高等数学例题

1、高等数学（下） 例题高等数学教学大纲 英文名称：Higher Mathematics一、课程目标1、课程性质 高等数学是工科各专业的核心课程。在工程、化学、物理、机械、经济等专业的众多课程都需要以数学为基础，因此，掌握高等数学的有关知识，把握微积分的基本思想和基本方法，对顺利完成后继课程的学习是非常必要的。本课程也是培养学生获取知识能力、应用知识能力及创新能力，提高学生抽象能力、逻辑思维能力与数学素质的一个重要的教学环节。2、教学方法以课堂讲授为主，习题课及课堂练习为辅。应用多媒体辅助教学。3、课程学习目标和基本要求 （1）通过学习学生要掌握微积分的基本思想和基本方法，掌握数列的极限、函数的极

2、限与连续，一元函数的微分学，一元函数的不定积分与定积分的计算。线性微分方程的解法。向量代数、直线、平面、及空间曲线与曲面方程。多元函数的连续与极限，偏导数及微分，复合函数的求导法则，隐函数的求导公式。重积分、曲线积分与曲面积分的计算。幂级数与傅里叶级数。 （2）通过学习，培养学生具有抽象思维、逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的数学知识分析问题、解决问题的能力，为学习后继课程奠定必要的数学基础。4、课程学时：180学时5、课程学分：10学分6、课程类型：必修课7、先修课程：初等数学8、考试（考核）方式：考试9、适用专业：全院理工类各专业二、课程结构1、极限与连续（20学时） 知识点：极限，两

3、个重要极限，无穷小的比较,连续性与间断点，闭区间上连续函数的最大(小)值定理与介值定理,函数的概念与复合函数。无穷大与无穷小，极限的运算，初等函数，映射，基本初等函数，初等函数。 重点： 数列极限与函数极限的概念，极限存在准则与两个重要极限，无穷小的比较，函数连续性与间断点，闭区间上连续函数的最大(小)值定理与介值定理，函数的概念与复合函数。 难点：极限存在准则,闭区间上连续函数的性质。2、一元函数微分学（24学时） 知识点：导数的定义，相关变化率，复合函数求导，隐函数、参数方程求导，相关变化率，函数微分，拉格朗日中值定理，罗必塔法则，函数单调性与凹凸判定法，函数极值与最值问题。函数的可微性与

4、连续性的关系，函数的线性组合、积、商的求导法则，反函数的导数，高阶导数，微分中值定理， 函数极值与最值问题，曲线的曲率。 重点：相关变化率定义,复合函数求导，隐函数、参数方程求导， 相关变化率，函数微分，拉格朗日中值定理，罗必塔法则，函数单调性与凹凸判定法，函数极值与最值问题。 难点：导数定义，复合函数求导，隐函数求导，相关变化率，微分中值定理，函数极值与最值问题。3、一元函数积分学（24学时） 知识点：本章的重点是积分的概念，积分学中值定理，微积分基本定理，换元积分法与分部积分法，以及定积分在几何及物理学中的应用。几种特殊类型函数的积分，反常积分，平均值。 重点： 本章的重点是积分的概念，积

5、分学中值定理，微积分基本定理，换元积分法与分部积分法，以及定积分在几何及物理学中的应用。 难点：定积分的应用。4、微分方程（20学时） 知识点： 微分方程基本概念，可分离变量微分方程，一阶线性方程，线性微分方程解的结构，二阶常系数线性微分方程，可用变量代换法求解的一阶微分方程，可降阶的二阶微分方程。 重点：微分方程基本概念，可分离变量微分方程，一阶线性方程，线性微分方程解的结构,二阶常系数线性微分方程。 难点：二阶常系数微分方程，微分方程的应用。5、向量代数与空间解析几何（18学时）知识点：向量的概念，向量的加、减法，向量与数量的乘法， 向量的数量积、向量积与混合积， 两个向量的垂直与平行的条

6、件，平面的点法式方程，直线的对称式方程与 直线的一般式方程，曲面与曲线方程的概念，空间直角坐标系,常见曲面方程与图形。两点间的距离，向量的分解与向量的坐标，向量的模，单位向量，方向余弦与方向角，向量间的夹角，平面的一般方程，直线的参数方程，母线平行于坐标轴的柱面方程，空间曲线的参数方程。 重点： 平面的方程，直线的参数方程。 难点：平面的方程，直线的参数方程。6、多元函数微分学（20学时） 知识点： 多元函数概念；偏导数和全微分的定义；多元复合函数的求导法则；隐函数求导公式：一个方程的情形；微分法在几何上的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，条件极值求法。

