评价与干预，16-17 页。 【3】 引自吴增强学习心理辅导，上海教育出版社，2000 年8 月第1 版，第191 页。 【4】 唐瑞芳，朱成杰数学教学理论选讲，2001 年1 月第1 版，第139140 页。 6 解教师讲解有困难（常常需要补课）”和“题目超出他们所 掌握的标准形式的范围就不会

17、解”的学生，他们的“数学习 惯难以养成，需要经过大量的练习，即使形成了也不稳定， 不加练习就容易丧失”。 （3）数学学困生是达到中学数学大纲课程的合格要求还 存在一定程度困难的学生。这在我国中学数学教育界得到较 为普遍的认可。 以上 3 种看法，分别指出了数困生的可教性，相对性和 现实差距性。而鲁献蓉对数困生下的定义与之不谋而合，恰 好体现数困生的这三个特性：所谓数学学习困难学生，指的 是智力正常（可教性），且处于正常的教学环境，在同类群体 中，数学学习水平较低（相对性），达不到国家规定的相应数 学教学大纲要求的学生（现实差距性）。 【1】 我认为这一定义比 较符合我国中小学的实际情况,较便于

18、操作。这样界定不仅考 虑到学习的外部条件，也注意到学生的内部变化。他们当中 有些是数学能力问题，指那些比其他学生要花费更多时间和 精力才能勉强掌握数学知识和技能的学生；有些是因有其他 问题，例如，学习数学的环境、动力以及兴趣、信心等心理 问题；另外还有数学的基础不扎实等知识积累问题。但是， 他们共同的表现是不能掌握中学数学教学大纲规定的相应的 知识和能力，数学学习效果低下，其主要特点表现在个体的 认知、情意和行为系统等方面。 1.3 初中数困生成因的系统化研究 数学学困生研究是一个复杂的系统工程，不论是从形成 原因还是从结构特征看，都是一个庞大的、复杂的群体，为 了从整体上把握这个群体，有较地

19、寻找数困生转化的突破口， 对其进行成因研究是完全必要的。 山东省泰安师专的“935”实验（初中数学学困生转化实验） 课题组，以内外因关系为依据，在心理测试的基础上，对数学 学困生成因进行了系统的研究，并作出了科学的分类（见下图） 数学学困生分类系统 内 因 主 导 型 外因影响型 智 力 型 非 智 力 型 【1】 鲁献蓉，数学学习困难学生的认知特点，数学教育学报，1999.11，第55 页。 7 记 忆 障 碍型 思 维 欠 缺型 想 象 片 面型 操 作 迟 钝型 兴 趣 缺 乏型 态 度 不 端型 意 志 薄 弱型 情 感 障 碍型 方 法 不 当型 受 干 扰型 被 误 导型 综 合型

20、 这一研究从智力因素与非智力因素中探讨数困生的成因 指出：基本智力水平发展滞后是数困生形成的一个重要原 因；数学基础知识的“断链”与“破网”是形成数困生的 直接原因；注意稳定性差是形成数困生的主要原因；情 感消极意志薄弱是形成数困生的又一个重要原因。此外，环 境因素和机体因素对数困生的形成也有一定作用，尤其是环 境因素，并认为影响学习的环境很多，如学校所处的地理位 置，校园的美化情况，班级同学之间的关系，学习气氛，教 师对学生的态度等等。这些因素对学生数学学习都有一定影 响。 【1】 1.4 从信息加工论角度，研究数困生的认识特点 许多认知心理学家把人看作是信息加工的机制，把认知 看作是对信息

21、的加工。当代认知心理学奠基人之一奈瑟 （Neisser,1967）认为：“认知指转换、简约、加工、贮存，提 取和使用感觉输入的所有过程”【2】 数学学困生，除了学习数学的兴趣、动机、态度等非认 知因素，与中等生、优等生最根本的差异在于他们的认知方 式的不合理，与数学学科所需要的认知方式差距过大。这种 差距，是他们在数学智力活动中表现迟钝的基本原因。以数 学学习中的信息获取、加工和保持这几个来分类研究，迄今 为止，较为深入、系统的要数前苏联教育科学院克鲁捷茨基 的研究，他对数困生认知特点的研究结果可以描述成： 【3】 （1）在知觉数学材料、获取信息过程中，他们缺少一种“从具体材料中摆脱出来，鉴别

