张翠芳-信号与系统2

1、信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB南京邮电大学南京邮电大学信号分析与信息处理教学中心信号分析与信息处理教学中心2013.9SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第二章 信号与系统的时域分析信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBjsest为复数，称复频率为复数，称复频率2.1典型连续时间信号典型连续时间信号2.1.1复指数信号复指数信号一般情况下，一般情况下，tjeteeeetttjtstsincos实部为增长（实部为增长（0）或衰减（）或衰减（ 0）或衰减（）或衰减（ 0 时，从波形上看，时，从波形上看， 是把是把 的波形以坐的波形以坐标

2、原点为基准，沿时间轴压缩（或扩展）至原来的标原点为基准，沿时间轴压缩（或扩展）至原来的 倍。倍。)(tf)(atfa1返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3 时移)0()()(000tttftfttt时移时移:从波形上看，是把从波形上看，是把 f ( t ) 的波形向左（右）移动的波形向左（右）移动t0返回 例例2-3-11)(tft0121)2( tft01 1/21)2(tf t0-1-1/21)1(2)22(tftft011/2注意注意：（：（1 1）时移、折叠与尺度变换都是对变量时移、折叠与尺度变换都是对变量 t 而言的。而言的。（2 2）用波形来进行信号的运算比

3、较简便、直观。）用波形来进行信号的运算比较简便、直观。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.3.2 信号的导数与积分)(tft101)( tft（1）01（1） 在在 f (t) 的不连续点处，导数中会含的不连续点处，导数中会含有冲激函数有冲激函数。dttdf)()( tf或或f (t) 在任意时刻在任意时刻 t 的变化率。的变化率。，它的值是信号，它的值是信号1、信号的导数：、信号的导数：记作记作2、信号的积分、信号的积分:)()1(tftdf)(，记作记作或或从图形上看，它在任意从图形上看，它在任意 t 时刻的值是时刻的值是从从 - 到到 t 区间，区间，f (t) 与

4、时间轴所包围与时间轴所包围的面积。的面积。 )()1(tft101返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.3.3 2.3.3 信号的相加与相乘信号的相加与相乘 两个信号相加与相乘，是将它们在同一瞬间的值相加或相乘。例：例：)(1tft202)()(21tftft10122)(2tft10122211000222000)(1010100)(21tttttttttttfttttf222110100)()(21tttttttftf返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)(1tft202)(2tft10122211000222000)(1010100)(2

5、1tttttttttttfttttf101000)()(21tttttftf)()(21tftft101信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.4.1替换自变量的运算2.4 离散时间信号的基本运算1、翻转、翻转 ： f (-k)2.移位：移位：f (k) 右移右移m位成位成 f (k-m), 左移左移m位成位成 f (k+m)3.尺度变换：尺度变换：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：已知序列例：已知序列2)1()(kkkf2) 1()(kkkf则则)( kf 6311331k)(kf6311331k) 1( kf6311331k) 2( kf63113

6、1k2) 1() 1(kkkf2) 3)(2()2(kkkf返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1. 序列相加：序列相加：两个序列同序号的数值逐项对应相加。两个序列同序号的数值逐项对应相加。)()()(21kfkfkf2. 序列相乘：序列相乘：两个序列同序号的数值逐项对应相乘。两个序列同序号的数值逐项对应相乘。)()()(21kfkfkf例例2-4-1：已知序列：已知序列15210)(1kkkfk0202)(2kkkkfk)()()()(2121kfkfkfkf和求返回返回2.4.2相加与相乘信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB0521710)(1k

7、kkkfk解：0212112)(2kkkkkfk072121512)()(21kkkkkfkfkk01052212710)()(121kkkkkkfkfkk15210)(1kkkfk0202)(2kkkkfk信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.4.3差分与累加差分与累加(对应于连续信号的微分对应于连续信号的微分)1、序列的差分、序列的差分一阶前向差分一阶前向差分二阶前向差分二阶前向差分一阶后向差分一阶后向差分)() 1()(kfkfkf)() 1()(kfkfkf)() 1(2)2(kfkfkf) 1()()(kfkfkf二阶后向差分二阶后向差分)2() 1(2)() 1

8、()()()(2kfkfkfkfkfkfkf返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2. 序列的求和（累加）序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分对应于连续信号的积分)()(1nfkfkn 6111k3)()(1nfkfkn 324)(kf21131k32返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5 信号的时域分解2.5.1交、直流分解2.5.2奇、偶分解2.5.3实部、虚部分解 任意波形的信号也可以分解为偶分量与奇分量之和：任意波形的信号也可以分解为偶分量与奇分量之和：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5.4 脉冲分解