7、区域，多元函数的连续性、方向导数与梯度。全微分在近似计算中的应用；隐函数求导公式：方程组的情形是选讲内容。 重点：多元函数概念；偏导数和全微分的定义；多元复合函数的求导法则；隐函数求导公式：一个方程的情形；微分法在几何上的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，条件极值求法。 难点： 多元函数概念；偏导数和全微分的定义；多元复合函数的求导法则；隐函数求导公式：一个方程的情形；微分法在几何上的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，条件极值求法。7、重积分（18学时） 知识点：二、三重积分的概念与性质、二重积分的计算法（二重积分

8、的换元法可不讲）。利用柱面坐标与球面坐标计算三重积分。利用二重积分，三重积分计算曲面的面积，平薄片和空间物体的重心坐标及转动惯量等。能利用直角坐标计算三重积分，利用二重积分、三重积分计算平面薄片或空间物体对一质点的引力。 重点：二重积分的概念与性质、二重积分的计算法。利用直角坐标、柱面坐标与球面坐标计算三重积分。利用二重积分，三重积分计算曲面的面积，平面薄片和空间物体的重心坐标及转动惯量等。 难点：二重积分的概念与性质、二重积分的计算法。利用柱面坐标与球面坐标计算三重积分。利用二重积分、三重积分计算曲面的面积，平薄片和空间物体的重心坐标心及转动惯量等。8、曲线积分与曲面积分（20学时） 知识点

9、：质量问题提出的第一型曲线积分与第一型曲面积分概念及计算，功问题提出第二型曲线积分和流量问题提出的第二型曲面积分概念，格林公式，线积分与路径无关的条件，高斯公式。梯度、散度、旋度的概念与计算，斯托克公式及计算。 重点：第一型曲线积分与第一型曲面积分概念及计算，第二型曲线积分和第二型曲面积分概念，计算，格林公式，曲线积分与路径无关的条件，格林公式，高斯公式。 难点：第一型曲线积分与第一型面积概念及计算，第二型曲线积分和第二型曲面积分概念及计算，格林公式及积分与路径无关的条件，高斯公式。9、无穷级数（16学时） 知识点： 级数收敛的必要条件，正项级数审敛法，交错级数审敛法，级数的绝对收敛与条件收敛

10、，幂级数的基本性质、收敛半径与收敛区间，函数展开成幂级数。常数项级数的概念，无穷级数的性质，傅里叶级数，傅里级数的收敛定理，正弦级数与余弦级数，以2L为周期的函数的傅里叶级数。 重点：级数收敛的必要条件，正项级数审敛法，交错级数审敛法，级数的绝对收敛与条件收敛，幂级数的基本性质、收敛半径与收敛区间，函数展开成幂级数。难点：级数收敛的必要条件，正项级数审敛法，交错级数审敛法，级数的绝对收敛与条件收敛，幂级数的基本性质、收敛半径与收敛区间，函数展开成幂级数。三、课程资料教 材：同济大学应用数学系编.微积分（上、下册）第二版.北京:高等教育出版社，2002年参考书：1、同济大学应用数学系和武汉科技学

11、院数理系编.微积分学习指导书.北京:高等教育出版社,2001年7月2、工科教学指导委员会编.高等数学释疑解难.北京: 高等教育出版社,1992年8月3、钱本昌著.高等数学解题过程的分析和研究.北京: 科学出版社,1999年5月4、同济大学.高等数学（上、下）（第四版）.北京: 高等教育出版社,1999年5、北京大学数学科学学院.高等数学辅导（修订本）.上海: 科学技术文献出版社,2000年6、北京大学数学科学学院.高等数学习题集.上海: 科学技术文献出版社,1999年（注：为了排版方便，这里的课程资料用的是半角符号。若书名特别长的，建议可以在“字体”选项卡中“字符间距”下的“间距”修改磅值。）