22、出一般”、“掌握数学对象的 形式结构”的能力。具体地表现为下列特点： 离散性：他们分散地知觉材料中的各个数学元素，孤立 地看待每一个数学元素，似乎与别的数学元素没有联系。要 领悟材料中各元素之间的联结或联系，即使得到外界的帮助， 也会遇到很大的困难。 具体性：他们停留在材料中具体数学信息（如数据等） 的知觉上，难以从具体内容中摆脱（或抽象）出来，达到真 【1】 泰安师专联合课题组，初中数学差生成因的调查与分析，数学教育学报，1995.11，第41-49 页。 【2】 施良方，学习论，人民教育出版社，1994 年5 月第一版，第250 页， 【3】 唐瑞芳，朱成杰，数学教学理论选讲，华东师范大学

23、出版社，2001 年1 月第1 版，第142145 页。 8 正数学意义上的概括性认识。 同等性：他们同等地知觉着材料中的各个数学元素，而 不能评价他们并建立不同的层次，从而难以区分出其中带有 本质特征的那些数学元素。 分析的差异辨别性：他们在知觉材料、获取信息的过程 中，虽然也存在着分析，但是这种分析只是用于辨认和区分 材料之间的不同之处，仅此而以，而不能成为后继数学思维 活动开展的基础。 上述这些知觉特点，使他们主动地从材料中最大限度地 获取数学意义上“有用的信息”的能力明显低于优等生和中 等生，这为后继数学思维活动的顺利展开带来了很大的困难。 （2）在数学活动过程中的信息处理上，表现出下

24、列特点： 概括数学材料的能力偏低。他们从“特殊的和具体的事 物中，发现某些一般的可以纳入他们已经知道的东西（概念、 法则、公式等）和从孤立和特殊的事物中看到某些一般的、 尚未为他们知道的东西（从一些特例推出一般，并形成一个概 念）”的能力明显偏低，即使在外界的帮助下，做了一些中介的、 同一类型的练习之后，也常常不能按照本质特征括数学材料。 尝试活动的盲目性。对数学问题的解决常常不是立即想 出来的，需要在解答过程中作各种尝试。但是，他们在尝试 中对于“尝试什么？为什么要尝试这些方面？怎样去尝试？”常常在思想上是不明确的，是以“没有目标的运算及胡乱而 无系统的求解企图”为特点的。这种尝试的盲目性，

25、使他们 几乎得不到有利于求解的新的辅助信息。 思维易受定势抑制，转换迟钝。他们在求解中，最初想 到的解法（往往是一种较难的、 习惯了的方法）阻碍着去发现其他解法，一种已经确定了的 思路对重建思路具有一种抑制作用。这种思维过程中“凝固 不变的、定型化”的特点，使他们在从一种思路转向另一种 思路时显得格外的困难和缓慢。 “笨重”地推理而不能简缩。在数学活动中，他们常常 被缠在一种烦琐的演绎之中，必须“按部就班”地经历了相 当复杂的每一步骤后，才能得到一个判断。他们的推理一直 是“以表面的理解，详尽的但又是不必要的活动”为特征的。 这种推理结构笨重而不能加以适当简缩的特点，使他们信息 加工速度十分缓

26、慢，大大加长了问题解决的过程。 （3）在数学材料的保持上，他们缺少对典型的推理和运 算方式的概括记忆力。具体地说：(i)机械地记忆数学材料，而 不能通过分析、在理解材料的数学意义基础上进行记忆。(ii)识记和保持的内容常常是数学材料中个别的、零星的数据和9 细节，而不是主要因素数学运算或关系。(iii)对典型的推 理过程的记忆，往往不作取舍，缺少提炼概括，记住的不是 由推理要点组成的简缩结构。 第二章 现代认知心理学关于数学理解的研究综述 2.1 数学理解的涵义 2.1.1 知识理解概述 中学生对基础知识的学习是通过理解、保持和应用三个 基本环节来实现的。在师生交互作用、协同活动的教学过程 中

27、，中学生对知识的理解，就是对教材中有关事物的本质和 规律的认识，从而达到理性上的掌握。 【1】 关于理解的理论，各派心理学家有各自的见解。格式塔 派从所谓“原始的智慧出发”，认为学习中的理解是“原始智 慧的成就”的表现，不承认经验在理解中的作用，所以把理 解归结为“顿悟”，即突然贯通；巴甫洛夫学派把理解看作是“联想的联想”。他们认为学习就是形成暂时联系，暂时联系 就是联想，就是获得有关事物关系的知识。当进行新的学习 时，“利用知识，利用已获得的诸联系，这就是理解”。这种 看法是把利用“旧知”形成新联想看作理解的。它承认经验 在理解中的作用，比较符合实际。但缺点是不能把理解和其 它种种心理过程如

