2018年中考选择填空压轴题专题6：四边形的综合问题

1、专题 06 四边形的综合问题例 1.如图， APB 中，AB= 2 2，/ APB= 90，在 AB 的同侧作正 ABD、正 APE 和厶 BPC，则四边形 PCDE 面积的最大值是 _ .同类题型 1.1 如图， APB 中，AP= 4, BP= 3，在 AB 的同侧作正 ABD、正 APE 和正 BPC，则四边形 PCDE 面积的最大值是_ .同类题型 1.2 如图，在口ABCD 中，分别以 AB、AD 为边向外作等边厶 ABE、 ADF，延长 CB 交 AE 于点G,点 G 在点 A、E 之间，连接 CE、CF , EF，则以下四个结论一定正确的是（）1厶 CDFEBC;/ CDF =Z

2、EAF :厶 ECF 是等边三角形； CG 丄 AE.同类题型 1.3 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 CD 上的一点，且 BC = EC , CF 丄 BE 交 AB于点 F ,P 是 EB 延长线上一点，下列结论：BE 平分/ CBF ，CF 平分/ DCB :BC = FB :PF = PC.其中正确的有_ .（填序号）C 只有D.B只有C同类题型 1.4 如图，在口 ABCD 中，/ DAB 的平分线交 CD 于点 E,交 BC 的延长线于点 G,/ ABC 的平分线交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 H , AG 与 BH 交于点 0,连接 BE，下列结论

3、错误的是（）A . B0 = OHB . DF = CEC . DH = CGD. AB = AE例 2图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝AB 62隙）.图乙中 BC= 7，EF = 4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm ，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 _ .同类题型 2.1 如图，在菱形 ABCD 中，AB = 4cm,/ ADC = 120。，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别 沿 AB、CB方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s,点 F 的速度为 2cm/s，

4、经过 t 秒厶DEF 为等边三角形，则 t 的值为甲同类题型22如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，/ A= 60 , M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点,将厶 AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 A MN，连接 A C,贝 U A C 长度的最小值是 _ .同类题型 2.3 如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10,/ A= 60.顺次连接菱形 ABCD 各边中点，可得四边形 AIBICIDI;顺次连接四边形 AiBiCiDi各边中点，可得四边形 A2B2C2D2;顺次连接四边形 A2B2C2D2各边中点，可得 四边形 A3B3C3D3;按此规律继续下去，则四边形 A2

5、017B2017C2017D2017的周长是例 3.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，EF 丄 EC 交 AD 于点 F，连接 CF (AD AE),下列结中正确的结论是 _.(填写所有正确结论的序号)同类题型 3.1 如图，在矩形 ABCD 中，AD =2 AB, / BAD 的平分线交 BC 于点 E, DH 丄 AE 于点 H ,连接 BH 并延长交 CD 于点 F，连接 DE 交 BF 于点 O,下列结论： AED = / CED : AB = HF， BH = HF ; BC-论：/ AEF = / BCE; SACEF= SAEAF+ SACBE;AF + BC

6、 CF ;若 CC,则厶 CEF 也厶 CDF .其CCF = 2HE ; OE = OD ;其中正确结论的序号是同类题型 3.2 如图，在矩形 ABCD 中，BC = 2 AB ,/ ADC 的平分线交边 BC 于点 E, AH 丄 DE 于点 H , 连接 CH 并延长交 AB 边于点 F，连接 AE 交 CF 于点 0,给出下列命题：1AD = DEDH = 2 2 EH厶 AEHCFB HO = ?AE其中正确命题的序号是_ (填上所有正确命题的序号)同类题型 3.3 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AE 丄 BD，垂足为 F,则 tan/ BDE 的值是()4

7、例 4 .已知：如图，在正方形 ABCD 外取一点 E,连接 AE, BE , DE .过点 A 作 AE 的垂线 AP 交 DE 于点CP.若 AE= AP= 1, PB= 6，下列结论:厶APDAEB ;点 B 到直线 AE 的距离为2:EB 丄 ED ;SAPD+SAPB=1+% S正方形ABCD=4+6.同类题型 4.1 如图，正方形 ABCD 的边长为 2,将长为 2 的线段 QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同 时滑动.如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按 ATBCTDTA 滑动到 A 止，同时点 R 从点 B 出发，沿图中所示方向按 BTCTDTATB 滑动到 B 止点

