结构的动力计算

1、第第1111章结构的动力计算章结构的动力计算 11111 1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度 一动荷载及其分类一动荷载及其分类 动荷载动荷载是指其大小、方向和作用位置随是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载由于荷载随时间变化较快时间变化的荷载由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。性力的影响是结构动力学的最主要特征。 静荷载只与作用位置有关，而动荷载静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。是坐标和时间的函数。 动荷载按其随时间的变化规律进行分类：动荷载按其随时间的

2、变化规律进行分类： 载其他非确定规律的动荷风荷载地震荷载非确定性其他确定规律的动荷载突加荷载冲击荷载非周期非简谐荷载简谐荷载周期确定性动荷载二二结构动力计算的内容和特点结构动力计算的内容和特点1. 1. 动力计算的主要内容动力计算的主要内容结构响应问题结构响应问题输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）2 2结构动力计算的目的结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据

3、。设计提供依据。 3 3动力反应的特点动力反应的特点 在动荷载作用下，结构的动力反应在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，（动内力、动位移等）都随时间变化，它除与动荷载的变化规律有关外，还与它除与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。尼）有关。 不同的结构，如果它们具有相同的不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为性能确定动荷载下的反应，故称之为

4、结结构的固有动力特性。构的固有动力特性。强迫振动强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振结构在动荷载作用下产生得振动。动。 研究强迫振动，可得到结构的动力研究强迫振动，可得到结构的动力反应。反应。 三自由振动和强迫振动三自由振动和强迫振动自由振动自由振动 结构在没有动荷载作用时，由结构在没有动荷载作用时，由 初速度、初位移所引起的振动。初速度、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数等固有特性。自振频率、振型和阻尼参数等固有特性。 确定体系运动过程中任一时刻全部确定体系运动过程中任一时刻全部质量的位置所需的独立几何参数数目，称质

5、量的位置所需的独立几何参数数目，称为体系的为体系的自由度自由度。 根据自由度的数目，结构可分为单根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。体系。四动力分析中的自由度四动力分析中的自由度1 1自由度的定义自由度的定义 将连续分布的结构质量按一定将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量。从而使结构只在这些点上有质量。从而把一个无限自由度问题简化为有限把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。自由度问题。 2.2.实际结构自由度的简化方法实际结构自由度的简化方法 为

6、分析计算方便，往往将具有无限自为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法为：常用的简化方法为：（1)1)集中质量法集中质量法ms计轴向变形计轴向变形: W=2: W=2不计轴向变形不计轴向变形: W=1: W=1考虑轴向刚性条件，一般情况下不考虑考虑轴向刚性条件，一般情况下不考虑轴向变形轴向变形 不计轴向变形：不计轴向变形： 1yy1y2W=1W=1W=2W=2y321yyW=3W=3W=1W=1结论：结论： 结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与超静定次数无关结构自由度数目与超静

7、定次数无关（2 2）广义坐标法）广义坐标法 假定梁的挠度曲线为假定梁的挠度曲线为 my(x)11)()()(knkkkkkxaxaxy式中式中 )(xkka满足位移边界条件的形状函数满足位移边界条件的形状函数 广义坐标广义坐标 广义坐标的个数为体系的自由度数广义坐标的个数为体系的自由度数（3）有限单元法）有限单元法 综合了集中质量法和广义坐标法的特点。综合了集中质量法和广义坐标法的特点。 将实际结构离散为有限个单元的集合，将实际结构离散为有限个单元的集合，以结点位移作为广义坐标，将无限自由以结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题化为有限自由度问题。度问题化为有限自由度问题。结点位移的数目等于体

8、系的自由度数。结点位移的数目等于体系的自由度数。本章主要讨论集中质量法。本章主要讨论集中质量法。 m11-211-2 单自由度体系的运动方程单自由度体系的运动方程 实际上，工程中很多问题可化成实际上，工程中很多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进行初单自由度体系进行动力分析或进行初步估算。要掌握其动力反应的规律，步估算。要掌握其动力反应的规律，必须首先建立其运动方程。下面介绍必须首先建立其运动方程。下面介绍建立在达朗贝尔原理基础上的建立在达朗贝尔原理基础上的“动力动力平衡法平衡法”。 所谓动力平衡法，就是把由于结构振所谓动力平衡法，就是把由于结构振动引起的惯性力也作为一种静力，然动引起的惯性