28、感觉、知觉、记忆、习惯等等区别开来， 和其它思维过程区别开来；认知学派认为，任何知识都是对 于按一定的关系一定模式构成的事物结构的认识。个体在认 识中形成了这个相应的认知结构后，对新事物进行认识时就 把新事物同化于已有的认知结构或是改组扩大原有的认知结 构，把新事物包括进去，这样的心理活动就是理解。 【2】 理查德·斯根普（Richard Skemp）指出：“对某个事物的 理解，指的是将它同化进入一个适当的 schema 之中。”这里 的schema 是图式、结构的意思。具体地说，理解是在感知的 基础上，通过思维加工，把新学习的内容同化于已有的认知 结构中，或者改组扩大原有的认识结构

29、，把新学习的内容概 括进去逐步达到认识事物的本质和规律的一种思维活动。 【3】 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传 输、编码为基础，根据已有信息建 构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程。Mayer 给出 【1】 徐胜三主编中学教育心理学，人民教育出版社，1993 年5 月第1 版，P 137 【2】 张浪平著中学数学教学心理，广西师范大学出版社，1989 年5 月第1 版，P 133 【3】 田万海主编数学教育学，浙江教育出版社，P 87 10 了学习者的理解过程模式，如图所示。 【1】 图1 理解过程的一般模式 认知学派这种对学习中理解的解释，近几年来已引起许 多心理学家的

30、重视，也很符合数学学习中理解的解释。 2.1.2 数学理解的涵义 数学学习中，“理解”无疑是第一位的，而“数学理解”已成为继“问题解决”之后当今世界数学教育界所关注的又 一中心话题（PME News May 1997 edition，Mathematics Forum）。 【2】 在日常教学中，数学理解作为一个目标层次（了 解、理解、掌握、灵活运用）被解释为：对概念和规律（定 律、定理、公式、法则等）达到了理性认识，不仅能够说出 概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样得来的，它与其它 概念之间的联系，有什么用途。 【3】 这也就是原来的全日制初 级中学数学教学大纲（1988 年）中对“理解”的

31、解释。现在， 我国的全日制义务教育数学课程标准这样解释“理解”： 能描述对象的特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象 之间的区别和联系。 【4】 这些解释重在结果和外在表现的判定。 而认知心理学则把数学理解描述为，数学学习内容“成为个 人内部网络的一部分”强调在心理上组织起适当的有效的认 知结构。 【5】 我国学者李士锜先生利用认知结构的观点，特别是结构 的建构观点，认为学习一个数学概念、原理、法则，如果在 心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内 部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了。其中所需要 做的具体工作就是寻找并建立恰当的新、旧知识之间的联系， 使概念的心理表象建构得

32、比较准确，它与其它概念表象的联 系比较合理，比较丰富和紧密。 【6】 这样的“定义”比较全面地考虑到了教育心理学所称的“认知结构变量”，即个人认知结构在内容和组织形式上的特 征，至少包含了以下几层意义 【7】 1、知识的理解必须要有一定的心理基础。Ausubel 曾经 指出，从教育心理学最基本的原理看，“影响学习最重要的因 【1】 李新成现代认知心理学关于理解过程的研究，教育理论与实践，1997.（2）：4549。 【2】 马复，试论数学理解的两种类型，数学教育学报，第10 卷，第3 期第50 页。 【3】 罗增儒，数学理解的案例分析，中学数学教学参考，2003 年第3 期，第15 页。 【4

33、】 全日制义务教育教学课程标准，北京师范大学出版社，2001 年7 月第1 版，第3 页。 【5】 罗增儒，数学理解的案例分析，中学数学教学参考，2003 年第3 期，第15 页。 【6】 李士锜数学教育心理，华东师范大学出版社，2001 年6 月第1 版，P 64 【7】 同5，P 64-69。 输 入 短时记忆 操 作 长时记忆 11 素是学生已经知道了什么”。在学习一个新概念以前，头脑 里一定要具备与之有关的准备知识，它们是支撑新概念形成 的依托。并且这些有关的概念结构是能够被调动起来的，使 之与新概念建立联系，否则就不会产生理解。 2、必须选择和调动起相称的认知图式。在建构新概念或 建

34、构新概念的意义时，所利用的认知图式必须是正确的、适 当的，即相称的，否则就会引起误解。 因此，要形成正确的理解，并不只是靠感知或读通概念 的定义就可以的事。在头脑中作信息加工的时候，被调动的 内容将经过监控系统的比较、判断和甄别等复杂过程的过滤， 而 且须在形式上作一定的处理。这里，涉及到理解所需要的心 理机制的问题。按照心理学的观点，其中最基本的机制是同 化和顺应。 3、理解是一个信息或要素组织的过程。简单地讲，理解 式的学习牵涉到两个方面的建构，一是处理新旧知识之间的 联系，产生一个新旧知识之间的特定概念关系；二是组织起 相应的关系结构，以利于新概念的存贮和回忆。 4、理解还需要认知结构的

