第六章 IIR数字滤波器设计2

1、16.1.8 6.1.8 频率变换与高通、带通及频率变换与高通、带通及 带阻滤波器设计带阻滤波器设计 高通、带通及带阻滤波器的幅频特性曲线及边界频率示意图 (a)高通滤波器 (b)带通滤波器 (c)带阻滤波器 2设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是: :通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的归一化低通原型滤波器指标； 设计相应的归一化低通原型系统函数Q(p)； 对Q(p)进行频率变换得到希望设计的滤波器系统函数Hd(s)。 3符号规定符号规定p 希望模拟滤波器的系统函数p 归一化低通滤波器原型p 频率变换公式p 于是( )jppQ( )d

2、sHsj 1( )( )pF ssFp( )( )( )dp F sHsQ p1()( )( )ds FpQ pHs41. 1. 模拟高通滤波器的设计模拟高通滤波器的设计 低通原型到高通滤波器的频率变换 在虚轴上 高通滤波器通带边界频率pphps1pphp 一般取pjsj 1()HPHj112shph1( )G p112sppph5例例6.1.66.1.6 设计巴特沃思模拟高通滤波器,通带边界频率为fp=4kHz，阻带边界频率为fs=1kHz，通带最大衰减为0.1dB（fp处），阻带最小衰减s=40dB。解：高通滤波器指标1）确定相应低通原型滤波器的指标( )( )pphHPpsHsG p41

3、0.140pspsfkHz fkHzdBdB24000421000pphss1p0.140psdBdB62)设计巴特沃斯低通滤波器。 确定阶次N： 可得N 按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 /2040/201010100sA/100.1/101011010.1526204p10.254psk120.15262040.0015262899991kA1lg4.75lgkNNk11/102241.599999(1)scNA 140.140pspsdBdB7 归一化的 5 阶滤波器的系统函数 3）高通滤波器的系统函数54325( )3.23615.23615.23613.23611D pppp

4、pp55423324554321( )(/)3.23615.23615.23613.236110.16225.145413.237421.047420.682910.1622NcccccccG pDppppppppppp5544931321720( )( )5.1152 101.3083 102.0679 102.0202 109.8676 10pphHPpsHsG pssssss8close all;clear;wp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);B,A=butter(N,wc,s);wph=2*pi*4000; %高通模拟滤

5、波器通带边界频率BH,AH=lp2hp(B,A,wph)H,W=freqs(BH,AH);plot(W/2/pi,20*log10(abs(H)grid9BH =1.0000 1.9438e-12 -5.5146e-05 9.5939 4.5607 1.9485e-03AH =1.0000 5.1073e+04 1.3042e+09 2.0584e+13 2.0078e+17 9.7921e+20 nb-1 nb-2 B(s) b(1)s + b(2)s + . + b(nb) H(s) = - = - na-1 na-2 A(s) a(1)s + a(2)s + . + a(na) 1011

6、%直接设计巴特沃思高通滤波器close all;clear;wp=2*pi*4000;ws=2*pi*1000;Rp=0.1;As=40;N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);BH,AH=butter(N,wc,high,s);H,W=freqs(BH,AH);plot(W/2/pi,20*log10(abs(H)grid12BH = 1 0 0 0 0 0AH = 1.0000e+000 5.1073e+004 1.3042e+009 2.0584e+013 2.0078e+017 9.7921e+020 nb-1 nb-2 B(s) b(1)s + b(2)s + . +

7、 b(nb) H(s) = - = - na-1 na-2 A(s) a(1)s + a(2)s + . + a(na) 132.2.低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换: :p 低通原型到带通滤波器的频率变换 在虚轴上p 通带边界频率：上边界频率 下边界频率p 带通滤波器的带宽p 带通滤波器的中心频率220pWspBs 220pWB pjsj plpuWpuplB 0014映射关系映射关系00, ,ppplpupuplssuslssusl 15减少减少 ，或增加，或增加减少减少 ，或增加，或增加带通滤波器的系统函数带通滤波器的系统函数 可以证明： 如给定边界频率不满足该条件，改变参数，提