9、力也作为一种静力，然后根据静力平衡条件建立运动方程。后根据静力平衡条件建立运动方程。一一.按平衡条件建立运动方程按平衡条件建立运动方程刚度法刚度法 y(t)mFP(t)EILmFP(t)-my(t)-ky(t)(tym )(tky惯性力惯性力 弹性力弹性力 对隔离体列平衡方程对隔离体列平衡方程：)()()(tFtkytymp k k刚度系数刚度系数 33lEIk )()(3)(3tFtylEItymp 1kky(t)y(t)刚度法步骤：刚度法步骤：（1）在质点上沿位移正向加惯性力）在质点上沿位移正向加惯性力;（2）取质点为隔离体并作受力图）取质点为隔离体并作受力图; ;（3）根据达朗伯原理对质

10、量）根据达朗伯原理对质量m列瞬时列瞬时 动力平衡方程，此即体系的运动方程。动力平衡方程，此即体系的运动方程。二二. .按位移法协调建立方程按位移法协调建立方程柔度法柔度法 1 1y(t)LEIFP(t)m-my(t)FP(t)my(t)-my(t)对质量对质量 m m 列位移方程列位移方程：)()()(tymtFtyp )()(1)(tFtytymp EIl33 柔度系数柔度系数 1k)()(3)(3tFtylEItymp 柔度法步骤柔度法步骤： （1 1）在质量上沿位移正方向加惯性力；）在质量上沿位移正方向加惯性力； （2 2）求动荷载和惯性力引起的位移；）求动荷载和惯性力引起的位移； （3

11、 3）令该位移与质量）令该位移与质量 m m 的位移相等，的位移相等， 即得到体系的位移方程（运动方程）。即得到体系的位移方程（运动方程）。 三三. .建立运动方程例题建立运动方程例题 例例1 1 试建立图示刚架试建立图示刚架（a a）的运动方程的运动方程 解：（解：（1 1）刚度法）刚度法 （a a）（b b）EIFP(t)mhEImy(t)F(t)y(t)F1=0 由于横梁刚度无限大，刚架只产生水由于横梁刚度无限大，刚架只产生水平位移。设横梁在某一时刻平位移。设横梁在某一时刻 t t 的水平位移的水平位移为为 y(t), y(t), 向右为正。在柱顶设置附加链杆向右为正。在柱顶设置附加链杆

12、（图（图b b），以），以 y(t) y(t) 作为基本未知量，用位作为基本未知量，用位移法列动平衡方程：移法列动平衡方程：0)(1111pFtyk令令 , 1)(ty 作作 1M图（图图（图c c），求得），求得 31124hEIk12EI/h312EI/h3kk116EI/h26EI/h26EI/h26EI/h2M1图(c) F(t)FF(t)-my(t)F-my(t)(d) 考虑动荷载考虑动荷载 F(t)F(t)和惯性力和惯性力 )(tym 作作 M MP P 图，求得图，求得)()(1tymtFFP （2）柔度法）柔度法 设横梁在任一时刻设横梁在任一时刻 的位移的位移 是由是由动荷载动

13、荷载 和惯性力和惯性力 共同作用产共同作用产生的（图生的（图e），）， t)(ty)(tF)(tym 所以，运动方程为所以，运动方程为：)()(24)(3tFtyhEItym 因此，横梁的位移为因此，横梁的位移为： )()()(tFtymty 作 图（图f）1M-my(t)F(t)y(t)y(t)(e) h/4M1图h/4h/4h/41(f) 求得求得EIh243所以，运动方程为所以，运动方程为)()(24)(3tFtyhEItym 可见，用两种方法求解后运动方程相同。可见，用两种方法求解后运动方程相同。一般来说，对于刚架采用刚度法简单，一般来说，对于刚架采用刚度法简单，对于梁采用柔度法简单。

