第三节 区间估计

1、7.3 区间估计区间估计定义定义7.3.1 设总体设总体X的分布中含有未知参数的分布中含有未知参数 ， nXXX,21是来自是来自X的一个样本，的一个样本，若对给定的若对给定的 ，存在统计量，存在统计量)10( ),(2122nXXX ),(2111nXXX 使得使得 121P则称则称随机区间随机区间 是是 的置信度为的置信度为 的的置信区间置信区间，),(21 1 称为称为置信下限置信下限， 称为称为置信上限置信上限，1 2 称为称为置信度置信度或或置信水平置信水平。 17.3.1 7.3.1 置信区间置信区间7.3.2 7.3.2 正态总体未知参数的置信区间正态总体未知参数的置信区间（1）

2、一个正态总体的情形）一个正态总体的情形2112,( ,)1()nxxXN 设为总体的一个样本。在置信度下，来确定 的置信区间，。1 1、已知已知 2 2= = 0 02 2，求总体均值，求总体均值的置信区间的置信区间(2)构造样本函数0(0,1)/XUNn 是 一个较优的无偏点估计;X(3)对于给定的置信水平1-，查U的/2与1- /2分位点1-/2/22u120u/21/21221/2/2/21/2,1, 22,1uuP UuP UuuuP uUu ，使得1/2|1P Uu (4)解不等式1/2|Uu得置信区间为001/21/2,XuXunn0(0,1)/XUNn例：从某厂生产的一种钢球中随

3、机抽取7个，测得它们的直径(单位：mm)为 5.52, 5.41, 5.18, 5.32, 5.64, 5.22, 5.76若钢球直径服从正态分布N（，0.162)，求这种钢球平均直径的置信度为95%的置信区间。001122:()1P XuXunn 即44.5)76.543.553.5(71:x计计算算样样本本均均值值解解0.97501210.95,0.05,10.975,2:1.96,7,0.16,:uun因为置信度得得又于是有0120120.165.441.965.3270.165.441.965.567xunxun95%:(5.32,5.56)(),:mm于是这种钢球平均直径 的的置信区

4、间为即95.0)56.532.5(P2 2、 2 2未知，求总体均值未知，求总体均值的置信区间的置信区间(2) 构造样本函数 (1)/Xtt nSn 是 一个较优的无偏点估计;X:,2)1(,21)1(,1).3(221故故有有对对于于给给定定置置信信度度nttPnttP/ 21/ 2(1)(1)1P tnttn2(1)tn120(1)tn1-(4)解不等式1/2| |(1)ttn得置信区间为1/21/2(1),(1)SSXtnXtnnn故故由由于于),1() 1(221ntnt,1)1(|(|21nttP (1)/Xtt nSn例例7.3.2：从某厂生产的一种钢球中随机抽取：从某厂生产的一种

5、钢球中随机抽取7个，测得个，测得它们的直径它们的直径(单位：单位：mm)为为 5.52, 5.41, 5.18, 5.32, 5.64, 5.22, 5.76若钢球直径服从正态分若钢球直径服从正态分N（，2)，且且2未知，求未知，求这种钢球平均直径这种钢球平均直径的置信度为的置信度为95%的置信区间。的置信区间。,22.0)(11,44.5:12niixxnsx准准差差计计算算样样本本均均值值和和样样本本标标解解,975.021:,95.01得得因因为为置置信信度度:,45.2)6()1(:,7975.021于于是是得得查查表表又又tntn,64. 5722. 045. 244. 5) 1(,

6、24. 5722. 045. 244. 5) 1(2121nsntxnsntx.)64. 5 ,24. 5(%95,mm为为的的置置信信区区间间的的这这种种钢钢球球平平均均直直径径此此时时3 3、 未知，求总体方差未知，求总体方差 2 2的置信区间的置信区间(2) 构造样本函数2222(1)(1)nSn 是 一个较优的无偏点估计;2S2(3)对于给定的置信水平1-，查2的/2与1- /2分位点22/ 21/ 222/ 2221/ 2(1),(1),(1),2(1)12nnPnPn22(1)n212(1)n222/21/2(1)(1)1Pnn (4)解不等式222/ 21/ 2(1)(1)nn得

7、置信区间为222221/2/2(1)(1)(1)(1)nSnSnn2222(1)(1)nSn227.3.3,7.3.1,95%. 例在例中 若均未知 求总体方差的的置信区间:,4.14)6()1(,24.1)6()1(,7,975.021,025.02,22.02.3.7:2975.02212025.02222于于是是有有查查表表又又知知由由例例解解nnns,02.04.1422.0)17()1()1(22212nsn,23. 024. 122. 0) 17() 1() 1(2222nsn).23. 0 ,02. 0(%952区区间间为为的的置置信信的的置置信信度度为为于于是是总总体体方方差差)1()1()1()1()1()1()1()1(1:222221222222212nSnnSnPnSnnSnP由由注注意意:1区区间间为为的的置置信信的的置置信信度度为为得得到到总总体体标标准准差差)1()1(,)1()1(2222212nSnnSn)21. 7(),20. 7(),19. 7(),18. 7( :熟熟记记区区间间估估计计表表达达式式区区间间估估计计重重点点例例: 设某机床加工的零件长度，),(2NX今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15, 12.12,