2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（Word版含解析）

1、第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角基础过关练题组一数量积的坐标运算1.(安徽高三月考)已知AB=(-3,-2),AC=(m,1),|BC|=3,则BA·AC=()A.7B.-7C.15D.-152.已知a=(2,1),b=(-1,1),则向量a在b方向上的投影为()A.22B.-22C.-55D.553.(北京师大附中高一期中)已知向量a=(-1,2),b=(3,4),则a2-a·b=()A.0B.-1C.2或-2D.124.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是()A.锐角

2、三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5.已知OA=(2,2),OB=(4,1),OP=(x,0),则当AP·BP的值最小时,x的值是()A.-3B.3C.-1D.16.(江苏苏州高一上学业调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),B(5,12).(1)求OA·OB的值;(2)若AOB的平分线交线段AB于点D,求点D的坐标;(3)在单位圆上是否存在点C,使得CA·CB=64?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.题组二向量的模7.已知点A(1,-1),B(-2,3), 则与向量AB方向相同的单位向量为()A.-35,45B.35,

3、-45C.-45,35D.45,-358.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为. 9.已知向量a=(x,1),b=(1,2),c=(-1,5),若(a+2b)c,则|a|=. 10.已知向量a,b满足a=(1,-1),a+b=(3,1),则|b|=. 11.已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,求|PA+3PB|的最小值.题组三向量的夹角12.(2018陕西四校高三联考)已知向量a=(1,-3),b=(0,-2),则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.5

4、613.(安徽高一期末)已知向量a=12,-32,|b|=23,若a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为()A.6B.4C.3D.214.(河北深州中学高二期末)已知向量a=(x,6),b=(3,4),若a与b的夹角为锐角,则实数x的取值范围是()A.-8,+)B.-8,9292,+ C.-8,9292,+D.(-8,+)15.(2018湖南衡阳八中高一下期末)已知向量a=(x2,x+2),b=(-3,-1),c=(1,3),若ab,则a与c的夹角为()A.6B.3C.23D.5616.已知a=(1,2),b=(3,4),求a+b与a-b夹角的余弦值.题组四坐标表示下的平面向量数量

5、积的应用17.(内蒙古高一期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.|a|=|b|B.a·b=2C.a-b与a垂直D.ab18.(湖南长沙一中高三月考)已知向量a=(k,-2),b=(2,2),a+b为非零向量,若a(a+b),则实数k的值为()A.0B.2C.-2D.119.(湖南长沙一中高一期中)已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c等于()A.79,73B.-73,-79C.73,79D.-79,-7320.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积是()A.5B.25

6、C.5D.1021.(云南宾川四中高一月考)已知a=(4,2),则与a垂直的单位向量的坐标为()A.255,-55或-255,-55B.55,255或-55,-255C.255,55或-255,-55D.55,-255或-55,25522.设向量a=(3,-1),b=(1,m),若(a+2b)a,则|b|=. 23.(安徽淮北高三月考)在ABC中,三个顶点的坐标分别为A(3,t),B(t,-1),C(-3,-1),已知ABC是以B为直角顶点的直角三角形,求t的值.24.已知a=(3,-1),b=12,32,(1)证明:ab;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b

7、,y=-ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t).能力提升练一、选择题1.(陕西安康高一下期末,)已知向量a=(0,-1),b=-12,12,则下列结论正确的是()A.abB.(a+b)bC.(a-b)bD.|a-b|=|b|2.(云南曲靖一中高三质检,)若O(0,0),A(1,3),B(3,1),则sinAOB=()A.35B.45C.-35D.-453.(贵州高二月考,)已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a+b,n=a-b,如果mn,那么实数=()A.4B.3C.2D.14.(山东济南历城第二中学高一期中,)已知向量a=12,-32,|b|=1,且两向量的夹角为120&#

8、176;,则|a-b|=()A.1B.3C.5D.75.(浙江高一期中,)平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=3,|a-b|=4,当|a+b|取得最小值时,a·b=()A.0B.2C.3D.6二、填空题6.()如图,在正方形ABCD中,AD=4,点E为DC边上一点,DE=3EC,点F为BC边的中点,则AE·AF=. 7.()已知向量a,b满足a=(2,0),|b|=1,|a+b|=3,则向量a,b所成的角为. 三、解答题8.(甘肃高二期末,)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2