14、对于梁采用柔度法简单。例例2试建立图（试建立图（a）所示刚架的运动方程）所示刚架的运动方程（不计轴向变形）（不计轴向变形）。 F(t)y(t)mlEIEI4l(a) F(t)my(t)-my(t)(b)解：解： 用柔度法求解用柔度法求解 图示结构质量图示结构质量 m只产生水平位移只产生水平位移。 设质量设质量 m 在任一在任一时时刻刻t的水平位移为的水平位移为 ，)(ty它是由动荷载它是由动荷载 )(tFll1M1图(c) )()()(tFtymty 质量质量m的位移为的位移为 和惯性力和惯性力)(tym 作用产生的，作用产生的，共同共同向右为正。向右为正。作作 图，图， 1M求得求得 EIl

15、353所以，运动方程成为所以，运动方程成为 )()(53)(3tFtylEItym 例例3试建立图（试建立图（a）所示刚架的运动方程）所示刚架的运动方程 （不计轴向变形）（不计轴向变形）。 解：解： 仍用柔度法求解仍用柔度法求解lEIEImy(t)2l2lF(t)(a)-my(t)my(t)F(t)（b）分析同例分析同例2，质量，质量m的位移为的位移为 )()()(1211tFtymty 作作 图、图、 图图1M2M求得求得 1ll11M1图(c ) l121M2图(d) EIl35311EIl312所以，运动方程为所以，运动方程为)()(35)(33tFEIltymEIlty 由此可见，动力

16、平衡法建立单自由由此可见，动力平衡法建立单自由度体系的运动方程通常是以质量的静平衡度体系的运动方程通常是以质量的静平衡位置作为计算动位移的起点，采用刚度法位置作为计算动位移的起点，采用刚度法还是柔度法要视具体问题，是求刚度系数还是柔度法要视具体问题，是求刚度系数方便，还是求柔度系数方便来定。对同一方便，还是求柔度系数方便来定。对同一体系，两种方程都是一样的，对于单自由体系，两种方程都是一样的，对于单自由度体系度体系： 。 1k11-311-3 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 （不计阻尼（不计阻尼） 自由振动由初位移或初速度引起的，自由振动由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作

17、用的振动。在运动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的确定结构的动力分析自由振动的目的确定结构的动力特性，自振频率，自振周期。特性，自振频率，自振周期。 一一. .自由振动运动方程自由振动运动方程 单自由度体系的自由单自由度体系的自由振动及相应的弹簧振动及相应的弹簧质量模型如图示。以质量模型如图示。以静平衡位置为坐标原静平衡位置为坐标原点，在点，在 t t 时刻，质量时刻，质量 m m 的位移为的位移为 y(t)y(t)。EILm-my(t)y(t) 取质量取质量 m m 为隔离体，作用在隔离体上的力：为隔离体，作用在隔离体上的力： 弹性力弹性力 ky(t)ky(t)与位移方向相反；与位移

18、方向相反； 惯性力惯性力 )(tym 与加速度与加速度 y 方向相反。方向相反。 动平衡方程：动平衡方程： 0)()(tkytym 刚度法建立平衡方程：刚度法建立平衡方程：（11111 1）ky(t)mky(t)my(t)m柔度法建立位移方程：柔度法建立位移方程：质量质量 m m 在在 t t 时刻的位移时刻的位移y(t)y(t)是由此时作是由此时作用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：)()(tymty 整理，整理， 0)(1)(tytym (a) 单自由度体系：单自由度体系： 1k (b) 式（式（11111 1）或（）或（a a）称为无阻尼单自由）称

19、为无阻尼单自由度体系自由振动运动方程（微分方程）度体系自由振动运动方程（微分方程）二二. .自由振动运动方程的解自由振动运动方程的解 无阻尼单自由度体系自由振动微分方程写为：无阻尼单自由度体系自由振动微分方程写为： 02yy （13132 2）式中式中 mmk12其通解为其通解为 tCtCty cossin)(21当初始条件当初始条件 0)0(yy0)0(vy此方程为二阶齐次线性常微分方程此方程为二阶齐次线性常微分方程1C2C 0v0y式（式（11113 3）还可写成）还可写成)sin()( tAty（13134 4）式中式中： 22020 vyA001tanvy （13135 5） 不计阻尼