12、 编制：吴海辉 审核：徐荣聪 2009年8月第一章 多元函数微分法及其应用一、 多元函数的极限 例1 设 求证： 证明：因为 可见，对应任意的正数，总存在正数 ，取 ，则当 即P(x,y) Du(o, )时，总有 成立，所以例2 求解：二、偏导数例1 求 在点（1,2）处的偏导数解：因 故注： 例2 求 的偏导数解： 由于 故例3 求 的偏导数解 由于故例4 曲线在点（2,4,5）处的切线对于x倾角是多少？解：由于 故 tan=1 ，=450例5 设 求解：由于 故三、全微分例1 计算函数 的全微分解：由于 故例2 计算（1.04）2.02的近似值解：设 f（x,y）=xy 对于二元函数f(x

13、,y)在点(x0,y0)附近有： F(x0+x, y0+y) f(x0, y0)+, fx(x0, y0) x+ fy(x0, y0) y 取 (x0,y0)=(1,2) , x=0.04 , y=0.02 因 f(x0,y0)=1 故 四、多元复合函数导数例1 设 而 求 和解：例2 设 f具有二阶连续偏导，求 及解： 设 则 故 例3 设 而 求解： 五、隐函数的导数例1 设 求 解：设 由于 例2 设 求解： 由于 给方程组两边对x求导并移项得： 从而有 故 将所给方程两边对y求导并移项得：从而有故六、应用例1 设空间曲线的向量方程为：求曲线在与t0=2相应的点处的单位切向量。解：由于

14、故曲线在与t0=2相应的点处的单位切向量为： 其中：“+”表示切向量与t的增长方向一致；“-”表示切向量与t的增长方向相反。例2 求曲线 ， 在点（1，-2,1）处的切线及法平面方程。解：由于将方程两边对x求导并移项得： 故 因 从而得曲线在在点（1，-2,1）处的切向量为 T=(1,0,-1) 所求切线方程为法平面方程为 即例3 求旋转抛物面 在点（2,1,4）处的切平面及法线方程解： 设 法向量为 即 故在点（2,1,4）处的切平面方程为 即在点（2,1,4）处的法线方程为七 方向导数与梯度例1 求函数 在点P（1,1,2）处沿从方向L的方向导数，其中L的方向角分别为600,450,600

15、.。解： 与L同向的单位向量为： 由于 函数可微分，且 故 方向导数为：例2 求解; 设 因 故例3 求曲面 在点P(1,2,4)的切平面和法线方程。解： 设因 而梯度的方向就是等值面 在点P 的法线方向。 故P 点的切平面方程是： 即 在点P 的法线方向是：例4 设 p(1,1,0)，问 f(x,y,z)z p处沿什么方向变化最快，在这个方向上的变化率是多少？解： 由于 即 故f(x,y,z)在p处沿梯度的方向增加最快，即 增加最快。沿负梯度的方向减少最快，即 减少最快。 在这两个方向的变化率分别为八、多元函数的极值例1 求函数 的极值。 解：由于： 故得 x1=1, x2=-3 ;y1=0

16、, y2=2 驻点为（1,0），（1,2），（-3,0），（-3,2） 设 在点（1,0）处，由于 又A>0, 故函数在点1,0）处有极小值，且f(1,0)=-5 在点（1,2）处，由于 故点（1,2）无极值。在点（-3,0）处，由于 故点（-3,0）无极值。 在点（-3,2）处，由于 又A<0,故函数在点-3,2）处有极大值，且f(-3,2)=31例2 求表面积为a而面积最大的长方体的体积解： 设长方体的棱长分别为x,y,z，则表面积为设由于长方体的体积为作拉格朗日函数： 由 即 得代入 得 这是唯一可能的极值点。由问题本身知最大值一定存在，故得表面积为a2的长方体，棱长为 时体

17、积最大，且第二章 重积分一、二重积分的计算例1 计算 其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域。x=2Y=1Y=x21210Xy解：先画出积分区域如下： 由于积分区域D是x型的（可用 表示） ，D上点的x坐标变动范围是区域：1,2。在此区间上任意取定一个x值，则D上y坐标y=1到y=x变化。故：例2 计算 其中D是由抛物线y2=x及直线y=x-2所围成的闭区域。0-12yxX=y+2X=y2解：先画出积分区域如下：由于积分区域D是y型的,D上点的y坐标变动区域是：-1,2,x坐标变动区域是：x1=y2,x2=y+2 故：y0ax例3 计算 ，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成

