第15章_市场风险：模型构建法

1、Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012第 15 章市场风险：模型构建法市场风险：模型构建法1Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20120. 多元正态分布分量线性组合的分布多元正态分布分量线性组合的分布l设随机变量V1, V2 , V3，的联合分布为正态分布 其中： 为它们的期望。 为其协方差矩阵。求： 的概率分布。 2( ,)N123

2、( ,)u u u111213212223313233 1 12233VVVRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121. 模模型构建型构建法基本思路法基本思路l问题的提出：我们需要知道某一资产组合未来一天概率分布情况，从而可以知道损失的分布情况，进而可以计算VaR。l除了历史模拟法之外，另外还有一种计算市场风险的方法，这种方法被称为模型构建法 或方差协方差法。l总思路：对市场变量的 联合分布做出一定的假设，并采用历史数据来估计模型中的参数。进而得到资产未来价值的概

3、率分布，从而可以计算其VaR。3Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.1 单一资产模型单一资产模型l对于单一资产价值 在展望期 的损失可表示成 （1） 其中： 为展望期内的收益率 的波动率。而 ， 是服从某种分布的随机变量。 通常4nVT,:n Tnnn TLVZ : n n T: n n Tv:log()log()nn Tn TnvVV:1n n TnTZRisk Management and Financial Institutions 3e, Chap

4、ter 15, Copyright John C. Hull 20121.1.1微软的例子微软的例子l假定：（1）交易组合只包含价值为1000万美元的微软公司股票 （2）微软公司股票的当前的日波动率2% (对应于年波动率32%)l求交易组合在10天展望期内99%的置信水平下的VaR？5Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.1.1 微微软的例子软的例子（续）（续）解：依题意可知日波动率 ，展望期 。当前价值因此, 交易组合未来10天损失的概率分布可表示成其中假

5、设随机变量 为标准正态分布得到VaR 为 710102%632,456LZZ 6+1=2%n10T 71 10nV Z1632,456(0.99)632,456 2.33$1,473,621NRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.1.2 AT&T 例子例子l接下来我们考虑价值为500万美元的AT&T的股票投资。l假定AT&T股票的波动率为每天1% (对应于年波动率16%)l10天价格变化的标准差为lVaR 为50 000 10144,

6、$158,158114233405,.$368,7Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2 多资产组合模型多资产组合模型l对于多资产组合价值 在展望期 的损失可表示成 （2） 其中： 为展望期内的资产组合价值 的波动率。 (3) 是每个资产收益率的协方差矩阵。 是服从某种分布的随机变量。 8nVT, :n TV nn TLZ , :V n n TV2, :1,2,1,2,()()V nn Tnnk nnnk nV VVV VVZRisk Management

7、 and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2.1 交交易易组合的例子组合的例子例：考虑由价值1 000万美元微软股票及价值为500万美元的AT&T股票的交易组合。其中它们的相关系数为0.3。 求资产组合99%的VaR9Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2.2 交交易组易组合价值的合价值的标准差标准差l由两种股票所组成的交易组合的标准差为l这种情

8、况下 X = 2% ，Y = 1% 以及r = 0.3. 所以，由两种股票所组成的交易组合的标准差为 220,227277626XXYX YXYYr r 10（ 10,5 10）5 1010Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2.3交交易易组合的组合的VaRl交易组合的展望期为10，置信度为 99% VaR 为l风险分散的带来风险值的下降为(1,473,621+368,405)1,622,657=$219,369657,622, 1$33.210220,2

9、27111.3 方差方差-协方差矩阵协方差矩阵 (vari = covii)Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201212112131212232313233123varcovcovcovcovvarcovcovcovcovvarcovcovcovcovvarnnnnnnn 从式（3）可知资产组合波动率计算的关键是计算资产价值的方差-协方差阵1.3.1方差方差-协方差矩阵协方差矩阵 的计算的计算Risk Management and Financial Instit

10、utions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012131.等权重（样本协方差）2.利用EWMA模型。在在2008年年9月方差和相关系数均有月方差和相关系数均有所上升所上升Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201214DJIAFTSECACNikkei等权重1.111.421.401.38EWMA2.193.213.091.59EWMA weightsEqual 1342. 0409. 0113. 0342. 0197

11、1. 0629. 0409. 0971. 01611. 0113. 0629. 0611. 011211. 0201. 0062. 0211. 01918. 0496. 0201. 0918. 01489. 0062. 0496. 0489. 01相关系数波动率 (% 每天)Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4 对对于利率变量的处理于利率变量的处理l久期法: 应用久期公式得出DP 与 Dy 之间的线性关系， 此处只假设利率曲线是平行移动，因此在计算，Va