9、 如图所示，任意波形的信号都可以用沿横向等间隔的折线来如图所示，任意波形的信号都可以用沿横向等间隔的折线来近似，近似，)(tx0tt10)(tgt10)(tg)()(ntgnx0tn ) 1(nnntgnxtx)()()( nt)( nx其中在其中在 时刻出现的矩形脉冲高度为时刻出现的矩形脉冲高度为 宽度为宽度为 。折线中的每一条横向线段都可以看作一个矩形脉冲。折线中的每一条横向线段都可以看作一个矩形脉冲。n2)0(x)2( x)( nx折线可以看作是矩形脉冲的叠加折线可以看作是矩形脉冲的叠加返回为讨论方便起见，为讨论方便起见，此处此处 的定的定义与前面不同。义与前面不同。)(tg1、连续信号

10、分解为单位冲激信号线性组合信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBnntgnxtx)()(lim)(0解释： ,),()(,0的积分求和变成对连续变量成为，成为新的连续变量记作时，当tntgnddtxtx)()()(即叠加起来构成的。冲激信号分量连续出现的可以看成是由无穷多个说明任意波形的信号)()()(. 1tdxtx叠加起来构成的。形脉冲信号分量个连续出现的矩也可以看成是由无穷多任意波形的信号)()()(. 2dtxtx的取样特性得到。以直接从单位冲激函数因此，该积分公式也可过程中可视为常数），是积分参变量（在积分是积分变量，t. 3信号与系统SIGNALS AND SYST

11、EMS ZB 任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信号之和（分解过程略）：号之和（分解过程略）：)(tx)0(x)( xtdtxtx)()( )( 利用后面将要介绍的卷积性利用后面将要介绍的卷积性质，可以很方便地证明这一结论。质，可以很方便地证明这一结论。2、离散序列分解为单位脉冲序列线性组合 任意离散信号任意离散信号 f (k) 表示为表示为一系列延时单位函数的加一系列延时单位函数的加权和权和，即，即) 1() 1 ()() 0() 1() 1() 2() 2()(kfkfkfkfkfnnknf)()(信号与系统SIGNALS AND SYS

12、TEMS ZB2.6 连续系统的冲激响应2.6.1 冲激响应的定义 零状态系统在单位冲激信号作用下的响应。零状态系统在单位冲激信号作用下的响应。1.1.对于简单电路，直接列微分方程求解：对于简单电路，直接列微分方程求解：)(t)(th0)0(nqS2.6.2 冲激响应的物理解释 )()()(tvdttdiLtRisLL)()()()(, 0)0(thtittviLsL时，则当)()()(tdttdiLtRiLL即：+-)(tvsRL)(tiL返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB对上式从对上式从 到到 取积分，得取积分，得 0t 0t001)0()0()(LLLLiLidt

13、tiRLiidttitiLLLL1)0(0)0(0)()(00，且是有限的，故（电感电流在冲激信号作用下，（电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到从零跃变到 ）L1零输入响应，此时电路是一个特殊的时，当, 0)(0tt由三要素公式得由三要素公式得)()(1)(thtueLtitLRL与与RL电路相对电路相对偶，可得偶，可得RC电电路的冲激响应：路的冲激响应：)(tRC+_)(tvc)()(1)()()()(1thteCtvtdttdvCRtvtRCCCC信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB设描述设描述n阶连续系统的微分方程为阶连续系统的微分方程为)()()( )()(01)1(

14、1)(txtyatyatyatyannnn即则若)()(),()(0thtyttx)()()( )()(0001)1(01)(0tthathathathannnn微分方程就可以了。个初始条件，求解齐次只要找出该系统的应，是一个特殊的零输入响即冲激响应时，当nthtt)(, 0)(00处连续）。幂函数项（在的正项中含有处不连续），在其余各含有阶跃函数项（在中中含有冲激函数项，在中。即包含在激函数项，并且只能，等式的左边应含有冲其次：为了使方程平衡，所以首先：因为是因果系统00)()(:)(0)0()0( )0() 1(0)(0)(0) 1(000tttthththhhhnnnn返回2.6.32.