18、的闭区域。解： 先画出积分区域如下： 由于 不能用初等函数表示，故采用极坐标计算。 在极坐标系中，闭区域D可表示为： 因 故：二、三重积分例1 计算三重积分 ，其中为三个坐标平面及平面所围成的闭区域。B(0,1/2,0)A(1,0,0)C(0,0,1)X0yz解： 作闭区域如图所示 投影到xoy平面上，得到投影区域Dxy为三角形闭区域，边界方程分别为： X=0, y=0及x+2y=1 故 于是有例2 利用柱面坐标计算三重积分： 其中是由曲面 与平面 所围成的圆形闭区域。解： 把闭区域投影到xoy平面，得半径为2的圆形闭区域： 设： 因 于是有： 注：利用球面坐标求三重积分时，Xzxyr0yz第

19、三章 曲线积分和曲面积分一、对弧长的曲线积分例1 计算 ，其中L是抛物线y=x2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧。如图所示。01B(1,1)Y=x2xyL解: 如图所示，由于L由方程 给出，因此例2 计算曲线积分 ，其中L为螺旋线 x=acost, y=asint, z=kt上相应于t从0到2的一段弧。解： 二、对坐标的曲线积分例1 计算 ，其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点B（1,1）的一段弧。0Xyx=y2A(1,-1)b(1,1)解： 一）化为对x的积分计算。如图所示 由于 不是单调函数， 故可把L分为AO和OB两部分，在AO部分 ，x从1变到0；在BO部分 ，x

20、从0变到1。 因此 二）化为对y的积分计算 Y从-1变到1，因此有 例2 计算 ，其中L如图所示： （1）抛物线y=x2上从O（0,0）到B（1,1）的一段弧 （2）抛物线x=y2上从O（0,0）到B（1,1）的一段弧B(1,1)A(1,0)Y=x2X=y20Xy (3) 有向折线OAB，这里O，A，B依次是点（0,0），（1,0），（1,1）解： （1）化成对x的积分： （2）化成对y的积分： （3）三、格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)即Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有：其中L是D的取正向的边界曲线（当观察者沿着L的方向行走时，若D内的区域总在它的左边）

21、。AB0Xy例1 计算 ，其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形区域。如图所示。解： 令P=0，Q=xe-y2，则 由格林公式得：例2 求椭圆 x=acos,y=bsin所围成的图形的面积A。解： 由于 而 取p=-y,Q=x则 四、全微分方程 全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0有解的充要条件是：通解为其中（x0，y0）是在单连通区域G内适当选定的点的坐标。例1 解方程A(x,0)0XyB(x,y)解： 设 由于 取 x0=0,y0=0,取积分路径如图所示，则有： 于是，方程的通解为;还可以用下列方法求解全微分方程： 由于 故 又 从而 于是，方程的通解

22、为;五、平面上曲线积分与路径无关的条件 设区域G是一个单连通域，函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 在G内与路径无关（即沿G内任意闭合曲线的曲线积分为零。）的充要条件是：五、曲面积分例1 计算曲面积分 ， 其中是球面 被平面 截出的顶部。解： 由于球面方程为： 在xoy面上的投影区域D为圆形区域， 由公式：得 ： 利用极坐标得：例2 计算曲面积分其中是长方体的整个表面的外侧，且解：把长方体在xoy,yoz,zox平面投影，得：六、高斯公式 或 Cos,cos,cos是在点（x,y,z）处的法向量的方向余弦。例1 利用高斯公式计算曲面积分 其中为柱面x2+y2=1

23、及平面z=0,z=3所围成的空间闭区域的整个曲面的外侧。 解：由于P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 又 由高斯公式有例2 计算曲面积分 其中为锥面x2+y2=z2介于z=0和z=h（h>0）之间的部分的下侧，cos, cos, cos是在点（x,y,z）处的法向量的方向余弦。解：由于不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，若设1为x2+y2h2的上侧，则和1一起构成封闭曲面，由高斯公式得： 而 故第三章 无穷级数一、常数项级数例1 证明级数 是发散的。证明：如果级数 的部分和数列 有极限s，即 则称无穷级数 收敛，这时极限s叫这级数的和，写成： 否则，若无极限，则称发散。 因级数 的前n

24、项和为： 而 故所给级数是发散的。例2 判断级数的收敛性：解： 由于级数的前n项和为 从而有： 故所给级数收敛。二、常数项级数的审敛法 设 和 都是正项级数， （1）如果 且级数 收敛，则级数 收敛。 （2）如果 且级数 发散，级数则 发散。例1 判定级数 的收敛性。解：因 而 发散，故所给级数发散。 设 为正项级数，如果： 则当<1时，级数收敛；>1,级数发散；=1时，级数可能发散，也可能收敛。例2 判断级数的收敛性：解： 因 故所给级数发散。 设 为正项级数，如果 则当<1时，级数收敛；>1,级数发散；=1时，级数可能发散，也可能收敛。例3 判断级数的收敛性 解：