8、 N 是正方形 ABCD 内任一点，把 N 点落在线段 QR 的 中点 M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P，贝 U P=()同类题型 4.2 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，AE 平分/ DAC，AE 交 CD 于点 F，CE 丄 AE，垂足为点E，EG 丄 CD，垂足为点 G，点 H 在边 BC 上, BH = DF，连接 AH、FH，FH 与 AC 交于点 M，以下结论：12FH = 2BH :AC 丄 FH :SACF= 1 :CE = ? AF;EG = FG DG，其中正确结论的个数为 ()D. 5D.n14其中正确结论的序号是DC同类题型 4.3 如图，边长为 1

9、的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0.有直角/ MPN，使直角顶点P 与点 0 重合，直角边 PM、PN 分别与 OA、0B 重合，然后逆时针旋转/ MPN，旋转角为0( 0 0 AE),下列结 论：/ AEFABCD 各边中点,=ZBCE :SACEF=SAF+SACBE;AF + BC CF ;若器=冷3，则 CEFCDF .其中正确的结论是 _ .（填写所有正确结论的序号）解：延长 CB，FE 交于点 G,/AEF+ ZBEC=90,/BEC+ZBCE=90,/AEF = / BCE，正确；在厶 AEF 和厶 BEG 中，/FAE=/GBE=901AE=BE,/AEF=

10、 /BEGAEFBABEG(ASA), AF=BG,EF=EG,/ CE 丄 EG ,-SACEG=SACEF,CG=CF,SACEF=SAEAF+SACBE，正确； AF + BC = BG+ BC= CG = CF，错误；.BC=k3CD=2，/BCE=30, /FCE= /FCD=30,在厶 CEF 和厶 CDF 中，/D=/FEC=90/DCF=/ECFCF=CF CEFCDF (AAS),正确.同类题型 3.1 如图，在矩形 ABCD 中，AD =2 AB,/ BAD 的平分线交 BC 于点 E, DH 丄 AE 于点 H ,连接 BH 并延长交 CD 于点 F，连接 DE 交 BF

11、 于点 0,下列结论：AED = / CED : AB = HF， BH = HF ; BC- CF = 2HE ; 0E = 0D ;其中正确结论的序号是 _.解：在矩形 ABCD 中，AE 平分/ BAD ,/ BAE = / DAE = 45, ABE 是等腰直角三角形， AE= 2 AB,/ AD= 2 AB, AE = AD ,/ BAE =/ DAE在厶 ABE 和厶 AHD 中， / ABE =/ AHD = 90,AE = AD ABEAHD (AAS), BE = DH , AB = BE = AH = HD ,1 / ADE = / AED =2(180 - 45)= 67

12、.5 , / CED = 180 - 45- 67.5= 67.5, / AED = / CED，故正确；1/ AHB=2(180- 45 )= 67.5,/ OHE = / AHB (对顶角相等)， 0E= OH ,/DOH = 90 67.5 = 22.5。，/ ODH = 67.5 - 45= 22.5 ,/DOH=ZODH, OH = OD ,OE= OD = OH，故正确；/EBH = 90 67.5= 22.5,/EBH= ZOHD,又 BE=DH，/AEB= ZHDF=45f/ EBH=ZOHD 在 BEH 和 HDF 中 BE = DH1/AEB =/ HDF BEHHDF (

13、ASA), BH = HF , HE = DF，故正确；由上述、可得 CD = BE、DF = EH = CE, CF = CD DF , BC CF =( CD + HE) ( CD HE)= 2HE，所以正确；/ AB = AH , / BAE = 45 , ABH 不是等边三角形， AB 工 BH ,即 AB丰HF，故错误；综上所述，结论正确的是.同类题型 3.2 如图，在矩形 ABCD 中，BC =；2AB，/ ADC 的平分线交边 BC 于点 E, AH 丄 DE 于点 H ,连接 CH 并延长交 AB 边于点 F，连接 AE 交 CF 于点 O,给出下列命题：AD = DEDH =