15、6.3冲激响应的求取冲激响应的求取 (1)(1)间接法间接法信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB0)0()0(, 0)0( )0( , 0)0()0(),0()0()2(0)2(0) 1(0) 1(0hhhhhhhhnnnn即：对微分方程两边取积分对微分方程两边取积分1)()()()(0000000000) 1(01)(0dttdtthadtthadtthannnn上式左边只有第一项不为零，其余各项都为零，即：上式左边只有第一项不为零，其余各项都为零，即：1)0()0()1(0)1(0nnnhhannah1)0() 1(0因此得到在因此得到在 t = 0+ 时的时的 n 个初

16、始条件为：个初始条件为：nnnnahhhh1)0(0)0()0()0()1(00)3(0)2(0 代入初始条件，求解齐次微分方程，即可得到系统代入初始条件，求解齐次微分方程，即可得到系统的冲激响应。的冲激响应。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(tbtbtbtbthathathatha

17、mmmmnnnn为此，可假设一个新的系统，其冲激响应时的方程为：为此，可假设一个新的系统，其冲激响应时的方程为：)()()( )()(0001) 1(01)(0tthathathathannnn根据系统的线性和时不变根据系统的线性和时不变性，有：性，有：mjjjmjjjjjjjthbtbthbtbthbtb0)(00)()(0)(000)()()()()()(以此与原系统冲激响应以此与原系统冲激响应时的方程相对比，得：时的方程相对比，得：mjjjthbth0)(0)()(返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：已知系统的微分方程如下，试求其冲激响应。例：已知系统的微分方程

18、如下，试求其冲激响应。)()(2)( 3)(000tththth解：解：2, 102300)(2)( 3)( 212解得：特征方程：即：tththth)()(2)( 3)(txtytyty)()()(:221tekekthtt齐次微分方程的通解为代入初始条件：代入初始条件：0)0(1)0( hh解得：解得：1202121kkkk有：有：1121kk)()()(2tueethtt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-6-2 2-6-2 已知描述某系统的微分方程如下，试求其冲激已知描述某系统的微分方程如下，试求其冲激响应响应 )()( 2)(4)( 4)(2)(txtxty

19、tytyth。j 121，其特征根为)()cossin()(210tutektekthtt则解：设解：设)()(4)( 4)(2000tththth代入初始条件：0)0(21)0( hh21)0( 0)0(21020kkhkh有：有：解得：解得：02121kk)(sin21)(0ttuetht故)(sin21)(cos)(sin21)(cos)(sin)()(2)(00ttuettuettuettuettuethththttttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB时，有均为单根，则当若方程的特征根mni)()()(1tuecthtniii)()()()(, 1tuectct

20、hmnnitii时当数中会包含冲激函数的导时，当)(thmn )()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn 若微分方程的特征根中有重根，则解的形式要作相应改变。tkkttetctececk1111211阶重根，相应项为为如tectecjttsincos,212 , 1相应项为如方程有共轭复根，(3)(3)直接法直接法信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB对于一般的微分方程直接求解冲激响应对于一般的微分方程直接求解冲激响应（直接法）（直接法）3, 221其特征根为)()()(3221tue

21、kekthtt则解：解：)(2)( 3)(6)( 5)(ttththth22332121kkkk则有7421kk解得)(2)( 3)()23()( )(2121tttkktkk：代入原方程，经整理得)()47()(23tueethtt)(2)( 3)(6)( 5)(txtxtytyty例例2-6-32-6-3：)()94()()32()( )()()()32()()()( )( 32212121322121tuekektkktkkthtuekektkkththtttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.7离散系统的单位脉冲响应1、迭代法2. 直接求解法直接求解法试求其单位

22、函数响应。，设差分方程为例)2()(6) 1(5)2(272kxkykyky)2()(6)1(5)2(kkhkhkh由由差差分分方方程程得得解解5) 1 (0) 1 () 1(6)0(5) 1 (11)0(1)0()2(6) 1(5)0(2hhhhkhhhhk，得，得取取，得，得取取)()3()2()(21kuAAkhkk则单位函数响应为32065212，特特征征根根特特征征方方程程为为0)(0khk时时，单单位位函函数数响响应应对对于于因因果果系系统统来来说说，当当32)(21AAkh，的表达式，解得的表达式，解得代入代入)()3()2()(11kukhkk所以返回返回信号与系统SIGNAL