35、再组织。如果说单个概念的形 成是一个心理上的组织过程的话，那么学习中更为重要的是 心理上的再组织过程，这是一个对数学来说至关重要的过程。 如果没有再组织或调整，那么较深入的理解是不可能达到的。 学生要能够在理解过程中进行结构的再组织，其必不可少的 机制是心理上的反省思维，即反思。 2.2 目前国内外关于数学理解的研究概况及文献综述 “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之 变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。”，随着数学应用 的日益广泛和深入，数学教育愈来愈受重视，有关数学理解 的研究也越来越引起人们的普遍关注。在国外，二十世纪六、 七十年代就有学者开始了这方面的研究，并在各个领域取

36、得 了可喜的成果。现在，随着我国教育科学的不断发展，生理 学、心理学和认知科学等学科的不断完善，国内也有不少专 家开始从事这方面的研究。 国内外对数学理解的研究主要集中在以下几个方面： （1）数学理解的界定，前面已就我国学者李士锜先生对 数学理解的界定作了系统的介绍，此处不再赘述。 （2）理解的功效。Carpenter Resnick 等人的研究表明， 数学理解有助于发明创造；Baddeley 等人的研究表明，理解 能促进记忆；Davis Meknigth 等人的研究表明，理解促进迁 移；而Doyle 等人的研究则表明，理解会影响学生对数学的信 念。 【1】 （3）数学理解水平的划分。 ()国

37、外学者对数学理解水平的划分。 1976 年，斯根普（Richard R.Skemp）在与挪威梅林 【1】 格劳斯，数学教与学研究手册，陈昌平译，上海教育出版社，1999 年P 131194 12 奥森（Stieg MellimOlsen）交流以后，明确提出了事物的 理解有两种模式：工具性理解和关系性理解。 【2】 所谓工具性理 解是指：一种语义性理解符号 A 所指代的事物是什么， 或者一种程序性理解：一个规则 R 所指定的每一个步骤是什 么，如何操作；关系性理解则还需加上对符号意义和替代物 本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则 本身有效性的逻辑依据等等。英国的Pirie 和加拿

38、大的Kieren将数学理解分为八个水平，即原始认知、产生表象、形成表 象、性质认知、形式化、观察评述、构造化、发明创造。这 八个水平的关系，可以用八字嵌套的圆来表示，如图2 所示。 【3】 图2“超回归”数学理解模型各水平之 间的关系 如图 2 所示，这八个水平间“超越地回归式”的相互包 含，认为数学理解是一个动态的、分水平的、非线性发展的、 反反复复的建构过程。它具有以下三个特点： 超越性：外侧理解水平包含内侧理解水平，并将内侧 理解水平协调地统一起来，且发展和超越了内侧理解水平。 回归性：Pirie 和Kieren 认为：人无论在哪级理解水平 上，面对一个不能马上理解或解决的问题，为了加深

39、和扩充 自己的理解，有必要返回到内侧水平。可是，这种重新返回 到内侧水平所进行的理解活动与原先内侧水平的理解不同， 具有外侧理解水平的特点。另外，从某一水平的“回归”不 仅仅是返回相邻的内侧水平，有时会返回到更内侧的理解水 平。 不必要的边界：因为“超回归”数学理解模型的各个 水平之间相互连接、“回归式”的包含，因此有些边界是不必 要的，上图中用粗线表示的边界就是“不必要的边界”。超越 了这个边界，使外侧理解产生的内侧理解就不需要了，学生 就有能力直接使用现有理解，进行新水平的理解活动，因此， 这种边界叫“不必要的边界”。 【2】 马复试论数学理解的两种类型，数学教育学报，2001 年8 月，

40、第10 卷第3 期P 50 【3】 李淑文、张同君，“超回归”数学理解模型及其启示，数学教育学报，2002 年2 月，第11 卷第1 期，第22 页。 13 “不必要边界”的特点说明，在“超回归”理解模型的 八个水平中，数学活动、表象、形式化和构造化是最基本和 最重要的理解水平。 ()国内学者对数学理解水平的划分。 我国学者黄燕玲、喻平按数学知识的分类将数学理解分 为对陈述性知识的理解、对程序性知识的理解和对过程性知 识的理解等三个方面。 【1】 对陈述性知识的理解。陈述性知识以命题、表象、线 性排序等 3 种形式作为基本表征单位。命题相当于头脑中的 一个观念，一个命题被看作是陈述性知识的最小