14、 2 .2 EH厶 AEHCFB HO = ?AE其中正确命题的序号是_ (填上所有正确命题的序号)/ DE 平分/ ADC,/ADE= ZCDE=45,/ AD 丄 DE , ADH 是等腰直角三角形， AD =2 AB,AH = AB = CD ,DEC 是等腰直角三角形， DE=2 CD, AD = DE , / AED = 67.5 , / AEB = 180 45 67.5 = 67.5/AED= ZAEB,/ AD / BC,/DAE= ZAEB,/DAE= ZAED, AD = DE ,故正确；设 DH = 1,则 AH = DH = 1, AD = DE = 2 , HE =2

15、 , 2 2HE = 2 2 工 1,4故错误;/AEH=67.5 ,/EAH=22.5 ,/DH=CD，/EDC=45,/DHC=67.5 ,/OHA=22.5 ,/OAH= ZOHA, OA=OH,/AEH= ZOHE=67.5 , OH=OE,“ 1-OH=2AE,故正确；/AH=DH,CD=CE,在厶 AFH 与厶 CHE 中，/AHF=ZHCE=22.5/FAH= ZHEC=45,AH=CEAFHCHE,/AHF= ZHCE,/AO=OH,/HAO= ZAHO,/HAO= ZBCF,/B=ZAHE=90 , AEHCFB ,故正确.答案为：.同类题型 3.3 如图，在矩形 ABCD

16、中，点 E 是边 BC 的中点，AE 丄 BD ,垂足为 F ,则 tan/ BDE 的值是（）其中正确结论的序号是APD+SAPB=1+6.S正方形ABCD=4+.6.解：四边形 ABCD 是矩形, AD = BC, AD / BC,点 E 是边 BC 的中点, BEFs DAF , EE = BE = 1 AF = AD = 2， EF =1AE3，点 E 是边 BC 的中点，由矩形的对称性得： AE = DE,1- EF =3DE，设 EF = x,贝 U DE = 3x, DF = DE2- EF2= 2 2 x,例 4 .已知：如图，在正方形 ABCD 外取一点 E,连接 AE, B

17、E , DE .过点 A 作 AE 的垂线 AP 交 DE 于点P.若 AE= AP= 1, PB=.6，下列结论：厶 APDAEB ;点 B 到直线 AE 的距离为.2 :EB 丄 ED ; tan / BDE =EF = x =2DF = 2 2x= 4A解：/ EAB+ZBAP = 90,/ PAD +ZBAP = 90,/ EAB = / PAD,又 AE= AP, AB= AD,在 APD 和厶 AEB 中,AE = AP/ EAB =/ PAD ,AB = AD APDAEB ( SAS);故此选项成立；3 APDAEB,/ APD = / AEB , / AEB = / AEP

18、+/ BEP，/ APD = / AEP +/ PAE,/ BEP = / PAE= 90 , EB 丄 ED ;故此选项成立；2过 B 作 BF 丄 AE,交 AE 的延长线于 F,/ AE = AP , / EAP = 90,/ AEP = / APE = 45,又中 EB 丄 ED, BF 丄 AF ,/ FEB = / FBE = 45,又 BE= BP2 PE2= 2,BF = EF = 2 ,故此选项正确；4如图，连接 BD，在 RtAAEP 中,BCAE = AP = 1, EP = 2 ,又 PB= 6 , BE = 2,APDAEB, PD = BE = 2,111厂1 6-

19、ABP+SADP=ABD一BDP=? S正方形ABCD一 DPXBE=$(4+习6)?X2X2=?故此选项不正确.5 EF = BF = 2 , AE = 1,在 RtAABF 中，AB2=( AE + EF)2+ BF2= 5+ 2 2 ,- S正方形ABCD= AB = 5 + 2 2,故此选项不正确.答案为：.同类题型 4.1 如图，正方形 ABCD 的边长为 2,将长为 2 的线段 QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同 时滑动.如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按 ATBCTDTA 滑动到 A 止，同时点 R 从点 B 出发，沿图中所示方向按 BTCTDTATB 滑动到 B