23、S AND SYSTEMS ZB3. 间接求解法间接求解法)()(6) 1(5)2(000kkhkhkh设解试求其单位函数响应。差分方程描述：某离散时间系统由下列例)(3)2()(6) 1(5)2(372kxkxkykyky1)2(1)0()0(6) 1 (5)2(00) 1 (0) 1() 1(6)0(5) 1 (10)0(0)2()2(6) 1(5)0(2000000000000hhhhkhhhhkhhhhk得取得取得取nnnanhnhhhkkhakhankhankhan1)(0) 1()2() 1 ()()() 1() 1()(00000001010，而而初初始始条条件件为为阶阶前前向向

24、差差分分方方程程结结论论：对对于于返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB21311)2(0) 1 (2100AAhh，可可解解得得，代代入入初初始始条条件件)2() 3(6)2() 1(5)()(3)2()(1100kukkkhkhkhkk所以nnnahnhhhkkhakhankhankhan1)0(0) 1()2() 1()()() 1() 1()(00000001010，而而初初始始条条件件为为阶阶后后向向差差分分方方程程对对于于) 1()2()3()(210kuAAkhkk则单位函数响应为32065212，特征根特征方程为)2()3()2()(110kukhkk即

25、信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.8 连续系统的零状态响应2.8.1卷积分析法的引出卷积分析法的引出 对于线性时不变系统，对于线性时不变系统，设设)(tx)(ty0)0(nqS)()()()()()()()()()()()()()(tydthxdtxtxthdxtdxthttht则当的卷积积分与称为记作)()()()()()()(thtxdthxthtxty过程：过程：首先把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信号）；首先把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信号）； 然后研究系统对基本单元信号的零状态响应（这里是指冲激响应）然后研究系统对基本单元信号的零状态响

26、应（这里是指冲激响应） ； 再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于再根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于 系统时所引起的零状态响应迭加起来。系统时所引起的零状态响应迭加起来。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBdthxthtxty)()()()()(解释：)()(),()(. 1ththxtx换成换成计算卷积时，将）连续变化。，（在信号出现的时刻，可以是积分变量，表示冲激. 2要考察的响应时刻。示所过程中可视为定值，表是积分参变量，在积分t. 3化。的变化，卷积值也在变的响应时刻的函数，即随着要考察是时间卷积值tty )(. 4。作

27、用下的零状态响应激励其在任意即可用卷积分析法求得（系统特性的表征），一旦求得其冲激响应对任意线性时不变系统)()()(. 5tytxth返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.8.22.8.2确定卷积积分限的公式确定卷积积分限的公式都是有始函数时，设和当)()(thtx)()()(),()()(21ttuththttutxtxdttuthtuxthtxty)()()()()()()(21则，于是有果乘以。或者说应当将卷积结出现的最早时刻为响应时间才能出现，即：再延迟励分量所引起的响应要时刻（最早）出现的激义是：能不为零。其物理意，积分出来的结果才可来说，应当满足而对于用所

28、引起的。期间所有分量的共同作），是由激励在（。其物理意义是：响应，上限应当为应当为为零。因此，积分下限时，被积函数才可能不也就是说只有当）时，（即以及）时，（即考虑到)()()(0)(00)(021212121212121222111ttttttyttttttttttyttttttttutttttutt)()()()()()(2121tttudthxthtxtyttt返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB卷积积分限图示分析)(1tu10t1t-t2)(2ttu10 从左图看出，必须t-t2t1,积分才不为零，即tt1+t2；其物理含义是响应y(t)出现的最早时刻是t1+t2

29、。 而此时积分变量在t1至t-t2之间。其物理含义是响应y(t)是由激励在（t1，t-t2）期间所有分量的共同作用所引起的。t-t2信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例2-8-1)3(*) 1(2tuetuett)4()(231tudeett4)(4123312tueeetuetttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB状态响应。试用卷积分析法求其零系统的冲激响应：已知激励信号例),2()(, 1)(282tuethtxt22-)(11)(1)()()()(1)(11)(etudethtxtytttututxtt则，其中解：信号与系统SIGNALS AND

30、 SYSTEMS ZB2.8.3 卷积的图解 图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定积分的上下限。助于确定积分的上下限。dthxthtxty)()()()()(相乘；和相乘：将)()(. 4thx归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：)()(),()(:.1hthxtxt换元)()(:. 2 hh折叠值；平移一个把位移th)(:. 3时刻的卷积值。即为的面积乘积曲线与时间轴之间和积分：tthx)()(. 5返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()()()2()(21)(),1