9、5,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与a-b垂直,求a与b的夹角.9.(安徽六安月考,)已知ABC是边长为1的正三角形,动点M为ABC所在平面内一点,若AM·AB<0,|CM|=1,求CM·AB的取值范围.10.(广西南宁三中高一期中,)(1)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),求a与b的夹角;(2)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,求AM·NM的值.11.(浙江杭州高一下期中,)平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是A

10、C上的动点,满足AD=AC(R).(1)求|2AB+AC|的值;(2)求cosBAC;(3)若BDBA,求实数的值.答案全解全析第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角基础过关练1.B因为AB=(-3,-2),AC=(m,1),所以BC=AC-AB=(m+3,3),所以|BC|=(m+3)2+9=3,所以m=-3,所以AC=(-3,1),所以BA·AC=-AB·AC=(3,2)·(-3,1)=-9+2=-7.故选B.2.B由题意知a·b=-1,|b|=2,向量a在b方向上的投影为a·b|b|=-12=-

11、22.故选B.3.A因为a=(-1,2),b=(3,4),所以a2=|a|2=1+4=5,a·b=(-1)×3+2×4=5,所以a2-a·b=5-5=0.故选A.4.B易知AB=(2,-2),CB=(6,6),AB·CB=2×6+(-2)×6=0,即ABCB.又|AB|=4+4=22,|CB|=36+36=62,即|AB|CB|,ABC为直角三角形.故选B.5.B由已知可得AP=OP-OA=(x-2,-2),BP=OP-OB=(x-4,-1),AP·BP=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1

12、,故当x=3时,AP·BP的值最小.故选B.6.解析(1)由已知可得OA=(3,4),OB=(5,12),所以OA·OB=3×5+4×12=63.(2)设点D的坐标为(a,b),则AD=(a-3,b-4),且AB=(2,8).因为点D在线段AB上,所以ADAB,所以8(a-3)=2(b-4),化简得4a-b=8,再设AOD=BOD=,则cos =OA·OD|OA|OD|=(3,4)·(a,b)5a2+b2=3a+4b5a2+b2,同理cos =OB·OD|OB|OD|=(5,12)·(a,b)13a2+b2=5a+

13、12b13a2+b2,可知13(3a+4b)=5(5a+12b),化简得a=47b,由解得a=329,b=569,即点D的坐标为329,569.(3)假设单位圆上存在点C(cos ,sin )满足条件,则CA·CB=(3-cos ,4-sin )·(5-cos ,12-sin )=sin2+cos2-8cos -16sin +15+48=64-8(cos +2sin ).当CA·CB=64时,cos +2sin =0,即cos =-2sin ,又因为sin2+cos2=1,所以sin2=15,所以sin=55,cos=-255或sin=-55,cos=255.所以

14、当为第二象限角时,点C的坐标为-255,55;当为第四象限角时,点C的坐标为255,-55 .综上,单位圆上存在点C-255,55或C255,-55满足题意.7.A由题可得AB=(-3,4),设与向量AB方向相同的单位向量为a,则a=AB=(-3,4),其中>0,则|a|=(-3)2+(4)2=1,解得=15或=-15(舍去),所以与向量AB方向相同的单位向量为a=-35,45.故选A.8.答案2解析因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1),因为|a-b|=|a+b|,所以有(x+1)2+1=(x-1)2+9,解得x=2.9.答案10解析a

15、=(x,1),b=(1,2),a+2b=(x+2,5),又(a+2b)c,5(x+2)=-5,解得x=-3,a=(-3,1),|a|=10.10.答案22解析依题意得b=(3,1)-(1,-1)=(2,2),故|b|=22+22=22.11.解析建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0yh),则PA=(2,-y),PB=(1,h-y),PA+3PB=(5,3h-4y),|PA+3PB|=25+(3-4y)225=5.故|PA+3PB|的最小值为5.12.A设a与b的夹角为(0,),则cos =a·b|a|b| =1×0+(-

16、3)×(-2)1+3×0+4=32,所以=6.故选A.13.A由已知可得a2=|a|2=1,a·b-a2=2,即a·b=3,设向量a与b的夹角为,则cos =a·b|a|b|=32,所以向量a与b的夹角为6.故选A.14.B若ab,则4x=18,解得x=92.因为a与b的夹角为锐角,所以x92.又a·b=3x+24,且a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即3x+24>0,解得x>-8.又x92,所以x-8,9292,+.故选B.15.A由ab,a=(x2,x+2),b=(-3,-1),知x0,所以x2>