8、高指标 220( )( )1pWsBPpB spHsG p一般取20plpuslsu plpuslsu plpuslsu plslsupu16例例6.1.76.1.7：设计巴特沃思模拟带通滤波器，通带上下边界频率分别为4kHz和7kHz，阻带上、下边界频率分别为2kHz和9kHz， 通带内最大衰减p=1dB，阻带最小衰减s=20dB。clear;clear;close all;close all;wp=2wp=2* *pipi* *4000,7000;4000,7000;ws=2ws=2* *pipi* *2000,9000;2000,9000;Rp=1;Rp=1;As=20;As=20;N,

9、wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);B,A=butter(N,wc,s);B,A=butter(N,wc,s);H,W=freqs(B,A,1000);H,W=freqs(B,A,1000);plot(W/2/pi,20plot(W/2/pi,20* *log10(abs(H)log10(abs(H)gridgrid173.3.低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率变换: : 阻带边界频率：上边界频率 下边界频率 带阻滤波器的带宽 带阻滤波器的中心频率slsuWsuslB 018 低通原型到带阻滤波器的频率变换在虚轴上 阻带

10、边界频率：上边界频率 下边界频率 带阻滤波器的带宽 带阻滤波器的中心频率220WpB sps220WpB pjsj slsuWsuslB 019减少减少 ，或增加，或增加减少减少 ，或增加，或增加带阻滤波器的系统函数带阻滤波器的系统函数 可以证明： 如给定边界频率不满足该条件，改变参数，提高指标 220( )( )WpB sBSpsHsG p20plpuslsu plpuslsu plpuslsu pususlpl20例例6.1.8：分别分别设计巴特沃思和椭圆模拟带阻滤波器，阻带上下边界频率分别为4kHz和7kHz，通带上、下边界频率分别为2kHz和9kHz，通带内最大衰减p=1dB，阻带最小

11、衰减s=20dB。clear;clear;close all;close all;ws=2ws=2* *pipi* *4000,7000;4000,7000;wp=2wp=2* *pipi* *2000,9000;2000,9000;Rp=1;Rp=1;As=20;As=20;N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);B,A=butter(N,wc,stop,s);B,A=butter(N,wc,stop,s);H,W=freqs(B,A,1000);H,W=freqs(B,A,1000);plot(W/2/pi,20plo

12、t(W/2/pi,20* *log10(abs(H)log10(abs(H)gridgrid21clear;clear;close all;close all;ws=2ws=2* *pipi* *4000,7000;4000,7000;wp=2wp=2* *pipi* *2000,9000;2000,9000;Rp=1;Rp=1;As=20;As=20;N,wc=ellipord(wp,ws,Rp,As,s);N,wc=ellipord(wp,ws,Rp,As,s);B,A=ellip(N,Rp,As,wc,stop,s);B,A=ellip(N,Rp,As,wc,stop,s);H,W=fr

13、eqs(B,A,1000);H,W=freqs(B,A,1000);plot(W/2/pi,20plot(W/2/pi,20* *log10(abs(H)log10(abs(H)gridgrid226.2 IIR6.2 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数 间接法设计过程确定数字滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标设计过渡模拟滤波器将过渡模拟滤波器转换为数字滤波器( )H z( )aHs( )H z23过渡模拟滤波器转换为数字滤波器的要求过渡模拟滤波器转换为数字滤波器的要求 保证因果稳定性， Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即

14、S平面的左半平面 ReS0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|1。 H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆 上。je设计模拟设计模拟Ha(s) 转换成数字转换成数字H(z)246.2.16.2.1脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器 n 基本思想 使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性； 从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 n 方法)()()()(zHznThthsHaaa函数变换得数字滤波器传递取进行采样得：取拉氏逆变换得：得：由模拟滤波器设计理论( )