31、()21()(382thtxtytututthtututx求卷积波形分别如图所示，试，：已知举例1 21)(th011t0)(tx21t解：解： (1) 换元换元110)(x211 21)(h0信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1)(h0 -2t1)(th0 -2t (2) 折叠折叠 (3) 位移位移其它其它02)(21)(02021)(tttthtttth信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB (4)(4)相乘、积分相乘、积分110210)(,21tyt当x()0t -2th( t -)信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBx()11210

32、 -2th( t -) t信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB16343)(211)(231,2121121tdttyttt即且当x()11210 -2th( t -) t信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4324)(211)(, 323, 1221221ttdttyttt即当x()11210 -2th( t -) t信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB0)(, 3, 12tytt即当 -2th( t -) t12101x()信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3t2111615)(ty2169的曲线)(ty信号与系统S

33、IGNALS AND SYSTEMS ZB2.8.4 卷积积分的性质(1)交换律交换律)()()()(txththtx)()()()()()()()()()(,txthdtxhdhtxdthxthtxt有证明：令返回1 卷积代数返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2)分配律分配律)()()()()()()(2121thtxthtxththtx证明：利用卷积的定义比较容易得到证明：利用卷积的定义比较容易得到)()()()()()()()()()()()()()(21212121thtxthtxdthxdthxdththxththtx例如：两个子系统并联例如：两个子系统并联

34、)()(21thth)( ty)( tx)(1th)(2th)(tx)()()()(21ththtxty)()(1thtx)()(2thtx等效为：等效为：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB这里，两次卷积运算是一个二重积分，只要改变积分次这里，两次卷积运算是一个二重积分，只要改变积分次序即可证明此定律。（证明过程略）序即可证明此定律。（证明过程略）)()()()()()(2121ththtxththtx(3)结合律结合律例如：两个子系统级联例如：两个子系统级联)(2th)()()()(21ththtxty)(tx)(1th)()(1thtx等效为：等效为：)()(21tht

35、h)(tx)()()()(21ththtxty信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2 .卷积的微分与积分，有设)()()(thtxty(1)卷积的微分性质卷积的微分性质)( )()( )()()()( thtxdthxdthxdtdty)()( )( :thtxty同理可证(2)卷积的积分性质卷积的积分性质（证明略）（证明略）)()()()()()1()1()1(thtxthtxty返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(3)卷积的微积分性质卷积的微积分性质)( )()()( )()1()1(thtxthtxtydtthxthtxdxhthtxxththt

36、xthxdxthtxtyt)()()()()()()()()()()()( )()()( )()()() 1() 1 () 1() 1 () 1()()()()()()()()(, 0)(0)()1()1()1()1(thtxtythtxthtxtydtthx交换位置，可得和同理，则，或者只要证明：条件：条件：应用微积分性质时，被求导的函数在应用微积分性质时，被求导的函数在 处处应为零值，或者被积分的函数在应为零值，或者被积分的函数在 区间的积分值区间的积分值（即函数波形的净面积）为零值。（即函数波形的净面积）为零值。t),(信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB表示重积分的次

37、数。的阶数，为负整数时，为正整数时，表示求导和式中，为整数以进一步推广为：卷积的微积分性质还可jijijithtxtyjiji,)()()()()()(杜阿密尔积分即例如：)()( )()()( )()( )()()() 1(tstxtytstxthtxthtxty为整数此性质可以推广为：ithtxtyii)()()()()(当 i 为正整数时，表示求导数的阶数，当 i 为负整数时，表示求重积分的次数。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3 含有冲激函数的卷积)()()()()(ttxdtxtx)()()()()()()()(0txtxdtxtxtttx)()()()()(1

38、11ttxdttxtttx根据信号的时域分解以及卷积的定义，有根据信号的时域分解以及卷积的定义，有或者利用卷积的交换律及冲激函数的筛选性质，有或者利用卷积的交换律及冲激函数的筛选性质，有冲激函数的重现性质冲激函数的重现性质以及以及返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB利用微积分性质还可以得到利用微积分性质还可以得到tdxtutxtxttx)()()()( )( )(推广到一般情况，有推广到一般情况，有)()()()()()(1)(1)()()(ttxtttxtxttxiiii信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB利用卷积的性质能大大简化卷积计算)()(cos

39、1 )(cos)(sin)(sin)(sin)()(sin)( )(sin)()( )(sin)()(0tututttutttudttudtdtuttutttututttuthtxt解：)()(),()( )(),(sin)(482thtxtutthttutx试求：已知例信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-8-52-8-5： 0)()(thtx23-1-2At-221A)(tx0)(th(1)(1)tt0。试求如图所示，冲激响应已知系统输入)()()(),(thtxthtx解：解： 信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)(txTTaaA-TT(1)(