20、时，单自由度体系的自由振不计阻尼时，单自由度体系的自由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。动是由初位移和初速度引起的简谐振动。 tytvty cossin)(00方程的解：方程的解： （13133 3）三三. .结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率 )2()2(sin)2sin()sin()( tytAtAtAty由式（由式（11114 4）y(t)y(t)是周期函数是周期函数 2TT 2自振周期（固有周期）自振周期（固有周期）自振频率（自振频率（固有固有频率）频率） 1. 1. 结构自振周期结构自振周期 和自振频率和自振频率 的各种等的各种等 价计算公式价计算公式 ggWmkm

21、Tst 2222stgWgmmk 1 理解这些公式各符号的含义，由其中理解这些公式各符号的含义，由其中一个公式便可得到其他公式。一个公式便可得到其他公式。T 2. 2. 结构自振频率结构自振频率（或自振周期（或自振周期T T）的性质）的性质 自振频率只与结构的质量和刚度有自振频率只与结构的质量和刚度有关，与外部干扰因素无关，它是结构本关，与外部干扰因素无关，它是结构本身固有的特性；改变结构的质量或刚度身固有的特性；改变结构的质量或刚度可改变其固有频率，不管实际结构如何，可改变其固有频率，不管实际结构如何，在同样的干扰力下，固有频率相同的结在同样的干扰力下，固有频率相同的结构的动力反应相同构的动

22、力反应相同 3. 3. 简谐自由振动的特性简谐自由振动的特性 my(t)AmA2位移位移 )sin()( tAty加速度加速度 )sin()(2 tAty 惯性力惯性力 )sin()()(2 tmAtymtI 位移与惯性力作同频同步振动。位移与惯性力作同频同步振动。 4. 4. 算例算例 例例1 1 求图示体系的自振频率和自振周期。求图示体系的自振频率和自振周期。 mmEIEIEILL解解1LLM1图 图示结构体系虽有两个质量，但它们图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运动，故仍为沿同一直线（水平方向）运动，故仍为单自由度体系。如图（单自由度体系。如图（b b）示，作）示，作

23、 图图 1M柔度系数柔度系数 EIl323自振频率自振频率 334332211mlEIEIlmm 自振周期自振周期 EImlT34223 例例2图示排架的横梁为刚性杆，质量为图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计柱质量不计, ,求其自振频率。求其自振频率。 mhEIEIk13EI/h23EI/h2M1图k13EI/h33EI/h3解解 不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作作 图，求出图，求出1M36hEIk 自振频率自振频率 36mhEImk 刚度系数刚度系数单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）（不计阻尼） 11114 4强迫振动

24、强迫振动结构在动荷载作用下的振动结构在动荷载作用下的振动 单自由度体系在动荷载下的振动单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示及相应的振动模型如图示: : 弹性力弹性力ky惯性力惯性力 my 平衡方程平衡方程 ( )( )( )pmy tky tFtFp(t)my(t)EIl不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：常见的几种动荷载作用下体系的动力反应： 或或 2( )( )( )PFty ty tm（116） 式中式中 结构的自振频率结构的自振频率 式（式（116)为单自由度体系强迫振动方程为单自由度体系强迫振

25、动方程 y(t)ymFP(t)kymyFP(t)mk仅考虑简谐荷载仅考虑简谐荷载 ( )sinPFtFt荷载幅值荷载幅值 F荷载的圆频率荷载的圆频率 1. 运动方程及其解运动方程及其解 2( )( )sinFy ty ttm二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程 通解：通解： ( )( )*( )y ty tyt 齐次解：齐次解： 12( )cossiny tCtCt设特解：设特解： *( )sinytAt运动方程的通解为：运动方程的通解为： 1222( )cossinsin()Fy tCtCttm由初始条件确定由初始条件确定 后，运动方程的解后，运动方程的解 12,CC特解为特解为