12、R时只需知道Dy的概率分布情况就可以了.l现金流映射: 变量是10个不同期限零息债券.l主成分分析法: 2 或 3 独立的移动15PDPyD DRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4.1 现现金流金流映射法映射法l我们往往将以下期限的零息债券的价格作为市场的监测变量 (1 月、3月、6月、1年、2年、5年、7年、10年及30年)l将各种债券映射成上述零息债券的线性组合。l假定6个月6.0%的利率及1年7.0% 的利率，在0.8年数量为1 050 000美元

13、的现金流.l6个月0.1%的波动率及1年0.2%的波动率16Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4.2 例子例子l考虑头寸为100万美元的债券，债券期限为0.8年。其中：6个月6.0%的利率及1年7.0% 的利率，在0.8年数量为1 050 000美元的现金流.6个月0.1%的波动率及1年0.2%的波动率 如何将期限为0.8年的债券分解成6个月和一年的零息债券？17Risk Management and Financial Institutions 3e,

14、 Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4.2 例例（1）将6个月6%的利率及1年7% 的利率，进行插值来求得0.8年利率 6.6%$ 1 050 000, 0.8年现金流的贴现值为0.81050000997,6621.067518Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012例例（续）（续）l对6个月0.1%的波动率及1年0.2%的波动率也进行插值来求得0.8年波动率，即0.16%l假定，我们映射到6个月期限的现金流的价值占

15、整体现值的比率为a因此，映射到1年期限现金流的价值占整体现值的比率为 (1- a)19Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012例例（续）（续）l假定6个月期和1年期的债券的相关系数为 0.7l进行方差匹配l求得 a=0.320 337222220.00160.0010.002 (1)2 0.7 0.001 0.002(1)aaaa 20Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyri

16、ght John C. Hull 2012例例（续）（续）因此，0.8年价值为997 662美元的零息债券被价值为的6个月期零息债券及价值为的一年期零息债券的组合代替.这里的现金流映射的优点是现金流的价值及方差都没有改变319589$320337.099766221678074$679663.0997662Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.6 线线性模型性模型我们假定l投资组合每天的价值变化是由市场变量每天收益的线性组合l市场变量的价格变化服从正态分布2

17、2Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.5 线线性模型的应用性模型的应用l股票l债券l汇率远期合约l利率互换23Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.5 线线性模型与期权产品性模型与期权产品假设一个期权的交易组合只依赖于单一股票价格, S. 定义以及SPDDSSxDD24Risk Management and Financ

18、ial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012线性模型与期权线性模型与期权产品（续）产品（续）l我们有以下近似式l类似，当交易组合包含几种不同基础资产的期权时其中 i 是投资组合中第i个资产的 deltaxSSPDDDDDiiiixSP25Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012例例l假定一交易组合是由基础资产微软股票及AT&T 股票的期权所组成，微软期权的delta为1 000，

19、AT&T期权的deltas为20 000，微软股票的价格为 120， AT&T股票的价格为30。l我们 得出以下近似式其中Dx1 和 Dx2分别为微软及AT&T股票的日 收益率21000,2030000, 1120 xxPDDD26Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012但是一个期权的日但是一个期权的日 收益率分布不收益率分布不是一个正态是一个正态线性模型无法获取投资组合价值的概率分布的峰度。27Gamma的影响的影响Risk Manage

20、ment and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201228 正 Gamma负 Gamma具有正态分布的基础资产的概率具有正态分布的基础资产的概率分布与分布与 长头寸期权的概率分布的长头寸期权的概率分布的对应关系对应关系Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201229Long CallAsset Price具有正态分布的基础资产的概率具有正态分布的基础资产的概率分布与分布与

21、期权空头的期权空头的概率分布的对概率分布的对应关系应关系Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201230Short CallAsset PriceRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012二次模型二次模型对于依赖于单一资产价格的投资组合，由泰勒展开我们得出由此得出假设 Dx 服从正态分布，我们可以得出下列矩2)(21SSPDDD22)(21

22、xSxSPDDD6364243424222222875. 15 . 4)(75. 0)(5 . 0)(DDDSSPESSPESPE31二次二次模型（续）模型（续）Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201232l但当 Dxi 是多元正态分布，且n不是很大时，利用该式我们可以估计么 DP 矩。l统计学中Cornish Fisher展开由分布的矩入手，对概率分布的分位数进行估计l然而，当市场变量的个数很大时，这个模型将不再可行Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟我们可以在实施模型构建法时采用蒙特卡罗模拟法l利用当前的市场变量对交易组合进行定价l从Dxi服从的多元正态分布中进行一次抽样l由Dxi的抽样计算出在交易日末的市场变量l利用新产生的市场变量来对交易组合重新定价33Risk Management and Financial Institutions 3e, Ch