40、1)(th00tt举例：举例： 求信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()(Tttx-2T0At02TA)()(TttxttA2A02T-2T)()(thtx)()()(TtTtth解：)()()()()()()()()(TttxTttxTtTttxthtx信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-8-52-8-5： 。试求，已知)()()2()()(),()(thtxtututhtuetxt)2()()2()()()( )()()()1()1()1()1(txtxtttxthtxthtx解：)()1 ()()()()(00)1(tuetetudedue

41、txtuttt)2(1 )()1 ()2()()()()2()1()1(tuetuetxtxthtxtt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-8-62-8-6： 。试求如图所示，冲激响应已知系统输入)()()(),(thtxthtx解：解： 12)(txt020)(tht11(2)( txt0(2)20)()1(th2t) 1(2)(2)()( )()()()1()1()1(thththtxthtxty-4420)(ty-2t213 4)(2) 1(th) 1(2) 1(th信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4 卷积的时移)()()(thtxty若若

42、)()()()()(000ttythttxtthtx则则为实常数0t)()()()()()()()()()()(00000ttytttyttthtxttthtxtthtx证明：)()()()()(211221tttytthttxtthttx同理同理信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)(tfT)(1tf22tA22tTTT2T2A)(tT(1)tTTT2T20利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号：利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号：nTnTtt)()(nnnTTnTtfnTttfnTttfttftf)( )()()()()()()(1111信号与系统SI

43、GNALS AND SYSTEMS ZB例例2-8-72-8-7：计算下列卷积积分：计算下列卷积积分： )2() 1()2()2() 1() 1 (tttututu解解 (1)(1)应用卷积的重现性质，有应用卷积的重现性质，有 ) 1() 1() 1()() 1()()()2()() 1()()2() 1(tuttttuttututtuttututu (2) (2)应用卷积的重现性质和微分性质，有应用卷积的重现性质和微分性质，有 )3()3()2()1() 1()2()1() 1()2()1() 1()2()1()2() 1(ttttttttuttttutttutttu信号与系统SIGNALS

44、 AND SYSTEMS ZB。试求：已知例)(),() 1()()(88211txtuetttutxt)() 1()()(22122tuetdtdttutxdtdt对原方程两边求导，有解：)()()(1tuettxt即)()(1tuetxt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.9 离散系统的零状态响应1. 经典法：经典法：首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起的初始条件，确定待定系数。（当激励信号较复杂，或差的初始条件，确定待定系数。（当激励信号较复杂，或差分方程阶数较高时，此法不合适。）分方程阶数较高时，此法不合适。）2.卷积分

45、析法卷积分析法2.9.1 离散卷积的引出) 1() 1()2()2()(kxkxkxnnknx)()(设单位函数响应为设单位函数响应为 h(k)S)(k)(kh根据线性和时不变性，有根据线性和时不变性，有)()(nknx)()(nkhnxnnknx)()(nnkhnx)()(nzsnkhnxky)()()(返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB用卷积符号记为用卷积符号记为nzsnkhnxkhkxky)()()()()(称为称为卷积和卷积和或或离散卷积离散卷积。可以证明，其代数运算与卷积积。可以证明，其代数运算与卷积积分相同，也服从交换律、分配律和结合律。分相同，也服从交换律

46、、分配律和结合律。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.9.2离散卷积的性质1代数运算2差分与求和3移位)()()(kkxkx)()()()()()()()()(2121212111kkkykkhkkxkkkxkkkkxkkxkkkx推广信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()()()(2121kkkunkhnxkykkknzs若若 k k1 时，时，x (k) = 0; k k2 时，时，h (k) = 0; 确定求和限的确定求和限的一般公式为一般公式为2.9.3确定离散卷积求和限的公式信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB的卷积和。和求序列例)2()() 1()(192kubkhkuakxkk)3()3()21()()()()()(212121kubabkubakunkhnxkhkxkyknnkknnknknzs解1)3()2(1)3(1)(1bakukbbakubabababkkk返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.9.4离散卷积的图解。，试求零状态响应数响应，单位函设激励信号例)(1 , 2 , 1)(2 , 1 , 2 , 1)(292kykhkxzsknzsnkhnxky0)()()(:解步骤：步骤：1. 换元；换元；2. 折叠折叠 h(-n)；3. 移位移位 h(k-n)