26、*22( )sin()Fyttm代入方程，求得代入方程，求得22()FAm002222cossinsinsin|y(t)yttFFttm () m ()（137）式（式（13-7）中前两项为初始条件引起的）中前两项为初始条件引起的自由振动自由振动;第三项为荷载（干扰力）引第三项为荷载（干扰力）引起的自由振动，称为起的自由振动，称为伴生自由振动伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。自由振动消失前部分都很快衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为的振动阶段称为过渡阶段过渡阶段。 22sinFy(t)tm( )第四项为按荷载频率第四项为按荷载频率

27、进行的振动，此项不进行的振动，此项不随时间而改变。当前三项由于阻尼的作用随随时间而改变。当前三项由于阻尼的作用随时间减小到可忽略时，此时的振动仅剩余第时间减小到可忽略时，此时的振动仅剩余第四项，此阶段为振动的四项，此阶段为振动的平稳阶段平稳阶段，称为，称为纯受纯受迫振动迫振动或或稳态振动稳态振动。 2稳态振动分析稳态振动分析 （1）稳态振动解）稳态振动解222sin| 1|Ftm()sinAt令令2stFFyFkm221|1|Fmyst1msty荷载幅值作为静荷载作用时结构产荷载幅值作为静荷载作用时结构产生的静位移生的静位移 最大最大动动位移位移max221 ( )|1|sty tymax (

28、 )sty ty令令（138）动力放大系数动力放大系数最大动位移（振幅）最大动位移（振幅）max ( )sty tAy（119）最大动位移最大动位移 与静位移之比与静位移之比max ( )y t动力系数动力系数 是频率比是频率比 的函数的函数 （2）动位移的讨论）动位移的讨论它反映了干扰力它反映了干扰力 对结构的动力作用。对结构的动力作用。 22113211230共振区 （a） 时，时， 干扰力产生的动力作用不明显，干扰力产生的动力作用不明显， 因此可当作静荷载处理；因此可当作静荷载处理； 极限情况，即极限情况，即 或或 ， 则则 。意味着结构为刚体或。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此

29、不存在荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。振动问题。01 01当当 时，时， 为增函数。为增函数。 01（b）当）当 时，时， ，共振，共振 为避开共振，可改变干扰力频率为避开共振，可改变干扰力频率 或改变结构的自振频率或改变结构的自振频率 使使 或或 。 1 1.250.75（c）当）当 时，时， 为减函数为减函数且，且， ， 体系处于静止状态。体系处于静止状态。0max0y（3）降低振幅的措施）降低振幅的措施 频率比，频率比，2km01应使频率比减小，增加结应使频率比减小，增加结构的自振频率，增大刚度，构的自振频率，增大刚度，减小质量；减小质量；1应使频率比增大，减小结应使频率比增大，减

30、小结构的自振频率，减小刚度，构的自振频率，减小刚度，增大质量。增大质量。 3. 动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算 计算步骤计算步骤 （1）计算动力系数；）计算动力系数；（2）计算动荷载幅值作为）计算动荷载幅值作为 静荷载作用时引起的静荷载作用时引起的 静位移和静内力；静位移和静内力； （3）将静位移和静内力分别）将静位移和静内力分别 乘以动力系数得乘以动力系数得 动位移动位移 幅值和动内力幅值。幅值和动内力幅值。 Fp(t)my(t)EIl例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩. 已知已知4lm547.48 10Im210E

31、GPa35GkN10FkN500minrn FsintG1/21/2一简支梁，惯性矩为一简支梁，惯性矩为I，弹性模量为，弹性模量为E。在跨度中点有电动机重量。在跨度中点有电动机重量G，转速，转速n。由于具有偏心，转动时产生离心力。由于具有偏心，转动时产生离心力P，P的竖向分量为的竖向分量为Psint。忽略梁。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力放大系数和跨中最大挠度和跨中最大弯矩的质量，试求强迫振动的动力放大系数和跨中最大挠度和跨中最大弯矩 解解 (1) 计算动力系数计算动力系数梁的自振频率：梁的自振频率： 388.488 1048lmNEI14 .571smmk荷载频率荷载频率 1252.360