17、;0,又-3<0,所以a,b的方向相反.设b,c的夹角为,则a与c的夹角为-.由b=(-3,-1),c=(1,3),可得cos =-3-32×2=-32,=56,所以a与c的夹角为-=6.故选A.16.解析a=(1,2),b=(3,4),a-b=(-2,-2),a+b=(4,6),cos<a-b,a+b>=(-2)×4+(-2)×622×213=-52626.17.C由题意得|a|=1,|b|=2,选项A错误;a·b=1,选项B错误;(a-b)·a=(0,-1)·(1,0)=0,(a-b)a,选项C正确;不

18、存在实数,使得b=a,a与b不平行,选项D错误.故选C.18.Aa=(k,-2),b=(2,2),a+b=(k+2,0).a(a+b),a·(a+b)=k(k+2)=0.a+b为非零向量,即k+20,k=0.故选A.19.D设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n).由(c+a)b,得(-3)×(1+m)=2×(2+n),即3m+2n+7=0.由c(a+b),a+b=(3,-1),得3m-n=0.由得m=-79,n=-73,c=-79,-73.20.C因为AC=(1,2),BD=(-4,2),所以|AC|=5,|BD|=25, 又AC·BD=1

19、15;(-4)+2×2=0,所以ACBD,所以S四边形ABCD=12|AC|×|BD|=12×5×25=5.故选C.21.D设所求向量为b=(x,y),x2+y2=1,4x+2y=0,x=55,y=-255或x=-55,y=255.故选D.22.答案65解析a+2b=(5,-1+2m),由于(a+2b)a,所以(a+2b)·a=0,即(5,-1+2m)·(3,-1)=15+1-2m=0,解得m=8,故|b|=12+82=65.23.解析由已知得BA·BC=0,即(3-t,t+1)·(-3-t,0)=0,(3-t)(

20、-3-t)=0,解得t=3或t=-3,当t=-3时,点B、C重合,故t的值是3.24.解析(1)证明:a·b=3×12-1×32=0,ab.(2)xy,x·y=-ka2+t-k(t2-3)a·b+t(t2-3)b2=0.|a|=2,|b|=1,a·b=0,-4k+t(t2-3)=0,k=14(t3-3t)(t0).能力提升练一、选择题1.B若ab,则0×12-(-1)×-12=0,显然不成立,故A错误;若(a+b)b,则(a+b)·b=0,即-12,-12·-12,12=14-14=0,显然成立

21、,故B正确;若(a-b)b,则(a-b)·b=0,即12,-32·-12,12=-14-34=0,显然不成立,故C错误;若|a-b|=|b|,则14+94=14+14,显然不成立,故D错误.故选B.2.B由已知得OA=(1,3),OB=(3,1),cosAOB=OA·OB|OA|OB|=1×3+3×110×10=35,sinAOB=45.故选B.3.Aa=(1,-2),b=(1,1),m=a+b=(2,-1),n=a-b=(1-,-2-),mn,m·n=2(1-)+(-1)×(-2-)=0,=4.故选A.4.Ba=

22、12,-32,|a|=122+-322=1.又|b|=1,且两向量的夹角为120°,|a-b|=|a-b|2=a2-2|a|b|×-12+b2=1-2×1×1×-12+1=3.故选B.5.A根据题意设e=(1,0),a=(1,m),b=(3,n),a-b=(-2,m-n),4+(m-n)2=16,m-n=±23.不妨设m-n=23,则a+b=(4,m+n)=(4,2n+23),|a+b|2=16+4n2+83n+12=4n2+83n+28=4(n+3)2+16,当n=-3时上式取最小值,此时m=3.a·b=3+mn=3-3=

23、0.故选A.二、填空题6.答案20解析如图所示,以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),F(4,2).DE=3EC,E(3,4),则AE=(3,4),AF=(4,2),AE·AF=3×4+4×2=20.7.答案120°解析因为a=(2,0),|b|=1,|a+b|=3, 所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2a·b+1=3,解得a·b=-1,所以由向量的夹角公式可得cos<a,b>=a·b|a|b|=-12,又0°<a,b>180°,所以<a,b>=120°.三、解答题8.解析(1)由题意可设c=a=(,2),则|c|=2+(2)2=25,可得=±2,c=(2,4)或 c=(-2,