41、单元。一个 命题不是孤立的，它与其它命题相互联系组成命题网络。表 象表征是对事物的知觉特征的保留，是一种连续的、模拟的 表征。线性排序是对一系列元素所作的线性次序的编码。在 人的知识表征中往往组合了命题、表象及线性排序，从而形 成对知识的综合表征图式。对数学陈述性知识的理解是 从知识的基本单元表征，到形成命题网络，再到获得图式的 过程。 对程序性知识的理解，程序性知识是由陈述性知识转 化而来的，是陈述性知识的动态成分。与静态的陈述性知识 不同，程序性知识以“产生式”这种动态形式来表征。所谓“产生式”指一条“条件行动”规则，即一个产生式总 是对某一或某些特定的条件满足时才发生的某种行为的一种 程

42、序。当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时，这 两个产生式便建立了相互联系，若一组产生式有这种相互联 系，便形成一个产生式系统，产生式系统代表了人从事某一 复杂行为的程序性知识。 程序性数学知识的理解就是学习者对产生式和产生式系 统的获得。特别是，我们认为对程序性知识中的策略性知识， 其表征是一种双向产生式。双向产生式是一种具有双重功能 的指令，它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作， 又能指令在不同的情形中选用不同的产生式。换言之，学习 者不仅知道“如果67那么67”，而且还应知道在什么条件下去 使用这个“如果67那么67”。综上所述，学习者对程序性数学 知识的理解，是指他建立了双向

43、产生式和产生式系统。 对过程性知识的理解。过程性知识是伴随着数学活动 过程的体验性知识。体验分为 4 个阶段：(a)对知识产生的体 验。体会知识产生的缘由。明晰新旧知识的关联和因果关系。(b)对知识发展的体验。体悟知识发展的动因，包括数学学科 的内部因素和促进知识发展的外部因素，习得探究数学问题 的方法（逻辑的和非逻辑的）和策略。(c)对知识结果的体验。 领会蕴涵在知识中的数学思想方法，感受数学结构的美。(d) 【1】 黄燕玲、喻平对数学理解的再认识，数学教育学报，2002 年8 月第11 卷第3 期，第40 页。 14 对知识运用的体验。体会数学应用的 广泛性，积累解决问题的认知策略和元认知

44、知识，形成自我 监控的意识和习惯。 过程性知识的表征分为两个层面：关系表征和观念表征。 关系表征指个体对知识发展过 程中的知识之间存在某些关系的体悟。具体地说，它相当于 陈述性知识的命题网络中连结命题的连线，以及程序性知识 的产生式系统中连结产生式的连线。观念表征则是对知识之 间发生关系的缘由的体悟，其成分更多的是一种元认知体验。 这 2 种表征因人而异，不同的学习者对同一对象的关系表征 的完善性、观念表征的深刻性都可能不同。综上分析，对过 程性数学知识的理解是学习者形成完善而深刻的关系表征和 观念表征。 上述按数学知识的分类对数学理解水平的划分，可图示 如下。 数学理解 对陈述性知识的理解

45、对程序性知识的理解 对过程性知识的理解 2.3 影响数学理解的因素 根据图式理论可知，个体在认识过程中，原有的知识及 其组织对理解具有极大的影响。新材料本身，没有提供理解 它的完整信息。新材料的输入，只能是一种线索，要想理解 这些新材料，就必须使新旧知识相互作用和结合，并从原有 知识中推论出理解当前的材料所需要的信息。根据上述观点， 可以把影响理解的因素，概括为以下几个方面： 【1】 理解学习的 心向、学习材料的性质、原有认知结构的水平、原有的知识 背景激活的程度。 （一） 理解学习的心向 影响学生对知识理解的重要因素之一是学生是否具有通过 积极思维，以求搞清、弄懂新知识的心理准备。学生所学材料 的内容是由概念、原理、定理、定律、法则、公式等组成的系 统知识。这些知识都是运用语言、文字予以表述的。如果学生 缺乏理解学习的心向，他们就可能主要依靠机械记忆，以反复 诵读的方式，记住这些文字的表述。这样往往可能造成学生获 得知识的假象，而实际上学生只是记住了文字的表述，并不是 真正理解这些知识。如果学生只是用机械记忆的方法学习，而 【1】 徐胜三主编中学教育心理学人民教育出版社，1993 年5 月第1 版，P 146148 15 不能对句子的深层含义予以分析和理解，就可能把许多等值