32、ns动力系数动力系数 2215.8811111l/4M 图 (2) 动荷载幅值作为静荷载动荷载幅值作为静荷载 作用时的位移和内力作用时的位移和内力 48.488 10styFm104stFlMkNmFyst(3) 动位移振幅和动弯矩幅值动位移振幅和动弯矩幅值 动位移动位移振幅 34.99 10stAym 动弯矩幅值动弯矩幅值 58.84dstFlMMkN m(4) 最大位移和最大弯矩最大位移和最大弯矩 简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点 跨中重量跨中重量G产生的静位移产生的静位移 32.9710GyGm跨中的最大位移跨中的最大位移 1354GMGlkN

33、 m跨中重量跨中重量G产生的静弯矩产生的静弯矩 3max7.9610GyyAm跨中的最大弯矩跨中的最大弯矩 max93.8GdMMMkN m11115 5阻尼阻尼：体系在振动过程中使其能量耗散的：体系在振动过程中使其能量耗散的 各种因素的统称。各种因素的统称。 产生阻尼的原因：结构变形中材料的内摩产生阻尼的原因：结构变形中材料的内摩擦，支撑及结点等构件联结处摩擦及周围擦，支撑及结点等构件联结处摩擦及周围介质阻力等。介质阻力等。 阻尼力阻尼力：在振动分析中用于替代阻尼作用：在振动分析中用于替代阻尼作用的阻碍振动的力。的阻碍振动的力。 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响 y(t)ycmFP(t)ky

34、(t)cy(t)my(t)k(a)(b)采用阻尼模型：粘滞阻尼力采用阻尼模型：粘滞阻尼力假定阻假定阻尼力的大小与体系振动时的速度成正比，尼力的大小与体系振动时的速度成正比，与速度方向相反，用与速度方向相反，用 表示。表示。 阻尼常数。阻尼常数。 )(tycc具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图（a）示。）示。 弹性力弹性力 )(tky阻尼力阻尼力 )(tyc惯性力惯性力 )(tym 质量质量 m 的动平衡方程为的动平衡方程为： )()()()(tFtkytyctymP （111414） 一一. .有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 自由振动方程自由振动方程 0

35、)()()(tkytyctym （131515） 令令 阻尼比阻尼比 mc2 则则 0)()(2)(2tytyty （1316） 设设 解为解为 tAety )(特征方程特征方程 0222 21i（111717） 特征根特征根1. 1. 三种运动形态三种运动形态 (1). (小阻尼情况小阻尼情况) 1 21 r 有阻尼频率有阻尼频率 （111919） 方程（方程（111616）的解）的解 )sincos()(21tCtCetyrrt （112020） 由初始条件由初始条件 0)0(yy 0)0(v y 式中 ryvC002或方程的解写为或方程的解写为 )sin()( tAetyrt（1320）

36、 01yC 振幅振幅 220020)(ryvyA 0001tanyvyr 小阻尼情况下的自由振动是按指数规律衰小阻尼情况下的自由振动是按指数规律衰减的简谐运动。减的简谐运动。 相位角相位角（1322）（1321）方程（方程（1116）解）解 tetCCty )()(21 不振动不振动 （3） （超阻尼情况）（超阻尼情况） 1 不振动不振动 （2） （临界阻尼情况）（临界阻尼情况） 1 mCr2 临界阻尼系数临界阻尼系数 （1123）（1124）2212( )(1)(1) )ty teC shtC cht 2.2.小阻尼时自由振动分析小阻尼时自由振动分析 振动方程振动方程 )sin()( tAe

37、tyrt频率频率 21 r周期周期 rrT 2 (1)(1)小阻尼的自由振动是一个衰减振动；小阻尼的自由振动是一个衰减振动； ytyKyK+1Ae-ttKtK+1Tr(2)(2)在在 时，阻尼对自振频率的影响时，阻尼对自振频率的影响可忽略；可忽略； 2 . 0 rTTr 钢筋混凝土结构：钢筋混凝土结构： 05. 0 钢结构：钢结构： 02. 0 左右左右 (3)(3)阻尼比的确定阻尼比的确定 rrkkTTttkkeAeAeyy )(1 22ln1 rrkkTyy振幅对数衰减率振幅对数衰减率1ln21 kkyy 还可表示为还可表示为 1ln2kk nyny（1125）阻尼比阻尼比（1126）（1