15、(),( ) ( )ah nhnTH zZT h n25（1 1） 滤波器系统函数滤波器系统函数 （ 单阶极点、分母阶次高于分子阶次单阶极点、分母阶次高于分子阶次 部分分式）部分分式）（2 2）模拟滤波器的单位冲激响应模拟滤波器的单位冲激响应（3 3）采样采样（4 4）Z Z变换变换( )( )aHsHz1()NkakkAHsss1( )( )kNstakkhtA eut11( )()( )()( )kkNNs nTs Tnakkkkh nhnTA eu nAeu n11()1kNks TkAHzez( )aH s( )Hz( )aH s26下面分析脉冲响应不变法的转换性能： s平面到z平面的

16、极点映射关系: ，用脉冲响应不变法将模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z)时，整个s平面到z平面的映射关系为 设 则 所以 = = T T eks Tkz es Tz jj, eszr j(j)je eeeTTTreTr27 其中，式 = = T T 表明： 数字频率与模拟频率之间是线性关系，这是脉冲响应不变法的优点之一。 由式 可知： =0时，r =1，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆； 0时，r0时，r1，s平面的右半平面映射为z平面的单位圆外。eTr28 模拟系统因果稳定，其系统函数Ha(s)的所有极点位于s平面的左半平面，按照上述结论，这些极点全部映射到z平面单位圆内，因此，数字

17、滤波器H(z)也因果稳定。 因为h(n)=ha(nT)，根据时域采样理论得到 代入=T 得到 上面两式说明，数字滤波器频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓函数。 ja12(e)jTkkHHTT ja12(e)jkkHHTT 29 所以，如果模拟滤波器具有带限特性，而且T 满足采样定理，则数字滤波器频率响应完全模仿了模拟滤波器频率响应。这是脉冲响应不变法的最大优点。但是，一般模拟滤波器不是带限的，所以实际上总是存在频谱混叠失真 30 由上图可见，频谱混叠失真会使数字滤波器在=附近的频率响应偏离模拟滤波器频响特性曲线，混叠严重时可使数字滤波器不满足阻带衰减指标。所以，脉冲响应不变法不适合设计高通

18、和带阻滤波器，这是脉冲响应不变法的最大缺点。31 与模拟滤波器频率响应增益相比，数字滤波器的频率响应增益增加了常数因子1/T。所以，数字滤波器的频率响应增益会随采样周期T 变化，特别是T 很小时增益很大，容易造成数字滤波器溢出。 所以，工程实际中采用以下实用公式 这时 使数字滤波器的频率响应增益与模拟滤波器频响增益相同，符合实际应用要求。a( )()h nTh nT11 ( )1ekNks TkT AH zz ja2(e)jkkHHT 增益补偿 ja12(e)jkkHHTT (6.2.12)32例例6.2.16.2.1： 二阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数为 试用脉冲响应不变法将其转换成数字

19、滤波器H(z)，并对不同的采样周期T，观察频谱混叠失真现象。解: : 采用待定系数法将Ha(s)部分分式展开。Ha(s)的极点为 因此 解得 a21( )21Hsss12122 (1j), (1j) 22sss 12a2121( )21AAHsssssss1222j, j22AA 33 按实用公式，即式（6.2.12）得到数字滤波器的系统函数为 式中12112121112( )11e1es Ts TTATAbzH za za zzz2 /222esin2TbTT2 /221222ecos, e2TTaTa 34 当T分别取0.2 s, 0.1 s和0.05 s时，模拟滤波器和数字滤波器的幅频特性曲线如下图所示 模拟频率（Hz） 数字频率（rad） (a) 模拟滤波器频响曲线 (b) 数字滤波器频响曲线 显然，采样周期T越大，频谱混叠失真越严重， 与 差别越大。所以，脉冲响应不