25、因 故所给级数收敛 设 为正项级数，如果 （1） 则级数发散 （2） 则级数收敛例4 判断级数收敛性解：因 故所给级数收敛。三、交错级数及其审敛法如果交错级数 满足条件：（1） （2） 则级数收敛，且其和s<1，其余项rn的小于等于n+1四、绝对收敛与条件收敛 如果级数 各项的绝对值所构成的正项级数 收敛，则称级数 绝对收敛； 若 发散，则级数 条件收敛。例 判断级数的收敛性解： 由于 而 收敛，故级数 也收敛，故级数 收敛。四、幂级数 设幂级数 如果 其中幂级数的收敛半径例1 求幂级数的收敛半径和收敛域；解：由于 故收敛半径 对于端点x=-1,级数成为： 此级数发散， 对于端点x=1，

26、级数成为交错级数： 此级数收敛因此收敛域是（-1,1 把函数展开成为幂级数的步骤如下： （1）求出f(x)的各阶导数：f(x)，f”(x)， ，fn(x) ， （2）求出函数f(x) 及其各阶导数在x=0处的值 （3）写出幂级数 并求出收敛半径R。 （4）利用余项Rn(x)的表达式 （0<<1）,考察当x在区间（-R，R）内时余项的极限是否为零，如果为零，则函数在区间（-R，R）内的幂级数展开式为：福州大学高等数学（下）试题及答案一、单项选择题1设在点处的偏导数存在，则= 。A、 0； B、； C、； D、。2设曲面与平面的交线在点处的切线与轴正向所成的角为，则 。A、； B、；C

27、、； D、。3是级数发散的 。A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。4在区域：上的值为 。A、； B、； C、； D、0。5下列函数中，哪个是微分方程的解 。A、； B、； C、； D、。二、 是非判断题（15分）1=0，其中为圆周按逆时针转一周（ ）2如果，均存在，则沿任何方向的方向导数均存在（ ）3以为面密度的平面薄片的质量可表为。（ ）4在上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且上收敛于。（ ）1 微分方程的通解包含了所有的解。（ ）三、计算题（16分）1 设，其中具有一阶连续偏导数，求，。2 已知，确定的，求。四、（10分）求的值，其中为曲

28、面和平面所围成的区域。五、（12分）验证：在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。六、（10分）求，其中为和所围立体边界的外侧。七、（12分）求微分方程的特解。八、（10分）求的和函数。参考答案一、单项选择题（15分，每题3分）1、 D； 2、C； 3、A； 4、D； 5、B。二、 是非判断题（15分，每题3分）1、×； 2、×； 3、； 4、； 5、×。三、计算题（16分）14分10分21分3分5分6分四、(10分)6分10分五、（12分） 4分在右半平面内恒成立，因此在右半平面内是某个函数的全微分6分8分12分六、（10分）4分8分10分七、（1

29、2分）2分设此方程的特解为：代入原方程得6分故此方程的通解为：10分代入初始条件 特解为：12分八、（10分） 2分从而收敛域为设 8分当时，有10分福州大学工科大学数学（三）试题A（050113）一单项选择（每小题2分，共10分）1下列级数中为条件收敛的是（ ）。（A） （B） （C） （D）2设，则（ ）。 （A） （B） （C） （D）3为函数的（ ）。（A）一级极点 (B)二级极点 (C)可去奇点 (D)本性奇点4积分=( )。（A）0 （B） （C） （D）5方程在内的根的数目为（ ）。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）5二填空（每小题2分，共10分）1函数的极点= 。2留数=。

30、3设在内展开为正弦级数，其和函数为，则= 。4Fourier变换= 。5在内的Laurent展开式是 。三.计算题（每小题10分，共30分）1求幂级数的收敛区间与和函数2设C为的正向，求积分。3计算实积分。 四、计算题（每小题10分，共30分）1求Fourier变换。2求Laplace变换。3设，求的Laplace逆变换。五、（10分）设，为非零的常数，证明：。六、(10分)解积分方程：。大学数学（三）A参考答案（050113）一、单项选择（每小题2分，共10分） 1.A 2.C 3.C 4.B 5.C二、填空（每小题2分，共10分） 1.， 2.， 3.， 4.， 5.， 三、计算题（每小题