38、127）利用上式，通过实验可确定体系的阻尼比。利用上式，通过实验可确定体系的阻尼比。 例：例： 对图示刚架作自由振动实验。设刚架对图示刚架作自由振动实验。设刚架的质量的质量 m m 均集中在横梁处，横梁均集中在横梁处，横梁 。在刚架横梁处加一水平力在刚架横梁处加一水平力 ，测，测得侧移得侧移 。然后突然卸载，刚架。然后突然卸载，刚架产生自由振动，测得周期产生自由振动，测得周期 ，及一，及一个周期后刚架的侧移为个周期后刚架的侧移为 。求刚架。求刚架的阻尼比的阻尼比 和阻尼系数和阻尼系数 。 EIKNFP8 . 9 cmy5 . 00 sTr5 . 1 cmy4 . 01 C解解阻尼比阻尼比 01

39、110.5lnln0.0355220.4yy1224.189sTTr402196 10/111695pFkN mykmkg阻尼系数阻尼系数 msNmC332202二有阻尼的强迫振动二有阻尼的强迫振动 式（式（11111414）有阻尼强迫振动方程中，）有阻尼强迫振动方程中， 不同，结构的动力反应不同。不同，结构的动力反应不同。 ( )pF t仅考虑简谐荷载仅考虑简谐荷载 ( )sinpF tFt运动方程及其解运动方程及其解 .( )( )( )sinm y tc y tk y tFt.2( )2( )( )sinFy ty ty ttm或或（11112828） _( )( )( )y ty ty

40、t通解通解齐次解齐次解_12( )(cossin)trry tectct（1 1）（11112929） 22222222222222( )sincos()42()4ytAtBtFAmFBm 设设 特解特解运动方程的全解：运动方程的全解：12( )(cossin)sincostrry tectctAtBt式中式中 由初始条件确定。由于阻尼的由初始条件确定。由于阻尼的作用，含有作用，含有 的第一部分的振动将逐渐的第一部分的振动将逐渐12,c cte（11113030）（11113131）（11113232）（11113333）(2)(2)稳态振动分析稳态振动分析稳态振动方程可写为稳态振动方程可写为

41、( )sin()py tyt振幅振幅222222222222211(1)4(1)4pstFyym（11113535） 1222 ()tan1衰减消失；与动荷载频率衰减消失；与动荷载频率 相同的第二部分相同的第二部分振动不衰减，称为稳态振动（纯受迫振动）。振动不衰减，称为稳态振动（纯受迫振动）。 （11113434）相位角相位角当当 时，时，动力系数动力系数2222221(1)4pstyy（11113636） 阻尼对振幅的影响：阻尼对振幅的影响： pstyy 随随 增大而减小；增大而减小； 当当 时，时， 10当当 时，共振，时，共振，(1)11|2，；与频率比与频率比 动力系数动力系数和阻尼和

42、阻尼有关有关。阻尼在共振区阻尼在共振区内影响显著，内影响显著，不能忽略；在不能忽略；在共振区外，为共振区外，为简化，偏安全简化，偏安全考虑可不计阻考虑可不计阻尼的影响。尼的影响。 (0.751.25) 并不发生在并不发生在 处。处。max1max2121max12通常情况下，通常情况下，很小，很小，（11113737）11-6 11-6 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动 工程中，很多实际结构可简化为单工程中，很多实际结构可简化为单自由度体系进行计算，但要进行更加精自由度体系进行计算，但要进行更加精确地分析，以及对于绝大多数实际结构确地分析，以及对于绝大多数实际结构必须作为多自由度体