20、止点 N 是正方形 ABCD 内任一点，把 N 点落在线段 QR 的 中点 M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P,贝UP=()4nn1n一 1A.B.C.D.4444解：根据题意得点 M 到正方形各顶点的距离都为1，点 M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点 M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去 4 个扇形的面积.2而正方形 ABCD 的面积为 2X2= 4, 4 个扇形的面积为4X90=n,360点 M 所经过的路线围成的图形的面积为4 n把 N 点落在线段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形内的概率记为同类题型 4.2 如图，边

21、长为 2 的正方形 ABCD 中，AE 平分/ DAC , AE 交 CD 于点 F , CE 丄 AE，垂足为点E, EG 丄 CD，垂足为点 G,点 H 在边 BC 上，BH = DF，连接 AH、FH , FH 与 AC 交于点 M，以下结论：12FH = 2BH :AC 丄 FH :SACF= 1 :CE =AF;EG2= FG DG,其中正确结论的个数为 （）解：如图 1,v四边形 ABCD 是正方形,P,则 P =4D. 5A. 2 AB=AD，/B=ZD=90,/BAD=90,/ AE 平分/ DAC ,/FAD= /CAF=22.5,/ BH=DF,ABHADF, AH=AF,

22、 /BAH= /FAD=22.5 ,/HAC= /FAC, HM = FM , AC 丄 FH ,/ AE 平分/ DAC , DF=FM,FH=2DF=2BH,故选项正确；3在 RtAFMC 中，/ FCM = 45 , FMC 是等腰直角三角形，T正方形的边长为 2, AC=2 2,MC=DF=2 22, FC=2DF=2(2 22)=42 2,1SA AFC= 2 CF - AD 工 1,所以选项不正确；4AF=AD2+DF2=22+(2 22)2=2 42 2, /ADF CEF,.AD _ AFCE=FC ，.J = 2；4 2富CE 4 2 2，.CE4 2 2 ,.CE1AF,故

23、选项正确；5延长 CE 和 AD 交于 N,如图 2,圏2/ AE 丄 CE , AE 平分/ CAD ,.CE EN,/ EG / DN ,.CG DG,在 RtAFEC 中，EG 丄 FC,2.EG FG CG,2.EG FG DG,故选项正确；本题正确的结论有 4 个，故选 C.同类题型 4.3 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0.有直角/ MPN，使直角顶点P 与点 0 重合，直角边 PM、PN 分别与 OA、0B 重合，然后逆时针旋转/ MPN，旋转角为0( 0 090),PM、PN 分别交 AB、BC 于 E、F 两点，连接 EF 交 0B 于

24、点 G,则下列结论中正确的是(1) EF =2 OE; (2) S四边形OEBF： S正方形ABCD=1 : 4; ( 3) BE + BF =2 OA; (4)在旋转过程中，当 OB= OC,/ OBE =ZOCF = 45。，/ BOC= 90 ,/ BOF + / COF = 90,V/EOF=90,/ BOF + / COE = 90, / BOE = / COF ,在厶 BOE 和厶 COF 中，/ BOE = / COFOB = OC/ OBE = / OCFBOECOF (ASA), OE= OF , BE = CF , EF = 2 OE ;故正确;1(2)VS四边形OEBF=SABOE+SBOE=SBOE+S COF=SBOC=正方形ABCD,BEF 与厶 COF 的面积之和最大时,32 2AE = 4；( 5) OG BD = AE + CF .解：(1)v四边形 ABCD 是正方形,(1) EF =2 OE; (2) S四边形OEBF： S正方形ABCD=1 : 4; ( 3) BE + BF =2 OA; (4)在旋转过程中，当- S四边形OEBF: S正方形ABCD= 1 : 4；故正确;(3). BE+ BF = BF + CF = BC=