31、10，共30分）1.解 , .2.解 , ， ， 3解 ， 四、计算题（每小题8，共24分）1.解 ， ，。2.解 3.解 五、证 六、解 改写积分方程为 令，两边取Laplace变换，得： 福州大学工科大学数学（三）试题A（060114）一单项选择（每小题2分，共10分）1下列级数中为条件收敛的是（ ）。（A） （B） （C） （D）2设，则。 （A） （B） （C） （D）3为函数的（ ）。（A）一级极点 (B)四级极点 (C) 本性奇点 (D)可去奇点4积分=( )。（A） （B） （C） （D）5方程在内的根的数目为（ ）。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4二填空（每小题2分，共

32、10分）1函数的极点= 。2留数=。3设在内展开为余弦级数，其和函数为，则= 。4= 。5实函数在处的Taylor展开式是= 。三.计算题（每小题10分，共30分）1求幂级数的收敛区间与和函数。2设C为的正向，求积分3计算实积分。 四、计算题（每小题9分，共27分）1将分别在与内展开成Laurent级数。2求Fourier变换。3设，求的Laplace逆变换。五、(8分)求Laplace变换。六、（5分）设，利用卷积定理证明：。七、(10分)解微分方程：。大学数学（三）A参考答案（060114）一、单项选择（每小题2分，共10分） 1.B 2.A 3.D 4.A 5.C二、填空（每小题2分，共

33、10分） 1.， 2.0， 3.， 4.， 5.， 三、计算题（每小题10，共30分）1.解 令，则级数化为， . 3解 。四、计算题（每小题9，共27分）1.解 在内，在内，2.解 3.解 五、解 六、证 七、解 令，两边取Laplace变换，得： 福州大学工科大学数学（三）试题A（061216）一单项选择（每小题2分，共10分）1下列级数中为绝对收敛的是( ) 。（A） （B） （C） （D）2设，则( )。（A） （B） （C） （D） 3为函数的（ ）。（A）一级极点 (B)一级零点 (C) 本性奇点 (D)可去奇点4积分=( )。（A） （B） （C） （D）5方程在内的根的数目为（

34、 ）。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二填空（每小题2分，共12分）1设的Fourier级数和函数为，则= 。2函数的极点= 。3留数=。 4设为的正向，则积分 。5对应Laplace变换的卷积 = 。6. Fourier变换= 。三.计算题（每小题8分，共32分）1求幂级数的收敛域。2设C为的正向，求积分。3.计算实积分。4计算留数。四、计算题（每小题8分，共24分）1将分别在与内展开成Laurent级数。2设，求Fourier变换。3求 的Laplace变换。五、(8分) 设，求的Laplace逆变换。六、（8分）设在内连续，解积分方程：。七、(6分)设，证明：级数为条件收敛。大学数

35、学（三）A参考答案（061216）一、单项选择（每小题2分，共10分） 1.D 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空（每小题2分，共12分） 1.， 2.， 3.， 4.， 5.， 6.1三、计算题（每小题8，共32分）1.解 令， 2.解 。3解 ， 。4解 四、计算题（每小题8，共24分）1.解 在内， 在内， 2.解 。3.解 （方法1） (方法2)，。五、解 六、解 改写积分方程为 令，两边取Laplace变换，得：七、证明 且 故级数为收敛。因此级数为条件收敛。福州大学工科高等数学A（下）试题A（080119）一单项选择（每小题2分，共10分）1. 下列级数中为条件收敛的是( )

36、。（A） （B） （C） （D）2. 为函数的（ ）。（A）二级极点 (B)三级极点 (C) 本性奇点 (D)可去奇点3. 积分=( )。（A） （B）1 （C）2 （D）4. 方程在内的根的数目为（ ）。（A）1 （B）2 （C）3 （D）45. 设正项级数和满足：则( )。 (A)当级数 收敛时，也收敛 (B)当级数 发散时，发散 (C)当级数 收敛时，发散 (D)当级数 发散时，发散二填空（每小题2分，共12分）1函数的极点= 。2设的Fourier级数和函数为，则= 。3留数=。 4函数在点的Taylor级数为 。5对应Laplace变换的卷积 = 。6.设的Fourier变换为，则= 。三.计算题（每小题8分，共32分）1设C为的正向，求积分。