43、系进行计算。必须作为多自由度体系进行计算。 多自由度体系自由振动分析的目的多自由度体系自由振动分析的目的是确定体系的动力特性是确定体系的动力特性自振频率和自振频率和振型。振型。 多自由度体系自由振动的求解方法：多自由度体系自由振动的求解方法：刚度法，柔度法。刚度法，柔度法。 一一. . 刚度法刚度法1.1. 两个自由度体系两个自由度体系（1 1）自由振动微分方程）自由振动微分方程惯性力惯性力 ，11111222211222,rk yk yrk yk y （11-4111-41） 弹性力弹性力（2 2）频率方程和自振频率）频率方程和自振频率 设方程的特解：设方程的特解： 1122( )sin()

44、( )sin()y tYty tYt即两质量作简谐振动即两质量作简谐振动代入方程（代入方程（11-4111-41），得位移幅值方程），得位移幅值方程 两质量的动平衡方程两质量的动平衡方程11ym 22ym 002221212221211111ykykymykykym 21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y （11-4211-42） 频率方程频率方程 211112221222()0()kmkDkkm解频率方程得解频率方程得 两个根：两个根： ，规定，规定212, 1212第一频率或基本频率，第一频率或基本频率， 第二频率第二频率 （11-4311-43） （3

45、 3）主振型）主振型 将将 代入式（代入式（11-4211-42），得），得 111122211111 YkYkm质点质点 的振动方程为的振动方程为 12,m m11112211( )sin()( )sin()y tYty tYt （11-4411-44） 体系按体系按 振动有如下特点：振动有如下特点： 1两质量同频同步两质量同频同步任意时刻，两质量的位移比值，速度比任意时刻，两质量的位移比值，速度比值保持不变且相等值保持不变且相等 11111112211121( )sin()( )sin()y tYtYy tYtY 这说明体系的变形形式不变，此振动这说明体系的变形形式不变，此振动形式称为形式

46、称为主振型主振型，简称，简称振型振型。 为与为与 相对应的振型，称为第一振型相对应的振型，称为第一振型1121YY1或基本振型。或基本振型。 2111111211111121)cos()cos()()(YYtYtYtyty定义：定义：体系上所有质量按相同频率作自由体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称体系的主振型。振动时的振动形状称体系的主振型。 按第一振型自由振动的条件按第一振型自由振动的条件 111111221212(0)(0),(0)(0)yYyYyYYy振型与频率一样是体系本身固有的属性，振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素无关。与外界因素无关。 同理，将同理，将

47、代入式（代入式（11-4211-42），得到），得到 212122221121 YkYkm （11-4511-45） 即第二振型即第二振型 图示两个振型图示两个振型 第一主振型第一主振型12第二主振型第二主振型 2 2n n个自由度体系个自由度体系自由振动微分方程组：自由振动微分方程组： 其矩阵表达式：其矩阵表达式： （11-4711-47） （11-4611-46） 0yKyM 000nnn22n11nnnn2n22211222nn121211111ykykykymykykykymykykykym 22()00KMYKM频率方程频率方程 （11-4811-48） 解频率方程，得解频率方程，得

48、 的的n n个根：个根：且，且， ，从小到大得排列，依，从小到大得排列，依次称为第一频率（或基本频率）、第二频次称为第一频率（或基本频率）、第二频率率 。222212,n12 n 将自振频率代入将自振频率代入 得出得出 对应的主振型向量对应的主振型向量 。这这 n n 个主振型线性无关。个主振型线性无关。 2( )() 0iiKMYi( ) (1,2, )iYin惯性力惯性力 ， 作用下产生的静位作用下产生的静位移。移。二二. .柔度法柔度法1.1. 两个自由度体系两个自由度体系（1 1）自由振动微分方程）自由振动微分方程 质量质量 在任意时刻的位移在任意时刻的位移 为此时为此时12,m m12( ),( )y ty t11ym 11ym 11ym 11ym 11ym 22ym （11-4911-49） （2 2）频率方程和频率）频率方程和频率111112222211 1222221()01()0mYm YmYmY （11-5011-50） 方程的特解同刚度法；设两质量作简谐振动，方程的特解同刚度法；设两质量作简谐振动，代入方程（代入方程（11-4911-49），整理得位移幅值方程），整理得位移幅值方程0 02 222222111